Bruit blanc

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Échantillon de bruit blanc.

Un bruit blanc est une réalisation d'un processus aléatoire dans lequel la densité spectrale de puissance est la même pour toutes les fréquences.

Le bruit blanc gaussien est un bruit blanc qui suit une loi normale de moyenne et variance données.

En synthèse et traitement du son, on ne considère que les fréquences comprises entre 20 Hz et 20 kHz puisque l'oreille humaine n'est sensible qu'à cette bande de fréquences (la sensibilité varie toutefois selon les personnes). L'impression obtenue est celle d'un souffle. Le son produit lors de l'effet de « neige » sur un téléviseur déréglé est un bon exemple de bruit blanc.

Spectre plat d'un bruit blanc (sur l'abscisse, la longueur d'onde ; en ordonnée, l'intensité.

Bruit blanc sonore[modifier | modifier le code]

Le bruit blanc, à l'instar de la « lumière blanche » qui est un mélange de toutes les couleurs, est composé de toutes les fréquences, chaque fréquence ayant la même énergie. Le nombre de fréquences doublant d'une octave à l'autre, l'énergie croît linéairement de dB par octave[1].

Fichier audio
Bruit blanc (info)
10 secondes d'un échantillon de bruit blanc.

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Notion de bruit blanc[modifier | modifier le code]

Par analogie avec la lumière blanche qui contient toutes les fréquences lumineuses avec la même intensité, un bruit blanc est un processus stochastique qui possède la même densité spectrale de puissance à toutes les fréquences. Ceci correspond à une autocorrélation nulle en tout point sauf à l'origine : le processus est décorrélé. S'il est gaussien, cette décorrélation entraîne l'indépendance[2].

La décorrélation conduit à une puissance moyenne ou variance infinie. Le processus correspondant ne peut donc exister mais c'est une approximation commode pour le calcul de la réponse d'un système peu amorti.

Plus concrètement, un bruit blanc filtré à la fréquence f_c correspond à un processus échantillonné à 1 / 2 f_c, ce résultat étant utilisé dans les simulations.

Bruit blanc et solutions analytiques d'équations différentielles[modifier | modifier le code]

Approximation d'une excitation aléatoire par un bruit blanc.

En toute rigueur, un bruit blanc ne peut exister car une densité spectrale identique pour toutes les fréquences conduirait à une variance, mesurée par l'aire sous la courbe, infinie (et donc une puissance infinie).

Cette solution est néanmoins intéressante dans certains problèmes pratiques car, bien qu'il ne puisse exister, on montre que la réponse à un bruit blanc d'un système amorti reste finie. Le remplacement d'une excitation quelconque par un bruit blanc fournit donc, en simplifiant considérablement les calculs, une approximation d'autant meilleure que l'amortissement du système est plus faible.

Bruit blanc et simulations[modifier | modifier le code]

Un bruit blanc de densité spectrale (voir analyse spectrale) S0 échantillonné au pas T contient des fréquences inférieures à 1/2T (voir Théorème de Shannon). C'est un bruit blanc filtré qui possède une variance finie. Celle-ci s'écrit, si la densité spectrale est exprimée sur une échelle en fréquences positives, σ2 = S0/2T.

Un bruit blanc peut être engendré par une séquence de nombres au hasard qui correspond à une densité de probabilité uniforme sur un intervalle de largeur unité. Pour obtenir des nombres sur un intervalle de largeur a, il suffit de multiplier le résultat par a.

Conséquence du théorème de la limite centrale, le bruit blanc gaussien est particulièrement utile. Pour le créer, on peut utiliser la formule de Rice :

X = A \cos \Phi \,

\Phi est une séquence de variables uniformes sur un intervalle de largeur 2π.

A est une séquence de variables de Rayleigh dont la fonction de répartition s'écrit, \sigma^2 étant la variance cherchée pour la variable de Gauss :

{F_A}(a) = 1 - e^{-{{a^2}\over{2 \sigma^2}}}

En égalant cette fonction de répartition à celle d'un nombre au hasard noté r, on obtient une réalisation de la variable de Rayleigh :

a = \sigma \sqrt{-2 \ln (1-r)}

À partir de là, on construit une réalisation d'un bruit blanc gaussien. On peut alors obtenir une réalisation d'un processus gaussien quelconque en prenant sa transformée de Fourier, en la multipliant par la racine carrée de la densité spectrale et en inversant la transformée.

Bruit blanc et statistique[modifier | modifier le code]

Dans l'étude des séries temporelles en statistique, il est souvent utile de définir un processus de bruit blanc également dans le domaine temporel (alors que les définitions plus haut sont dans le domaine des fréquences). Les définitions présentées ici sont faites pour des processus à temps discret et à valeurs continues. Selon Hamilton (1994, p. 47)[3] :

Définition — Un processus  \epsilon_t est qualifié de bruit blanc si :

  •  E[\epsilon_t]=0 \,
  •  E[\epsilon_{t}^{2}]=\sigma ^2
  •  E[\epsilon_t \epsilon_{\tau}]=0  \qquad \forall t \ne \tau

Un processus de bruit blanc est donc par définition stationnaire de second ordre. La troisième condition, \text{E}[\epsilon_t \epsilon_{\tau}]=0 , (ou \text{Cov}[\epsilon_t, \, \epsilon_{\tau}] = 0), signifie que l'autocovariance est nulle.

Définition — Un processus  \epsilon_t est qualifié de bruit blanc indépendant si :

  •  E[\epsilon_t]=0 \,
  •  E[\epsilon_{t}^{2}]=\sigma ^2
  •  \epsilon_t\, et  \epsilon_{\tau} \, sont indépendants  \forall t \ne \tau

On remarquera que la troisième condition de la définition du bruit blanc indépendant, celle d'indépendance, implique la condition d'autocovariance nulle du bruit blanc, tandis que la réciproque n'est pas forcément vraie. Cette deuxième définition est donc plus stricte que la première.

Définition — Un processus  \epsilon_t est qualifié de bruit blanc gaussien si

  •  \epsilon_t \text{ est un bruit blanc indépendant}
  •  \epsilon_t  \sim \mathcal {N} (0,\sigma ^2) \,

Bruit blanc fort et bruit blanc faible[modifier | modifier le code]

En statistique spatiale, on distingue les deux définitions suivantes:

Définition — Un processus stochastique X sur un espace S est un bruit blanc fort (BBF) si les variables X(s), sS sont centrées, indépendantes et identiquement distribuées.

Définition — Un processus stochastique X sur un espace S est un bruit blanc faible (BBf) si les variables X(s), sS sont centrées, décorrélées, et de variances finies constantes (Cov(Xs, Xt) = σ2 δs=t)

La définition du bruit blanc faible est celle du bruit blanc en statistique temporelle ci-avant ; pareillement, celle du bruit blanc fort est celle du bruit blanc indépendant. Un bruit blanc faible est stationnaire dans L2, un bruit blanc fort est strictement stationnaire.

Bruit blanc, sommeil et santé[modifier | modifier le code]

Certains types de bruit blanc présentent des propriétés hypnotiques.

  • Il a été démontré que la diffusion d'un bruit blanc dans la pièce peut induire ou faciliter le sommeil chez le nouveau-né (testé chez des nouveau-nés âgés de deux à sept jours[4]) humain de même que chez l'adulte, probablement en réduisant le rapport signal/bruit du son ambiant[4] (ce qui rappelle peut-être au nouveau-né une ambiance intra-utérine).
    87 % des nouveau-nés expérimentalement exposés à du bruit blanc s'endormaient dans les cinq minutes, contre 25 % sans bruit blanc[5].
  • Des personnes expérimentalement exposées à une simulation de musique composée d'un bruit blanc entrent dans un état de somnolence, avec une augmentation des densités de puissance des ondes lentes du cerveau (les ondes delta ; < 3,5 Hz) mesurée via l'EEG chez des sujets adultes, ce qui suggère que le bruit blanc peut modifier le niveau d'éveil et agir sur l'état de conscience[6].
  • Une autre étude conçue pour tester l'efficacité clinique du bruit blanc sur un échantillon de patients en situation postopératoires (pontage d'artères coronaires ou PAC) suite à leur transfert en unité de soins intensifs[7] ; Les sujets exposés durant trois nuits aux bruits de l'océan (composé d'un bruit blanc) ont rapporté avoir dormi nettement mieux, en termes de durée de sommeil, de profondeur du sommeil, de nombre de réveils et de la facilité de retour au sommeil et de qualité de sommeil par rapport à des témoins non exposés au même bruit blanc[7].

Selon une étude publiée en 2002, le bruit blanc, diffusé à faible intensité pourrait être une « alternative non-pharmacologique » ; simple, sûre et rentable à de nombreux médicaments sédatifs, hypnotiques utilisés pour combattre l'insomnie, divers troubles psychiatriques, ou effets de stress et de stress post-traumatique[4]. Le bruit blanc pourrait notamment être utilisé dans certains traitements de l'insomnie[4].

  • Un générateur de bruit blanc pourrait rendre certains acouphènes moins perceptibles par celui qui les subit et ainsi faciliter le travail, la concentration ou le sommeil.
  • Des rats soumis à un bruit blanc présentent une baisse du taux de norépinéphrine dans le système auditif aux environs de la cochlée[8], or ce neurotransmetteur semble impliqué dans l'excitation, le stress et l'étiologie du stress post-traumatique[9].

Un bruit blanc pourrait donc peut-être avoir un effet thérapeutique direct sur certains stress et troubles impliquant ce médiateur.

Divers experts en santé ont conseillé à des patients insomniaques en raison d'un syndrome post-traumatique d'installer un ventilateur dans leur chambre pour induire le sommeil, suggestion qui semble avoir eu une certaine efficacité selon H.H. López & al.[4]

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]

  • (en)

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Christian Hugonnet et Pierre Walder, Théorie et pratique de la prise de son stéréophonique, éditions Eyrolles, Paris, deuxième édition 1998, p. 32.
  2. (Richard Taillet, Loïc Villain et Pascal Febvre, Dictionnaire de physique, Bruxelles, De Boeck,‎ 2013, p. 84.
  3. (en) Hamilton, Time Series Analysis, Princeton University Press, 1994.
  4. a, b, c, d et e (en) López, HH; Bracha, AS; Bracha, HS (septembre 2002). « Evidence based complementary intervention for insomnia » ; Hawaii Med J 61 (9): 192, 213. PMID 12422383
  5. (en) Spencer JA, Moran DJ, Lee A, Talbert D. White noise and sleep induction. Arch Dis Child 1990, 65: 135-137.
  6. (en) Ogata S. Human EEG responses to classical music and simulated white noise: effects of a musical loudness component on consciousness. Percept Mot Skills 1995, 80: 779-790.
  7. a et b (en) Williamson JW. The effects of ocean sounds on sleep after coronary artery bypass graft surgery ; Am J Crit Care 1992, 1: 91-97.
  8. (en) Vicente-Torres MA, Gil-Loyzaga P. Noise stimulation decreases the concentration of norepinephrine in the rat cochlea. Neurosci Lett 1999, 14; 266.
  9. (en) Southwick SM, Bremner JD, Rasmusson A, Morgan CA, Arnsten A, Charney DS. Role of norepinephrine in the pathophysiology and treatment of posttraumatic stress disorder ; Biol Psychiatry 1999, 46: 1192-1204.