Discriminant d'un corps de nombres

Un domaine fondamental de l'anneau des entiers du corps $\mathbb {K}$ obtenu à partir de $\mathbb {Q}$ en adjoignant une racine de $X^{3}-X^{2}-2X+1$. Ce domaine fondamental se trouve à l'intérieur de $\mathbb {K} \otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {R}$. Le discriminant de $\mathbb {K}$ est $49=7^{2}$. En conséquence, le volume du domaine fondamental est $7$ et $\mathbb {K}$ n'est ramifié qu'en $7$.

En mathématiques, le discriminant d'un corps de nombres algébriques est un invariant numérique qui, moralement, mesure la taille de l'anneau des entiers du corps de nombres algébriques. Plus précisément, il est proportionnel au carré du volume du domaine fondamental de l'anneau des entiers, et il régule quels nombres premiers sont ramifiés.

Le discriminant est l'un des invariants les plus élémentaires d'un corps de nombres et apparaît dans plusieurs formules analytiques importantes telles que l' équation fonctionnelle de la fonction zêta de Dedekind de $\mathbb {K}$ et la formule analytique des nombres de classe pour $\mathbb {K}$. Un théorème d'Hermite stipule qu'il n'y a qu'un nombre fini de corps de nombres de discriminant donné, mais la détermination de cette quantité est toujours un problème ouvert et fait l'objet de recherches.

Le discriminant de $\mathbb {K}$ peut être appelé discriminant absolu de $\mathbb {K}$ pour le distinguer du discriminant relatif d'une extension $\mathbb {K} /\mathbb {L}$ de corps de nombres. Ce dernier est un idéal dans l'anneau des entiers de $\mathbb {L}$, et comme le discriminant absolu il indique quels nombres premiers sont ramifiés dans $\mathbb {K} /\mathbb {L}$. C'est une généralisation du discriminant absolu permettant à L d'être plus grand que $\mathbb {Q}$ ; en effet, lorsque $\mathbb {L} =\mathbb {Q}$, le discriminant relatif de $\mathbb {K} /\mathbb {Q}$ est l'idéal principal de $\mathbb {Z}$engendré par le discriminant absolu de $\mathbb {K}$.

Définition

Soit $\mathbb {K}$ un corps de nombres algébriques, et soit ${\mathcal {O}}_{\mathbb {K} }$ son anneau des entiers. Soit $b_{1},\ldots ,b_{n}$ une base entière de ${\mathcal {O}}_{\mathbb {K} }$ (c'est-à-dire une base en tant que $\mathbb {Z}$-module), et soit $\{\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}\}$ l'ensemble des plongements de $\mathbb {K}$ dans le nombres complexes (c'est-à-dire homomorphismes d'anneaux injectifs $\mathbb {K} \rightarrow \mathbb {C}$). Le discriminant de $\mathbb {K}$ est le carré du déterminant de la matrice $B$ dont l'entrée (i, j) est $\sigma _{i}(b_{j})$. Symboliquement,

$\Delta _{K}=\det \left({\begin{array}{cccc}\sigma _{1}(b_{1})&\sigma _{1}(b_{2})&\cdots &\sigma _{1}(b_{n})\\\sigma _{2}(b_{1})&\ddots &&\vdots \\\vdots &&\ddots &\vdots \\\sigma _{n}(b_{1})&\cdots &\cdots &\sigma _{n}(b_{n})\end{array}}\right)^{2}.$

De manière équivalente, la trace de $\mathbb {K}$ sur $\mathbb {Q}$ peut être utilisée. Plus précisément, définissons la forme trace comme étant la matrice dont l'entrée (i, j) est $\mathrm {Tr} _{\mathbb {K} /\mathbb {Q} }(b_{i}b_{j})$. Cette matrice vaut $B^{T}B$, donc le discriminant de $\mathbb {K}$ est le déterminant de cette matrice.

Exemples

• Corps de nombres quadratiques : soit d un entier sans carré, alors le discriminant de $\mathbb {K} =\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})$ est

$\Delta _{K}=\left\{{\begin{array}{ll}d&{\text{si }}d\equiv 1{\pmod {4}}\\4d&{\text{si }}d\equiv 2,3{\pmod {4}}.\\\end{array}}\right.$

Un entier qui apparaît comme le discriminant d'un corps de nombres quadratiques est appelé un discriminant fondamental.

• Corps cyclotomiques : soit $n>2$ un entier, soit $\zeta _{n}$ une n-ième racine primitive de l'unité, et soit $\mathbb {K} _{n}=\mathbb {Q} (\zeta _{n})$ le n-ième corps cyclotomique. Le discriminant de $\mathbb {K} _{n}$ est donné par

$\Delta _{K_{n}}=(-1)^{\varphi (n)/2}{\frac {n^{\varphi (n)}}{\displaystyle \prod _{p|n}p^{\varphi (n)/(p-1)}}}$

où $\varphi (n)$ est la fonction indicatrice d'Euler, et le produit au dénominateur porte sur les nombres premiers p divisant n .

• Bases de puissances : Dans le cas où l'anneau des entiers peut s'écrire ${\mathcal {O}}_{\mathbb {K} }=\mathbb {Z} [\alpha ]$, le discriminant de ${\mathbb {K} }$ est égal au discriminant du polynôme minimal de $\alpha$. Pour voir cela, on peut choisir la base intégrale de ${\mathcal {O}}_{\mathbb {K} }$ comme étant $b_{1}=1,b_{2}=\alpha ,\ldots ,b_{n}=\alpha ^{n-1}$. Alors, la matrice dans la définition est la matrice de Vandermonde associée à α _i = σ _i (α), dont le déterminant au carré est

$\prod _{1\leq i<j\leq n}(\alpha _{i}-\alpha _{j})^{2}$

qui est exactement la définition du discriminant du polynôme minimal.

• Soit ${\mathbb {K} }=\mathbb {Q} (\alpha )$ le corps de nombres obtenu en adjoignant une racine α du polynôme $X^{3}-X^{2}-2X-8$. Il s'agit de l'exemple original de Richard Dedekind d'un corps de nombre dont l'anneau d'entiers ne possède pas de base de puissance. Une base intégrale est donnée par $\left\{1,\alpha ,{\frac {\alpha (1+\alpha )}{2}}\right\}$ et le discriminant de $\mathbb {K}$ est $-503$.
• Discriminants répétés : le discriminant d'un corps quadratique l'identifie de manière injective, mais ce n'est pas vrai en général, pour les corps de nombres de degré supérieur. Par exemple, il existe deux corps cubiques non isomorphes de discriminant 3969. Ils sont obtenus en adjoignant une racine du polynôme $X^{3}-21X+28$ ou $X^{3}-21X-35$, respectivement.

Résultats fondamentaux

• Théorème de Brill : Le signe du discriminant est $(-1)^{r_{2}}$où $r_{2}$ est le nombre de plongements complexes de $\mathbb {K}$.
• Un nombre premier p se ramifie dans $\mathbb {K}$ si et seulement si p divise $\Delta _{\mathbb {K} }$.
• Théorème de Stickelberger :

$\Delta _{K}\equiv 0{\text{ ou }}1{\pmod {4}}.$

• Borne de Minkowski : Soit n le degré de l'extension $\mathbb {K} /\mathbb {Q}$ et $r_{2}$ le nombre de plongements complexes de $\mathbb {K}$, alors

$|\Delta _{K}|^{1/2}\geq {\frac {n^{n}}{n!}}\left({\frac {\pi }{4}}\right)^{r_{2}}\geq {\frac {n^{n}}{n!}}\left({\frac {\pi }{4}}\right)^{n/2}.$

• Théorème de Minkowski : Si $\mathbb {K}$ n'est pas $\mathbb {Q}$, alors $|\Delta _{\mathbb {K} }|>1$ (ceci découle directement de la borne de Minkowski).
• Théorème d'Hermite–Minkowski : Soit $N$ un entier strictement positif. Il n'y a qu'un nombre fini (à isomorphismes près) de corps de nombres algébriques $\mathbb {K}$ avec $|\Delta _{\mathbb {K} }|<N$. Encore une fois, cela découle de la borne de Minkowski ainsi que du théorème d'Hermite.

Histoire

Richard Dedekind a montré que tout corps de nombre possède une base intégrale, lui permettant de définir le discriminant d'un corps de nombre arbitraire.

La définition du discriminant d'un corps de nombres algébriques général a été donnée par Dedekind en 1871. À ce stade, il connaissait déjà la relation entre le discriminant et la ramification.

Le théorème d'Hermite est antérieur à la définition générale du discriminant, Charles Hermite en publiant une preuve en 1857. En 1877, Alexander von Brill a déterminé le signe du discriminant. Leopold Kronecker a d'abord énoncé le théorème de Minkowski en 1882, bien que la première preuve ait été donnée par Hermann Minkowski en 1891. Dans la même année, Minkowski a publié sa borne sur le discriminant . Vers la fin du XIX^e siècle, Ludwig Stickelberger a obtenu son théorème sur le résidu du discriminant modulo quatre.

Discriminant relatif

Le discriminant défini ci-dessus est parfois appelé discriminant absolu de $\mathbb {K}$ pour le distinguer du discriminant relatif $\Delta _{\mathbb {K} /\mathbb {L} }$ d'une extension de corps de nombres $\mathbb {K} /\mathbb {L}$, qui est un idéal dans ${\mathcal {O}}_{\mathbb {L} }$. Le discriminant relatif est défini de manière similaire au discriminant absolu, mais doit tenir compte du fait que les idéaux dans ${\mathcal {O}}_{\mathbb {L} }$ peuvent ne pas être principaux et qu'il peut ne pas y avoir de ${\mathcal {O}}_{\mathbb {L} }$-base de ${\mathcal {O}}_{\mathbb {K} }$. Soit $\{\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}\}$ l'ensemble des plongements de $\mathbb {K}$ dans $\mathbb {C}$ qui sont l'identité sur $\mathbb {L}$. Si $b_{1},\ldots ,b_{n}$ est une base quelconque de $\mathbb {K}$ sur $\mathbb {L}$, soit $d(b_{1},\ldots ,b_{n})$ le carré du déterminant de la matrice n par n dont (i, j)- l'entrée est $\sigma _{i}(b_{j})$. Alors, le discriminant relatif de $\mathbb {K} /\mathbb {L}$ est l'idéal engendré par les $d(b_{1},\ldots ,b_{n})$ lorsque $\{b_{1},\ldots ,b_{n}\}$ varie sur toutes les bases intégrales de $\mathbb {K} /\mathbb {L}$. Alternativement, le discriminant relatif de $\mathbb {K} /\mathbb {L}$ est la norme de la différente de $\mathbb {K} /\mathbb {L}$. Lorsque $\mathbb {L} =\mathbb {Q}$, le discriminant relatif $\Delta _{\mathbb {K} /\mathbb {Q} }$ est l'idéal principal de $\mathbb {Z}$ engendré par le discriminant absolu $\Delta _{\mathbb {K} }$ . Dans une tour de corps $\mathbb {K} /\mathbb {L} /\mathbb {F}$ les discriminants relatifs sont liés par

$\Delta _{K/F}={\mathcal {N}}_{L/F}\left({\Delta _{K/L}}\right)\Delta _{L/F}^{[K:L]}$

où ${\mathcal {N}}$ désigne la norme relative.

Ramification

Le discriminant relatif régule les données de ramification de l'extension de corps $\mathbb {K} /\mathbb {L}$. Un idéal premier $p$ de $\mathbb {L}$ se ramifie dans $\mathbb {K}$ si, et seulement si, il divise le discriminant relatif $\Delta _{\mathbb {K} /\mathbb {L} }$. Une extension est non ramifiée si, et seulement si, le discriminant est l'idéal unitaire. La borne de Minkowski ci-dessus montre qu'il n'y a pas d'extensions non ramifiées non triviales de $\mathbb {Q}$. Les corps plus grands que $\mathbb {Q}$ peuvent avoir des extensions non ramifiées : par exemple, pour tout champ avec un nombre de classe supérieur à un, son corps de classe de Hilbert est une extension non triviale non ramifiée.

Relation avec d'autres grandeurs

• Lorsqu'il est plongé dans $\mathbb {K} \otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {R}$, le volume du domaine fondamental de ${\mathcal {O}}_{\mathbb {K} }$ est ${\sqrt {|\Delta _{K}|}}$ (parfois une mesure différente est utilisée et le volume obtenu est $2^{-r_{2}}{\sqrt {|\Delta _{K}|}}$.
• En raison de son apparition dans ce volume, le discriminant apparaît également dans l'équation fonctionnelle de la fonction zêta de Dedekind de $\mathbb {K}$, et donc dans la formule analytique du nombre de classes, et le théorème de Brauer-Siegel.
• Le discriminant relatif de $\mathbb {K} /\mathbb {L}$ est le conducteur d'Artin de la représentation régulière du groupe de Galois de $\mathbb {K} /\mathbb {L}$. Ceci fournit une relation aux conducteurs d'Artin des caractères du groupe de Galois de $\mathbb {K} /\mathbb {L}$. appelée la formule conducteur-discriminant.

Notes et références

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Discriminant of an algebraic number field » (voir la liste des auteurs).

Sources primaires

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Discriminant of an algebraic number field » (voir la liste des auteurs).
• Alexander von Brill, Ueber die Discriminante, vol. 12, 1877, 87–89 p. (DOI 10.1007/BF01442468, MR 1509928, JFM 09.0059.02, lire en ligne)
• Richard Dedekind, Vorlesungen über Zahlentheorie von P.G. Lejeune Dirichlet, Vieweg, 1871 (lire en ligne)
• Richard Dedekind, Über den Zusammenhang zwischen der Theorie der Ideale und der Theorie der höheren Congruenzen, vol. 23, 1878 (lire en ligne)
• Charles Hermite, Extrait d'une lettre de M. C. Hermite à M. Borchardt sur le nombre limité d'irrationalités auxquelles se réduisent les racines des équations à coefficients entiers complexes d'un degré et d'un discriminant donnés, vol. 1857, 1857, 182–192 p. (DOI 10.1515/crll.1857.53.182, lire en ligne)
• Leopold Kronecker, Grundzüge einer arithmetischen Theorie der algebraischen Grössen, vol. 92, 1882, 1–122 p. (JFM 14.0038.02, lire en ligne)
• Hermann Minkowski, Ueber die positiven quadratischen Formen und über kettenbruchähnliche Algorithmen, vol. 1891, 1891a, 278–297 p. (DOI 10.1515/crll.1891.107.278, JFM 23.0212.01, lire en ligne)
• Hermann Minkowski, Théorèmes d'arithmétiques, vol. 112, 1891b, 209–212 p. (JFM 23.0214.01)
• Ludwig Stickelberger, Proceedings of the First International Congress of Mathematicians, Zürich, 1897, 182–193 p. (JFM 29.0172.03)

Sources secondaires

• Éléments d'histoire des mathématiques, Hermann, 1974 (réimpr. 1984, 2007), 3^e éd. (1^re éd. 1960), 376 p. (ISBN 978-3-540-33938-0, présentation en ligne)

• Henri Cohen, A Course in Computational Algebraic Number Theory, vol. 138, Berlin, New York, Springer-Verlag, coll. « Graduate Texts in Mathematics », 1993 (ISBN 978-3-540-55640-4, MR 1228206)
• Henri Cohen, Francisco Diaz y Diaz et Michel Olivier, Algorithmic Number Theory, Proceedings, 5th International Syposium, ANTS-V, University of Sydney, July 2002, vol. 2369, Berlin, Springer-Verlag, coll. « Lecture Notes in Computer Science », 2002, 80–94 p. (ISBN 978-3-540-43863-2, ISSN 0302-9743, DOI 10.1007/3-540-45455-1_7, MR 2041075)
• Albrecht Fröhlich et Martin Taylor, Algebraic number theory, vol. 27, Cambridge University Press, coll. « Cambridge Studies in Advanced Mathematics », 1993 (ISBN 978-0-521-43834-6, MR 1215934)
• Helmut Koch, Algebraic Number Theory, vol. 62, Springer-Verlag, coll. « Encycl. Math. Sci. », 1997 (ISBN 3-540-63003-1, zbMATH 0819.11044)
• Władysław Narkiewicz, Elementary and analytic theory of algebraic numbers, Berlin, Springer-Verlag, coll. « Springer Monographs in Mathematics », 2004 (ISBN 978-3-540-21902-6, MR 2078267)
• Jürgen Neukirch, Algebraische Zahlentheorie, vol. 322, Berlin, Springer-Verlag, coll. « Grundlehren der mathematischen Wissenschaften », 1999 (ISBN 978-3-540-65399-8, MR 1697859, zbMATH 0956.11021)
• Jean-Pierre Serre, Algebraic Number Theory, Proceedings of an instructional conference at the University of Sussex, Brighton, 1965, London, Academic Press, 1967 (ISBN 0-12-163251-2, MR 0220701), « Local class field theory »
• John Voight, Algorithmic number theory. Proceedings, 8th International Symposium, ANTS-VIII, Banff, Canada, May 2008, vol. 5011, Berlin, Springer-Verlag, coll. « Lecture Notes in Computer Science », 2008, 268–281 p. (ISBN 978-3-540-79455-4, DOI 10.1007/978-3-540-79456-1_18, MR 2467853, zbMATH 1205.11125, arXiv 0802.0194)
• Lawrence Washington, Introduction to Cyclotomic Fields, vol. 83, Berlin, New York, Springer-Verlag, coll. « Graduate Texts in Mathematics », 1997 (ISBN 978-0-387-94762-4, MR 1421575, zbMATH 0966.11047)

Lectures complémentaires

• James S. Milne, Algebraic Number Theory, 1998 (lire en ligne)