Espace de Birnbaum-Orlicz

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En analyse fonctionnelle, les espaces de Birnbaum-Orlicz sont des types d'espaces de fonctions qui généralisent les espaces Lp. Comme les espaces Lp, ce sont des espaces de Banach. Ces espaces portent les noms de Władysław Orlicz et Zygmunt William Birnbaum, qui sont les premiers à les avoir définis en 1931.

Comme pour les espaces Lp, tout un ensemble d'espaces de fonctions intervenant naturellement en analyse sont des espaces de Birnbaum–Orlicz. Un exemple de ces espaces est L log+ L, qui intervient dans l'étude des fonctions maximales de Hardy-Littlewood. C'est l'espaces des fonctions mesurables f telles que

\int_{\R^n}|f(x)|\log^+|f(x)|~\mathrm dx<\infty.

Ici log+ est la partie positive du logarithme. Appartiennent aussi à la classe des espaces de Birnbaum–Orlicz beaucoup des plus importants espaces de Sobolev.

Définition formelle[modifier | modifier le code]

Supposons que μ soit une mesure σ-finie sur un ensemble X, et Φ : [0, ∞) → [0, ∞) soit une fonction convexe telle que

\frac{\Phi(x)}x\to\infty,\quad\mathrm{lorsque\ \ }x\to \infty,
\frac{\Phi(x)}x\to0,\quad\mathrm{lorsque\ \ }x\to 0.

Soit L^\dagger_\Phi l'espace des fonctions mesurables f:X\to\R telles que l'intégrale

\int_X \Phi(|f|)~\mathrm d\mu

soit finie, où comme d'habitude on identifie les fonctions égales presque partout.

Cet ensemble peut ne pas être un espace vectoriel (il peut ne pas être fermé pour la multiplication par un scalaire). L'espace vectoriel de fonctions engendré par L^\dagger_\Phi est l'espace de Birnbaum–Orlicz noté L_\Phi.

Pour définir une norme sur LΦ, soit Ψ le complément de Young de Φ, c'est-à-dire :

\Psi(x) = \int_0^x (\Phi')^{-1}(t)~\mathrm dt.

Notons que l'inégalité de Young est satisfaite:

ab\le \Phi(a) + \Psi(b).

La norme est alors donnée par

\|f\|_\Phi = \sup\left\{\|fg\|_1\mid \int \Psi\circ |g|~\mathrm d\mu \le 1\right\}.

De plus, l'espace L_\Phi est précisément l'espace des fonctions mesurables pour lesquelles cette norme est finie.

Une norme équivalente (Rao et Ren 1991, §3.3) est définie sur L_\Phi par

\|f\|'_\Phi = \inf\left\{k\in (0,\infty)\mid\int_X \Phi(|f|/k)~\mathrm d\mu\le 1\right\},

et de même LΦ(μ) est l'espace de toutes les fonctions mesurables pour lesquelles cette norme est finie.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Relations avec les espaces de Sobolev[modifier | modifier le code]

Certains espaces de Sobolev sont des espaces d'Orlicz : pour X\subseteq\R^n ouvert et borné avec une frontière lipschitzienne \partial X,

W_0^{1, p} (X) \subseteq L^{\varphi} (X)

pour

\varphi (t) := \exp \left( | t |^{p / (p - 1)} \right) - 1.

Voir le théorème de Trudinger (en) : pour X\subseteq\R^n ouvert et borné avec une frontière Lipschitzienne \partial X, considérons l'espace W_0^{k, p}(X), k p = n. Alors il existe des constantes C_1,C_2>0 telles que

\int_{X} \exp \left( \left( \frac{| u(x) |}{C_{1} \| \mathrm{D}^{k} u \|_{L^{p} (X)}} \right)^{p / (p - 1)} \right) \, \mathrm{d} x \leq C_2| X |.

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • (de) Z. W. Birnbaum et W. Orlicz, « Über die Verallgemeinerung des Begriffes der zueinander Konjugierten Potenzen », Studia Mathematica, vol. 3,‎ 1931, p. 1–67 PDF.
  • (en) Iracema Bund, « Birnbaum–Orlicz spaces of functions on groups », Pacific J. Math. (en), vol. 58, no 2,‎ 1975, p. 351–359.
  • (en) Edwin Hewitt (de) et Karl Stromberg, Real and abstract analysis, Springer-Verlag.
  • (en) M. A. Krasnosel'skii (en) et Ya. B. Rutickii, Convex Functions and Orlicz Spaces, Groningen, P. Noordhoff,‎ 1961
  • (en) M. M. Rao et Z. D. Ren, Theory of Orlicz Spaces, Marcel Dekker, coll. « Pure and Applied Mathematics »,‎ 1991 (ISBN 0-8247-8478-2).
  • (en) Antoni Zygmund, Trigonometric series, Volume 1, Cambridge University Press, 3e éd., chap. IV (« Classes of functions and Fourier series »).