Discussion:Règle de L'Hôpital

Suggestions

Il faudrait donner un "contre-exemple" à la règle de L'Hôpital, et aussi la lier à un article sur la formule des accroissements finis de Cauchy (qu'on utilise dans sa démonstration "moderne"). On pourrait citer de plus Bernoulli auquel on attribue maintenant la formule. CD 27 jan 2005

Règle de de l'Hôpital

Mon prof de math nous a dit que c'était le théorême de de l'hôpital (2x "de"), car le type s'appelait "de l'hôpital" donc il faut mettre 2x "de"... enfin bref vous faites comme vous voulez je suis pas sur que ce soit juste...

Il me semble que la règle veut que la particule disparaît devant les noms de plus d'une syllabe quand celui ci n'est pas précédé d'un titre ou d'un prénom. Ainsi on parle des romans de Balzac et des romans d'Honoré de Balzac mais pas des romans de de Balzac. HB (d) 15 avril 2008 à 20:18 (CEST)

Il semblerait aussi que cela dépende de la particule (Règle de d'Alembert). Zandr4^[Kupopo ?] 18 avril 2010 à 11:23 (CEST)

D'après l'article particule il faudrait dire "règle de De l'hôpital". 20 juillet 2013

Non, d'après ce même article, une section avant , on indique bien que la particule disparait (donc pas de doublement et pas de majuscule). HB (d) 20 juillet 2013 à 07:54 (CEST)

Pas convaincu quand je lis dans l'article en question: Si elle est précédée de la préposition « de », la majuscule permet de distinguer les deux « de »:

les mémoires de Raymond de Sèze

les mémoires de De Sèze.Cordialement dit, le Tigre à dents de sabre..Claudeh5 (d) 20 juillet 2013 à 21:55 (CEST)

Pour lui, si le "de" reste même sans le "Raymond", c'est parce que Sèze n'a qu'une « syllabe sonore ». Anne (d) 20 juillet 2013 à 22:03 (CEST)

Nom de l'article

Pourquoi ne pas renommer l'article de la façon suivante : « Théorème de Bernoulli-L'Hospital » ?
Ediacara (d) 17 avril 2010 à 22:32 (CEST).

Principe de moindre surprise...maintenant, tu peux si tu veux, créer un redirect de Théorème de Bernoulli-L'Hospital vers règle de l'Hôpital. Mais en tout état de cause garder le terme de règle (je n'ai jamais vu utiliser le terme de théorème pour cette propriété). HB (d) 18 avril 2010 à 10:04 (CEST)

Une question

Salut ! Pour le "Principe" il me semble que les conditions ne sont pas suffisantes. En effet prendre par exemple g: R+* -> R telle que g(x)=(2+sin(x))/x elle ne s'annule pas et tend vers 0 en +infini. On aura cependant du mal, pour une fonction quelconque f dérivable et tendant vers 0 en +infini, à étudier le rapport de leurs dérivées. Il faut donc également que g' soit non nulle au voisinage de a (suivant la notation de l'article). Ca peut sembler évident mais dans ce cas pourquoi mentionner que g doit être non nulle au voisinage de a, ça l'est aussi. (Je n'ai jamais posté sur Wikipedia donc j'espere juste devoir le faire ici) --92.155.0.226 (d) 9 mai 2011 à 00:13 (CEST) (message déplacé en bas de liste, et titré)

En effet, et cette section (contenant d'ailleurs d'autres imprécisions) devrait sans doute être réécrite, ou disparaitre; Un énoncé rigoureux (et mentionnant en particulier le problème que vous soulevez) est donné un peu plus bas dans l'article --Dfeldmann (d) 9 mai 2011 à 01:14 (CEST)

Axiome du choix dispensable

Dans l’état actuel, il me semble que la démonstration de la première généralisation fait implicitement intervenir l’axiome du choix : « Pour tout réel x de ]a ; b[, il existe un réel c_x de ]a ; x] tel que ${\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {f'(c_{x})}{g'(c_{x})}}$. » ; je propose d’affermir cette démonstration (c’est-à-dire de se passer de l’axiome du choix) en considérant plutôt que cela vaut pour toute suite de réels (x_n)_n de ]a ; b[ convergeant vers a, et de conclure par l’équivalence entre convergence de $({\frac {f'(c_{x_{n}})}{g'(c_{x_{n}})}})_{n}$ vers l pour toute telle suite (x_n)_n et convergence dans R vers l. — SniperMaské (d) 25 mai 2011 à 00:36 (CEST)

Double réticence :

• il me semble bien que le passage, pour toute suite ($u_{n}$) convergeant vers a, $(f(u_{n}))$ converge vers $\ell$ à $\lim _{x\to a}f(x)=\ell$ exige justement l'axiome du choix.
• dans la démonstration de la première généralisation, seule la notation semble suggérer l'axiome du choix, alors que la démonstration s'en passe très bien, il me semble :

pour tout x > a, il existe y de [a,x] tel que ${\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {f'(y)}{g'(y)}}$ d'après le théorème des accroissements finis généralisé

$\lim _{y\to a}{\frac {f'(y)}{g'(y)}}=\ell$ signifie que, $(\forall \epsilon >0)(\exists \eta >0)(\forall y\in U)(|y-a|<\eta \Rightarrow \left|{\frac {f'(y)}{g'(y)}}-\ell \right|<\epsilon )$

Comme pour tout x de U tel que $|x-a|<\eta$ , il existe un réel y tel que$|y-a|<\eta$ et ${\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {f'(y)}{g'(y)}}$, on est bien assuré que, pour tout x de U tel que $|x-a|<\eta$, $\left|{\frac {f(x)}{g(x)}}-\ell \right|<\epsilon$. Ce qui prouve que $\lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\ell$

D'autres avis ? HB (d) 25 mai 2011 à 07:57 (CEST)

Huh? Il n'y a certainement pas besoin du choix dans ce contexte. Typiquement, on dispose d'une construction explicite d'un c vérifiant le TAF (ou sa généralisation), puisque le lemme de Rolle est constructif (il s'agit de déterminer un extrémum, et par dichotomie, on y arrive très bien de manière constructive, donc sans le choix). Donc, en effet, la présentation usuelle de ces théorèmes semble réclamer le choix (au moins dénombrable), mais ils n'en dépendent en fait nullement--Dfeldmann (d) 25 mai 2011 à 08:08 (CEST)

HB : bonnes remarques ; je pense qu’il vaut mieux soit écrire explicitement cette justification, soit signaler que l’axiome du choix n’est pas nécessaire par une phrase succincte. — SniperMaské (d) 26 mai 2011 à 02:22 (CEST)

il me semble que le premier point bleu signifie seulement que f est continue en a et que c'est justement la définition de la continuité dans les espaces métriques.Du coup je ne vois aucun axiome du choix là-dedans.Cordialement dit, le Tigre à dents de sabre..Claudeh5 (d) 20 juillet 2013 à 22:00 (CEST)

D'accord avec le revert par HB de l'ajout d'aujourd'hui car je trouve, comme Dfeldmann, qu'on peut très bien choisir c_x explicitement. Je ne suis même pas sûre qu'il faille, comme demandé par SniperMaské, « soit écrire explicitement cette justification, soit signaler que l’axiome du choix n’est pas nécessaire par une phrase succincte » car je n'ai pas trouvé de source qui rende cette remarque pertinente. Anne (discuter) 20 juin 2015 à 17:30

P.S. (19h, conflit d'édit) J'ai sourcé la démonstration actuelle de l'article. La variante rédigée ci-dessus par HB est sourçable aussi mais — contrairement à notre démonstration actuelle — suppose ℓ fini (par commodité de rédaction).

En l’état, je ne suis pas d’accord avec cette révocation : dans cette démonstration, on choisit une famille $(c_{x})_{x\in ]a,b[}$ avec l’égalité des accroissements finis. Or, la démonstration proposée dans théorème de Rolle n’est pas constructive, puisqu’elle demande de choisir un maximum (ou un minimum, peu importe) sans plus de précision — c’est d’ailleurs toujours sous cette forme que se trouve la démonstration, dans les ouvrages, il me semble. Anne, tu proposes dans l’article sur le théorème de Rolle de choisir le plus petit extremum de l’ouvert ]a,b[ ; mais on peut très bien construire des fonctions pour lesquelles ce plus petit minimum n’existe pas, comme $f:{\begin{array}{rcl}[0,1]&\longrightarrow &\mathbf {R} \\x&\longmapsto &x\sin \left({\frac {1}{x}}\right)\end{array}}$ (en considérant le prolongement par continuité en zéro). S’il y a moyen de formaliser une démonstration complète sans axiome du choix, je vous suis ; mais en ce cas il faudrait écrire toutes les démonstrations proprement… Cordialement --Pic-Sou 20 juin 2015 à 18:39 (CEST)

OK, je n’ai rien dit, j’avais compris « minimum » au sens local, et non pas minimum global. Donc manifestement, le théorème de Rolle est constructif — il faudrait quand même signaler à pas mal d’auteurs de bouquins d’adapter leurs cours en conséquent. Cordialement --Pic-Sou 20 juin 2015 à 18:46 (CEST)

Ah ? Il y a des bouquins qui affirment que ce n'est pas constructif ? Anne, 19h01

Non, mais je n’ai jamais vu de démonstration construisant le point c explicitement ; la plupart du temps, on se borne à justifier l’existence comme c’était le cas dans l’article sur le lemme de Rolle avant aujourd’hui. J’ai du coup déjà rencontré des personnes qui signalaient la nécessité d’utiliser l’axiome du choix dans des démonstrations de ce genre, et ça m’a marqué, d’où mon édition de tout-à-l’heure. Merci pour ces explications --Pic-Sou 20 juin 2015 à 19:08 (CEST)

Oui, il y a des livres qui affirment que ce n'est pas constructif. cf. Errett Bishop & Douglas Bridges Constructive analysis, Springer-Verlag (1985), p.47. La version constructive qu'ils donnent est : Soit f dérivable sur [a,b] telle que f(a) = f(b). Alors, pour tout e>0, il existe x élément de [a,b] tel que [f'(x)| est inférieur ou égal à e. Par exemple, il est dit plus haut qu'on peut procéder par dichotomie pour déterminer l'extremum. Mais si je coupe [a,b] en deux, comment faire concrètement pour savoir dans quelle moitié se trouve l'extremum ? Theon (discuter) 22 juin 2015 à 09:04 (CEST)

La constructivité (ou non) du théorème de Rolle m'échappe un peu je l'avoue mais une chose me semble acquise c'est que l'axiome du choix est inutile pour la règle de l'Hôpital généralisée - si la démonstration que j'ai exposée plus haut ne comporte pas de faille. Alors il me semble que les notions de constructivité et d'axiome du choix n'ont pas leur place dans cet article et si la démonstration succincte qui figure actuellement ne satisfait pas les puristes on peut - (a) renvoyer à des démonstrations dans des livres - (b) prendre celle (plus lourde) que j'ai exposée plus haut. HB (discuter) 22 juin 2015 à 09:26 (CEST)

Je suis favorable à : garder la démonstration actuelle, signaler que cette démonstration repose toutefois sur l’AC, et ajouter en renvoyant vers le bouquin proposé par Theon qu’il est malgré tout possible de démontrer ce résultat de façon constructive. À voir si cette source peut être utilisée pour compléter l’article sur Rolle ! Cordialement --Pic-Sou 23 juin 2015 à 14:29 (CEST)

Je ne sais pas si tu as bien lu. La référence que j'ai donnée indique que le théorème de Rolle, affirmant qu'il existe c tel que f'(c) = 0, n'est pas constructif. Theon (discuter) 24 juin 2015 à 21:51 (CEST)

Toujours pas favorable à ce que tu réinsères ton signalement que cette démonstration reposerait sur l'AC (ce qui n'est qu'une apparence, pour la commodité de la rédaction et de lecture) car comme souligné entre autres par HB, hors-sujet (donc fatalement, non sourçable). Merci à Theon pour ses lumières sur la constructivité, qui est donc une question différente (et « pour experts »). Un § sur les preuves sans le TAF (ci-dessous) me semblerait moins hors-sujet et moins élitiste. Anne, 23/6, 16h11

Au risque de me répéter, cela n’a pas de sens de passer sous silence la nécessité de l’axiome du choix ici si l’on ne parle pas dans l’article sur Rolle du choix explicite de c, que l’on fait avec cette rédaction (très simple et je pense qu’il vaut mieux garder en l’état) une infinité non dénombrable de fois. Je ne pense pas qu’il y ait besoin de tartiner des paragraphes sur chacun des articles, et je ne comprends pas ce que vient faire l’« élitisme » ici… Cordialement --Pic-Sou 23 juin 2015 à 18:42 (CEST)

Sur AC, je ne répéterai pas ce qui a été dit plus haut par chacun. La non-dénombrabilité est encore plus hors-sujet. Sur « tartiner des paragraphes », c'est ton annonce d'être « d’accord » (avec qui ?) « pour rédiger une partie complémentaire sur le choix de c » qui m'inquiète un peu (mais sans plus : WP est évolutif…). Sur la constructivité, qui est encore un autre sujet, élitisme n'est peut-être pas le bon mot : je voulais dire que j'ai l'impression (cf. notre confusion initiale à tous avant la clarification par Theon, et cf. la réaction d'HB, que je fais presque mienne) que les notions de constructivité sont plus subtiles et confidentielles que celle d'AC donc méritent plus un renvoi vers l'article spécialisé Analyse constructive qu'un § dédié ici. Alors que les #Démos plus élémentaires sont rédigées par des mathématiciens soucieux de pédagogie, qui déplorent qu'on complexifie les démos en utilisant le TAF. Anne, 22h20

Doit-on exiger $g'(x)\neq 0$ dans un voisinage pointé de $a$ ?

Je ne le pense pas, et voici mes arguments:

L'existence de $\lim _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$ implique que ${\frac {f'(x)}{g'(x)}}$ est définie dans un voisinage pointé de $a$, et donc que $g'(x)\neq 0$ dans ce voisinage.

Le contre-exemple de la fin de l'article n'en est en fait pas un car dans ce contre-exemple, $\lim _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$ n'existe pas:

$\lim _{x\to +\infty }{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {2\cos ^{2}(x)}{e^{\sin(x)}\cos(x)(x+\sin(x)\cos(x)+2\cos(x))}}$

Cette limite n'existe pas car la fonction n'est pas définie dans un voisinage de $+\infty$

La simplification par $\cos(x)$ qui est faite dans l'article est interdite, car elle remplace une fonction qui n'est pas définie au voisinage de $+\infty$ par une autre qui l'est.

Qu'en pensez-vous ?

Il y a une discussion sur ce sujet sur la page correspondante du Wikipedia anglais, qui inclut $g'(x)\neq 0$ dans l'hypothèse du théorème.

Dans le principe, vous avez parfaitement raison. Mais, en pratique, le "piège" serait justement d'utiliser la règle après simplification, ce qui empêcherait de se rendre compte qu'en réalité, g' s'annulait au voisinage de a. C'est donc par souci de pédagogie qu'on ajoute souvent cette condition effectivement redondante. Si vous trouvez une façon simple de l'incorporer à l'article, n'hésitez pas...--Dfeldmann (d) 22 janvier 2012 à 18:23 (CET)

Mon interprétation de la conclusion de la discussion sur la page anglaise est que la nécessité de l'hypothèse $g'(x)\neq 0$ dépend de la définition de limite que l'on utilise. Si on prend la définition «classique», qui exige que la fonction dont on cherche la limite soit définie sur un voisinage pointé de $a$, alors l'hypothèse est redondante. Par contre, si on prend une définition plus générale, par exemple [1], alors l'hypothèse est nécessaire. Matsw (d) 27 février 2012 à 10:02 (CET)

Question sur la dém

Bonjour,

Dans la démonstration de la règle simple, il est dit : "on peut affirmer que : 1. g'(a) est non nul, donc que g(x) est non nul sur un intervalle ]a ; c]" Je n'arrive pas à comprendre cette déduction. Comment la comprendre ? Merci d'avance.--Automatik (d) 23 octobre 2012 à 11:31 (CEST)

g'(a) est la limite de ${\frac {g(x)-g(a)}{x-a}}$ quand x tend vers a. Puisque la limite est non nulle, il existe un intervalle ]a,c] où ce quotient est non nul, donc un intervalle ]a,c] où g(x) est différent de g(a), c-à-d où g(x) est non nul. Penses-tu que cela soit nécessaire à préciser dans la démonstration? HB (d) 23 octobre 2012 à 12:53 (CEST)

Comme la propriété (que si une limite est non nulle, la fonction aussi au voisinage) ne sert pas qu'à ça, ce serait peut-être à rajouter dans les propriétés de Limite (mathématiques)#Limite d'une fonction en un point, avec un lien vers là-bas. Anne (d) 23 octobre 2012 à 14:08 (CEST)

Cela te convient-il ?HB (d) 23 octobre 2012 à 14:40 (CEST)

OUI ! Anne

J'ai compris pourquoi g(x) ne peut être nul, mais pas réellement pourquoi il ne l'est pas sur ]a,c] (et pas [c,a[ par exemple). Et j'ai du mal à voir quelle propriété liant limite et relation d'ordre a un lien avec ce résultat. Merci d'avance pour vos réponses.--Automatik (d) 23 octobre 2012 à 17:37 (CEST)

g(x) est non nul seulement sur ]a,c] car la fonction est définie sur [a,b] (tiens, je m'aperçois que c'est un non dit pour l'énoncé simple... il faudra corriger, en remettant [a,b] par souci d'homogénéité)

si g'(a) est non nul alors g'(a) est strictement positif ou strictement négatif, donc g(x) est strictement positif ou strictement négatif donc g(x) est non nul si cela ne te parait pas clair cela veut dire qu'il faut que je complète la rubrique en question HB (d) 23 octobre 2012 à 19:34 (CEST)

Et si f et g sont définies sur R (ou tout intervalle ouvert), la règle ne s'appliquerait donc pas ? Faut-il que le a soit le min du domaine de définition des fonctions ?--Automatik (d) 23 octobre 2012 à 20:47 (CEST)

si f et g sont définiee sur R ou un intervalle au voisinage de a elle sont a fortiori définies sur des intervalles de la forme ]a, b] ou ]b, a], donc la règle s'appliquera aussi. Mais libre à toi de changer les énoncés et la démonstration si tu trouves qu'on peut le dire mieux tout en gardant aux énoncés un caractère le plus général possible. HB (d) 23 octobre 2012 à 21:08 (CEST)

J'ai changé par le voisinage. Ma source est ici. Ne pas hésiter à corriger si erreur il y a :)--Automatik (d) 23 octobre 2012 à 21:51 (CEST)

Ben voilà exactement pourquoi je ne voulais pas changer : changer les énoncés sans changer les dems introduit une contradiction dans l'article. Quand on fait un changement, il faudrait pouvoir le faire jusqu'au bout. Reste qu'indépendamment de ce changement, les dems nécessitent à mon avis une relecture. Trois options sont à notre disposition 1 - revenir à l'ancienne version conservant une certaine cohésion entre énoncé et dem (mais cela laisse persister des dems imparfaites) ou 2 - effectuer une refonte des dems en soignant la rigueur et la cohérence ou 3 - supprimer les dems car ce sont des TI et que WP n'est pas un cours. Je laisse le soin aux autres qui suivent l'article de choisir et effectuer l'une de ces trois actions car pour l'instant je n'ai pas envie de m'y atteler. HB (d) 24 octobre 2012 à 08:00 (CEST)

Démos plus élémentaires

(bien que moins faciles à lire).

(de) Fritz Lettenmeyer, « Über die sogenannte Hospitalsche Regel », J. Reine Angew. Math., vol. 174,‎ 1936, p. 246-247 (lire en ligne) :

• remarque d'abord que g' est de signe constant (d'après le théorème de Darboux — c'est moins connu mais plus élémentaire que le TAF généralisé). On peut donc supposer g' > 0.
• démontre la deuxième généralisation en supposant ℓ réelle, ce qui donne, en adaptant son raisonnement aux notations de notre article (mais ce serait plus simple écrivant des limites en b^– plutôt qu'en a⁺, pour éviter les tracas des signes, sens de variation et sens des inégalités) :

  En a⁺, |g| tend vers l'infini par hypothèse donc (puisque g est croissante) g tend vers –∞ et, sans perte de généralité, g < 0.

  Soit ε > 0, il existe ]a, r[ inclus dans ]a, b[ sur lequel (ℓ – ε)g' ≤ f' ≤ (ℓ + ε)g'

  donc sur lequel f – (ℓ – ε)g est croissante et f – (ℓ + ε)g décroissante.

  En a⁺, f – (ℓ – ε)g a donc une limite réelle ou –∞ et f – (ℓ + ε)g une limite réelle ou +∞

  donc f – (ℓ – 2ε)g tend vers –∞ et f – (ℓ + 2ε)g vers +∞

  donc pour x assez proche de a, (ℓ + 2ε)g ≤ f ≤ (ℓ – 2ε)g, c'est-à-dire ℓ + 2ε ≥ f/g ≥ ℓ – 2ε.

• dit que le cas ℓ infinie se démontre de même, et la première généralisation aussi.
• dit que sa preuve a un autre avantage : étendre la règle de l'Hôpital en autorisant f' et g' à s'annuler simultanément une infinité de fois (avec g' > 0 hors de ces points), généralisation non gratuite car utilisée dans ses travaux antérieurs sur les équadiff.

Anne 23/6/15 13h23

P.S.

• J'ai trouvé ce Lettenmeyer (élève de Lindemann) grâce à Richard A. Brualdi JSTOR:2318686, sur lequel je suis tombée en cherchant (en) Edward Vermilye Huntington (en), « Simplified proof of L'Hospital's theorem on indeterminate forms », Bull. Amer. Math., vol. 29, 1923, p. 207 (qui n'est finalement qu'un abstract dans une liste de communications orales).
• Brualdi signale aussi un article de Ralph P. Boas, Jr. (en) (JSTOR:2317142) mais qui ne contient rien de plus, sauf à la fin :
  • un rapprochement avec le théorème de Stolz-Cesàro (analogue discret de la deuxième généralisation) et le même analogue pour la première généralisation, et une invitation à formuler un théorème unifiant les cas continu et discret.
  • 4 refs, dont
    • JSTOR:2314904, où Leon Warren Cohen (élève de Raymond Louis WilderRaymond Louis Wilder) prouve directement (i.e. sans le TAF) mais assez laborieusement que (sur un intervalle) f ' = 0 implique f constante
    • JSTOR:2314905, où Lipman BersLipman Bers prouve directement et bien plus élégamment que f ' > 0 implique f strictement croissante, et en déduit immédiatement que f ' ≥ 0 implique f croissante.
• C'est grâce à un autre article de Boas dans les Classroom capsules and notes de la MAA que j'ai trouvé l'article de Stolz que j'ai mis en note 12.
• Il y a aussi cet article pédagogique (T. A. Farmer, College Mathematics Journal, 1997) et cet article historique (V. Rouquet, Nouvelles annales de mathématiques, 1877).

Voilà donc un moyen simple d'éviter tout problème lié au théorème des accroissements finis généralisé et que l'on peut mettre à la sauce de notre article : pour la première généralisation g' ne s'annule pas, donc g' est de signe constant (supposé dans la suite positif), puis même encadrement sur ]a, r[ inclus dans ]a, b[ : (ℓ – ε)g' ≤ f' ≤ (ℓ + ε)g' pour conclure sur la croissance de f – (ℓ – ε)g et la décroissance f – (ℓ + ε)g. Puisque les limites de f et g en a sont nulles, on conclut sur le signe de g (positif), de f – (ℓ – ε)g (positif) et f – (ℓ + ε)g (négatif) sur ]a,r[, d'où l'encadrement sur ]a,r[ de f/g entre ℓ – ε et ℓ + ε. Remarquer que pour une limite infinie, la démonstration est analogue en travaillant sur une majoration ou une minoration sur ]a, r[ au lieu de travailler sur un encadrement

Ensuite on embraye sur la seconde généralisation et on met la remarque que les démonstrations restent valables si g' est positive ou nulle sans être nulle sur un intervalle.

Je n'ai pas lu toutes les sources que tu proposes mais il y a surement matière à améliorer l'article. Je suis pour ma part favorable à ce que tu modifies les démonstrations dans ce sens. HB (discuter) 24 juin 2015 à 08:49 (CEST)

Cas des indéterminations

Bonsoir Anne Bauval (d · c · b) et Dfeldmann (d · c · b), La règle de l'Hôpital ne s'applique que s'il y a une indétermination, f/g tendant à la limite vers 0 / 0 ou INF / INF. [2], [3], [4], [5], [6], etc. il y a suffisamment de références sur le net. Si f a une limite non infinie en a, alors la limite f/g avec g tendant vers INF en a est 0, pas besoin de la règle de l'Hôpital. Cordialement Patrick.Delbecq (discuter) 13 mars 2018 à 19:02

Bonsoir, tes première et quatrième refs sont particulièrement bas de gamme. Seule ta dernière donne une preuve, et c'est la même que sur Wikiversité, qui prouve la "version forte", antérieure à ton remplacement par une "version appauvrie". Voici 3 sources plus sérieuses : [7], [8], [9]. Le théorème qu'elles énoncent et démontrent est exactement la "version forte". f peut très bien n'avoir a priori aucune limite en a (finie ou infinie), et même a posteriori si ℓ = 0. Dans ces cas, la "version appauvrie" ne s'applique pas alors que la "version forte" s'applique. Et quoi qu'il en soit des applications, c'est mieux d'énoncer un théorème sans hypothèses superflues, surtout si la preuve ne les utilise pas. Anne, 20 h 30

Ce sont des sources prises au hasard, vous en aurez autant d'autres et plus en cherchant sur n'importe quel moteur de recherche. D'autre part cela ne change rien au fait que la règle de l'Hôpital traite des cas d'indétermination et qu'il n'y a aucun intérêt à utiliser la règle lorsque f a une limite finie en a. La généralisation que vous introduisez est abusive et hors contexte de la règle : la règle de l'Hôpital traite des cas 0 / 0 et INF / INF. Patrick.Delbecq (discuter) 13 mars 2018 à 20:38

Non, ce n'est pas au hasard ni (comme tu sembles avoir fait) avec un moteur de recherche, mais simplement en regardant la wp en anglais, qui donne ces sources bien plus académiques que des sites web ou des manuels, mais qui donne également ce site web. Il prouve lui aussi la version forte (remplacer l'hypothèse $\lim |g|=+\infty$ par $\lim g=+\infty$ est anodin, comme l'explique la 2e de mes 3 refs précédentes). L'appauvrissement que tu introduis est abusif et très mal sourcé, de même que le diktat « ne s'applique que s'il y a [...] 0 / 0 ou INF / INF » que tu répètes sans le justifier. Anne, 20 h 52 p.s. tu me reparles du cas où f a une limite finie donc tu ne sembles pas avoir lu attentivement ma réponse ci-dessus

Je parlais de mes sources, prises au hasard sur le net. Mais cette "version forte' n'est pas la règle de l'Hôpital. D'ailleurs en visitant l'historique vous avez introduit cette "version forte" le 5 décembre 2012 en écrasant une version antérieure qui donne exactement le même énoncé que celui que je rétablis. site de l'université d'Orléans, université de Montréal, université de Nantes par ex., etc. sur tout site d'université. Certes ce ne sont pas des sources "de qualité", mais ça reste des textes produits par des profs de maths universitaires, accessibles à tous, contrairement à vos sources en langues étrangères et sur sites payants. La règle de l'Hôpital sert à lever des indéterminations 0 / 0 et INF / INF, c'est sa seule raison d'être. S'il n'y a pas indétermination, ça ne sert à rien de l'utiliser, puisqu'il n'y a aucun intérêt à passer par les dérivées si f a une limite finie. Ce n'est pas parce que la démonstration permet trouver une formule générale avec g tendant vers INF quelle que soit la limite de f, que la règle de l'Hôpital énonce cette généralité. La règle de l'hôpital ne s'occupe que des cas d'indéterminations, et donc du cas particulier où f tend vers INF. La "version forte" n'est pas la règle de l'Hôpital, c'est la "version faible", celle des indéterminations, et elle seule, qui porte ce nom. Patrick.Delbecq (discuter) 13 mars 2018 à 21:19 (CET)
Soit dit en passant, la WP anglaise donne bien la règle pour les cas 0/0 et INF/INF, et donne dans la démonstration en bas de page le cas INF/INF comme le cas particulier de la formule plus vaste f quelconque / INF que vous donnez abusivement comme étant la règle même. Patrick.Delbecq (discuter) 13 mars 2018 à 21:57 (CET)
Il y a même cette phrase dès le paragraphe "General form" : In the second case, the hypothesis that f diverges to infinity is not used in the proof (see note at the end of the proof section); thus, while the conditions of the rule are normally stated as above, the second sufficient condition for the rule's procedure to be valid can be more briefly stated as $\lim _{x\to c}|g(x)|=\infty .$ Patrick.Delbecq (discuter) 13 mars 2018 à 22:03

Oui, c'est moi qui ai amélioré notre article en 2012, avec l'approbation des habitués. La WP anglaise et les divers sites web font ce qu'ils veulent. Mes 3 sources plus sérieuses sont 2 en anglais et 1 en français, et toutes trois directement accessibles (la 1e page suffit pour la première) et non pas en payant. C'est bel et bien la "version forte" qu'elles intitulent toutes trois : règle de l'Hopital ou théorème de l'Hopital. Et encore une fois, cette version officielle ne suppose pas que f ait la moindre limite, donc l'objection « S'il n'y a pas indétermination, ça ne sert à rien de l'utiliser, puisqu'il n'y a aucun intérêt à passer par les dérivées si f a une limite finie » ne tient pas non plus. Anne, 22 h 23

Amélioré est un grand mot, vu que ce passage est en totale contradiction avec les autres paragraphes qui, dès l'introduction, parlent de lever une indétermination. Votre version de l'article est truffée d'incohérences, puisque partout ailleurs on parle de INF/INF, sauf dans l'énoncé même de la règle. De plus je ne vois pas qui l'a validée, vu qu'il n'y a aucune discussion à ce propos sur cette page. Cette modification me semble injustifiée, unilatérale et je la conteste.
Donc il n'y a que vos sources qui soient sérieuses, même si elles ne sont pas accessibles et même si on vous en apporte bien plus qui vous contredisent, quelle que soit leur qualité ? Y compris la WP anglaise que vous citez ? Vous confondez la démonstration et la finalité, qui est de lever une indétermination. Je vous propose d'ajouter une note équivalente à celle de la WP anglaise, qui précise que la démonstration n'a pas besoin de l'hypothèse f tend vers INF, mais la formule et l'énoncé doivent rester sur le cas INF/INF, qui seul est énoncé par la règle.
D'ailleurs vous avez aussi supprimé la démonstration, ce que je trouve dommage vu que la wikiversity où vous l'avez déplacée ne me semble pas très utilisée. Patrick.Delbecq (discuter) 13 mars 2018 à 22:36 (CET)

Patrick. J'ai l'impression que tu penses qu'il n'y a que deux cas pour f en l'infini : ou bien f tend vers l'infini (comme g), ou bien f tend vers une limite finie (alors que g tend vers l'infini). Mais il y a aussi le cas où g tend vers l'infini et ou f n'admet pas de limite. Cela relève aussi d'une indétermination sur le quotient f/g, et il est dommage de se priver de pouvoir appliquer la règle de l'Hôpital alors qu'on pourrait. Quant à l'argument consistant à dire que la règle de l'Hôpital n'est pas prévue pour s'appliquer dans ce cas, il ne tient pas. L'article précise bien qu'il s'agit d'une généralisation de la règle, et on ne voit pas pourquoi on restreindrait cette généralisation. Enfin, il est inutile d'ajouter une hypothèse qu'on a pas besoin de vérifier et qui n'est pas utilisée dans la démonstration. Theon (discuter) 14 mars 2018 à 07:54 (CET)

Patrick. Tu viens d'annuler ma modif. Connais-tu le sens du mot généralisations ? Theon (discuter) 14 mars 2018 à 08:11 (CET)

Oui, merci, je connais aussi le principe des discussions, contrairement à vous semble-t-il. La règle de l'Hôpital ne traite que deux cas 0 / 0 et INF / INF. Qu'elle puisse ensuite être généralisée est un fait que je comprends parfaitement, mais qui doit être signalé autrement que par une formule qui confond la règle de base et sa généralisation. J'ai fait une proposition de rédaction en ce sens, similaire à celle du site anglais. Cordialement Patrick.Delbecq (discuter) 14 mars 2018 à 08:13 (CET)

Je reste perplexe. La règle de l'Hôpital (dans son célèbre livre reprenant Bernoulli, Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes ; on a de la chance, au moins c'est en français), c'est très exactement le calcul de la limite en a (fini) d'une forme indéterminée 0/0 (en traduisant en langage moderne, évidemment ; lui, il parle de courbes). Donc, déjà, tout autre cas est une généralisation. Il est clair que selon les auteurs (et les pays), cette généralisation va être plus ou moins étendue, et donc la formulation quelque peu péremptoire de Patrick.Delbecq (c'est 0/0 ou INF/INF, rien d'autre, c'est mon opinion et je la partage) semble ne pas respecter le principe de base de Wikipédia : en cas de doute, c'est les sources qui tranchent (et on pourrait rajouter, pourquoi pas, un bien intéressant débat sociologique pour savoir quelle méthode préférer pour traiter les cas comme ln x/x : les français ne jurant que par la croissance comparée, les américains que par l'Hopital). Mais cela dit, vous croyez pas qu'il y a mieux et plus urgent à faire sur Wikipédia ? Et même sur ce microscopique débat, que la question d'annulations trop nombreuses de g' au voisinage de a (le paragraphe "précautions à prendre") est un peu plus intéressante que de déterminer l'extension maximum du théorème ?--Dfeldmann (discuter) 14 mars 2018 à 09:27 (CET)

1 "quelque peu péremptoire" s'appuie sur des sources, qui valent ce qu'elles valent mais sont accessibles. 2- On parle bien de généralisations, puisque tout ceci tourne autour du paragraphe "généralisations". Cordialement Patrick.Delbecq (discuter) 14 mars 2018 à 20:50 (CET)

Il y a effectivement les deux généralisations et effectivement je pense que dans une bonne partie des sources c'est celle avec INF/INF qu'on trouve. Je pense que le compromis que vous avez trouvez est bon. Car on site bien les deux généralisations : la plus courante et la plus générale. Les deux me semblent devoir être citées dans l'article.--Huguespotter (discuter) 15 mars 2018 à 09:35 (CET)

rétablissement de la mise en forme LATEX

 Anne Bauval : bonsoir, Pourquoi donc rétablissez-vous une mise en forme obsolète du texte ? Afin d'homogénéiser au mieux les notations dans un article scientifique, il vaut mieux utiliser de façon homogène le LATEX pour toutes les formules mathématiques. Il faudrait que je retrouve les discussions sur les divers portails, il ressort que c'est la meilleure façon de présenter ces formules. Cordialement Patrick.Delbecq (discuter) 14 mars 2019 à 21:19 (CET)

C'est un effet un marronnier, mais rien de vous permet d'affirmer que notre mise en forme est obsolète, ni que la meilleure façon est la vôtre. Anne (discuter) 14 mars 2019 à 21:24 (CET)

Désolé si vous l'avez mal pris, ce n'était pas du tout mon intention. Patrick.Delbecq (discuter) 14 mars 2019 à 21:27 (CET)

Ce qui compte n'est pas mon ressenti ni votre intention, mais votre dégradation de la mef. Anne, 21 h 37

Quelle dégradation ? Puisque le LATEX est recommandé. Et soit dit en passant c'est bien vous qui avez refait toute la mise en forme hier soir, elle était en LATEX avant votre intervention. Patrick.Delbecq (discuter) 14 mars 2019 à 21:41 (CET)

« Recommandé » … par vous. Lisez les « discussions qu'il faudrait que vous retrouviez » (cf. lien marronnier ci-dessus). Je ne suis pas la seule à œuvrer assidument pour éliminer le LaTeX des formules simples dans le corps du texte (que vous aviez, dans cet article-ci, installé systématiquement en mars 2018 à l'occasion d'une autre tentative de forcing). Anne, 22 h 18

Tiens c'est vrai, c'est moi qui avais fait la mise en forme LATEX. Et personne n'avait dit quoi que ce soit à l'époque, dont vous-même qui participiez alors à la discussion sur ma "tentative de forcing" qui vous a désapprouvée finalement. Alors donc pourquoi réagir un an plus tard ? Et pour votre gouverne, je ne suis pas le seul à prôner l'utilisation du LATEX dans les formules simples du texte. Exemple sur le Coin café du labo. Patrick.Delbecq (discuter) 14 mars 2019 à 22:27 (CET)

 Anne Bauval : bonsoir,
Comme déjà évoqué ici, la mise en forme LATEX est préférable à l'UNICODE. Merci donc de ne pas rétablir cette mise en forme obsolète.
Cordialement Patrick.Delbecq (discuter) 24 août 2020 à 19:15 (CEST)
Juste pour préciser pourquoi je m'oppose à ces modifications. UNICODE et LATEX ne donnent pas le même rendu : ainsi g et $g$, x et $x$, a et $a$. Il n'y a aucune raison qu'une même fonction ou variable ait un symbole différent entre le texte et la formule où elle apparait. Les problèmes de taille du LATEX ayant été réglés depuis des années, plus rien ne s'oppose à ce que le texte et les formules soient rédigés de façon homogène. Diverses discussions sur WP ont abondé en ce sens. Patrick.Delbecq (discuter) 24 août 2020 à 19:55 (CEST)

Je me rends compte également qu'UNICODE n'a pas le même rendu sur mon PC et mon smartphone, contrairement au LATEX. Patrick.Delbecq (discuter) 24 août 2020 à 20:18 (CEST)

 Theon :, bonjour,
Merci d'expliquer cette annulation ici.
Comme évoqué ici, l'utilisation d'UNICODE provoque des différences de typographie entre le texte et les formules, ce qui est regrettable. De plus Anne Bauval (d · c · b) semble avoir accepté cette modification. Elle m'a en effet remercié pour mon explication ci-dessus.
Cordialement Patrick.Delbecq (discuter) 26 août 2020 à 17:29 (CEST)

L'argument du 24 août à 19 h 55 (sur le rendu différent) m'a en effet convaincue. Cependant, plus une page contient du LaTeX, plus elle est longue à charger. Anne, 26/8, 17 h 31

 Anne Bauval :, merci. Patrick.Delbecq (discuter) 26 août 2020 à 17:34 (CEST)

Utiliser <math>...</math> juste pour une variable, c'est utiliser un marteau-pilon. Theon (discuter) 26 août 2020 à 17:44 (CEST)

 Theon :, Et en ce qui concerne les problèmes de typographie qui résultent de l'utilisation d'UNICODE ? Patrick.Delbecq (discuter) 26 août 2020 à 17:49 (CEST)

 Dfeldmann :, bonjour,
Merci d'expliquer ici votre annulation abusive et sans explication sérieuse. Merci aussi de prendre en compte ce qui est expliqué ci-dessus.
Cordialement Patrick.Delbecq (discuter) 26 août 2020 à 18:01 (CEST)

 Theon :,  Dfeldmann :. J'ai des arguments. Merci d'en tenir compte au lieu d'annuler juste parce que vous n'êtes pas d'accord ou qu'il y a mieux à faire. Vous verrez ci-dessus qu'Anne Bauval (d · c · b) a été convaincue. Les principes de discussion et de consensus, fondamentaux sur WP, vous connaissez ? La PDD sert à ça.
D'autre part la mise en forme LATEX de cette page date de 2018. Pourquoi donc soudainement la refusez-vous ?
Cordialement Patrick.Delbecq (discuter) 26 août 2020 à 18:12 (CEST)

La différence de rendu est minime. Sur le fait de reprendre une page après une interruption de deux ans, c'est simplement que les modifications apportées par Anne Bauval paraissaient alléger la page. Enfin, sur le consensus, je rappelle que nous étions trois, il y a deux ans, à tenter en vain de t'expliquer qu'imposer à tout prix une hypothèse inutile dans un énoncé mathématique ne présentait aucun intérêt. Theon (discuter) 27 août 2020 à 08:51 (CEST)

 Theon :, Bonjour,
La différence de rendu n'est pas minime, on s'en rend compte d'autant plus lorsque l'on pratique plusieurs navigateurs. Comme indiqué, UNICODE n'a pas la même police de caractère d'un navigateur à l'autre. Sur certains navigateurs, par exemple, le x de UNICODE ressemble à une croix $\times$, rien à voir avec $x$, et c'est flagrant.
Quant au sujet d'il y a deux ans, vous aviez tort, à trois ou pas. Et le sujet n'était pas une hypothèse inutile, mais une généralisation hors sujet. Merci de vous approprier les tenants et aboutissants d'un échange avant de vous y insérer. Et quoi qu'il en soit le débat est clos.
Cordialement Patrick.Delbecq (discuter) 27 août 2020 à 09:13 (CEST)

Je ne pouvais manquer l'occasion de te donner l'opportunité d'exposer ta conception toute personnelle de ce qu'est un consensus. « vous aviez tort, à trois ou pas » : un exemple qui restera dans les annales . Sans rancune. Theon (discuter) 28 août 2020 à 07:45 (CEST)

Et pourtant j'ai eu gain de cause. La majorité n'a pas toujours raison. Surtout lorsqu'elle use d'annulations sans aucune explication en PDD. Voici un comportement bien à l'encontre des fondamentaux de WP. Patrick.Delbecq (discuter) 28 août 2020 à 07:57 (CEST)