Espace de Besov

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En analyse fonctionnelle, les espaces de Besov sont des espaces d'interpolation intermédiaires entre les espaces de Sobolev. Les espaces de Sobolev de degré non entier sont obtenus par interpolation complexe à partir des espaces de Sobolev de degré entier. Les espaces de Besov sont eux aussi obtenus par interpolation à partir des espaces de Sobolev de degré entier, mais en utilisant la méthode d'interpolation réelle. La principale propriété des espaces de Besov est qu'ils sont des espaces de traces d'espaces de Sobolev.

Définition[modifier | modifier le code]

Soit un ouvert \Omega \subset \R^{n}. Soient s, p, q tels que 0<s<\infty, \; 1 \le p,q \le\infty. On note m le plus petit entier supérieur à s et \theta=\frac{s}{m}. On note J_{\theta ,q}(X,Y) l'espace interpolé des espaces de Banach X et Y par la méthode d'interpolation J. Par définition, l'espace de Besov \displaystyle B^{s;\;p,q}(\Omega) est l'espace interpolé des espaces L^p(\Omega) de Lebesgue et W^{m,p}(\Omega) de Sobolev par la méthode d'interpolation réelle dite méthode J :

B^{s;p,q}(\Omega)= J_{\frac{s}{m} ,q}( L^{p}(\Omega),\;W^{m,p}(\Omega))

C'est un espace de Banach dont la norme est celle fournie par la méthode d'interpolation : \|.\|_{B^{s;p,q}(\Omega) }= \|.\|_{J_{\frac{s}{m} ,q}( L^{p}(\Omega),\;W^{m,p}(\Omega)) }

Il y a d'autres manières de définir les espaces de Besov sur \R^{n}. On en déduit les espaces de Besov sur \Omega par restriction, comme pour les espaces de Sobolev. Si \Omega est suffisamment régulier, toutes ces définitions sont équivalentes.

Propriété caractéristique[modifier | modifier le code]

On note (x,t), un point de \R^{n+1} x \in \R^{n} \text{ et } t \in \R. La trace u(x) dans \R^{n} d'une fonction régulière U(x,t) définie sur \R^{n+1} est donnée par u(x)=U(x,0).

Théorème : Soit 1<p<\infty et u une fonction mesurable sur \R^{n}. Les deux propositions suivantes sont équivalentes :

(a) Il existe une fonction U \in W^{m,p}(\R^{n+1}) telle que u est la trace de U
(b) u \in B^{m-(\frac{1}{p});p,p}(\R^{n})

Théorèmes de plongement[modifier | modifier le code]

Théorème : Soit un ouvert \Omega \subset \R^{n}, suffisamment régulier (par exemple \Omega est borné et sa frontière est Lipschitz). Soient s, p, q tels que 0<s<\infty, \; 1 \le p,q \le\infty. Alors on a les inclusions suivantes avec injections continues :

Si sp<n, alors B^{s;p,q}(\Omega)\; \subset \; J_{\frac{p-1}{p} ,q}( L^{1}(\Omega),\;L^{\infty}(\Omega))
Si sp=n, alors B^{s;p,1}(\Omega)\; \subset \; C^{0}_{B}(\Omega) \; \subset \; L^{\infty}(\Omega))
Si sp>n, alors B^{s;p,q}(\Omega)\; \subset \; C^{0}_{B}(\Omega)

Ici  C^{0}_{B}(\Omega) désigne l'ensemble des fonctions continues et bornées sur \Omega

Références[modifier | modifier le code]

  • (en) R. A. Adams et J. J. F. Fournier, Sobolev Spaces, Academic Press, 2003 (ISBN 0-12-044143-8)
  • (en) Johnson Raymond, « Review of Theory of function spaces by Hans Triebel », dans Bull. Amer. Math. Soc., vol. 13, 1985, p. 76-80