Fréquence spatiale

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La fréquence spatiale est une grandeur caractéristique d'une structure matérielle qui se reproduit identiquement à des positions régulièrement espacées. Elle est la mesure du nombre de répétitions par unité de longueur.

Vis.
Exemple mécanique  :

Une vis est une spirale cylindrique, qui se décrit ordinairement par son diamètre extérieur et son pas, qui est l'écart entre deux crêtes consécutives, parallèlement à l'axe principal.

On peut aussi préférer indiquer le nombre de crètes par unité de longueur. Le filet d'une vis de pas 1,25 millimètres tourne 80 fois par centimètre. Les normes anglaise du filetage gaz donnent le nombre de crêtes de filet par pouce. Ce nombre est une fréquence spatiale.

Dans le domaine de la propagation des ondes, la fréquence spatiale s'appelle le nombre d'onde et parfois répétence[1].

Du point de vue des mathématiques, il importe peu qu'une variable représente une grandeur temporelle ou spatiale. Les méthodes de l'analyse spectrale s'appliquent donc aux espaces, si les structures respectent l'hypothèse fondamentale de la linéarité des grandeurs en jeu.

Le concept de fréquence spatiale trouve ses applications principales en imagerie, qu'elle soit photographique ou informatique. En imprimerie, elle s'appelle linéature de trame et s'exprime en points ou éléments d'image (pixel) par pouce (dpi).

En optique et en astronomie, la dimension des objets est inaccessible, on s'intéresse à leur distance angulaire et on mesure des résolutions angulaires, c'est-à-dire l'angle minimum séparant deux structures lumineuses distinctes. Une fréquence angulaire est l'inverse de cette grandeur, le nombre de fois qu'une structure lumineuse peut se répéter dans un angle donné[2].

Domaines d'application[modifier | modifier le code]

Mire sinusoïdale.
Mire carrée.

Pour une image statique correspondant à un motif alternant du blanc au noir de façon sinusoïdale, la fréquence spatiale est le nombre de cycles formés par unité de longueur. Elle s'exprime le plus souvent en cycle par millimètre[3] (cy/mm) ou paire de ligne par millimètre (pl/mm). La fréquence spatiale maximale d'un système de mesure ou d'observation est souvent nommé résolution spatiale ou résolution.

Souvent, en photographie, on évalue sommairement la résolution au moyen d'une mire de traits à contour nets, correspondant à un signal carré dans le domaine de l'électronique. On recherche le secteur de la mire où on peut encore distinguer des alternances. Une mire de traits donne en général des traits orientés dans quatre directions, afin de repérer les différences de résolution horizontale et verticale et les problèmes d'astigmatisme. Des mesures plus rigoureuses utilisent une mire à variation sinusoïdale, et une analyse électronique de l'image produite.

Dans le domaine du traitement de l'image, les fréquences spatiales verticales et horizontales peuvent être exprimées en cycle par hauteur d'image[4] ou en cycle par largeur d'image. Plus les détails sont fins plus l'image présente de hautes fréquences spatiales.

Dans le cas du traitement du signal vidéo, plusieurs unités peuvent être employées pour caractériser la fréquence spatiale, qui est nommée résolution, de l'image captée ou affichée : le nombre de lignes TV[5] – sous-entendu par largeur d'image – ou le nombre de lignes TV par hauteur d'image[3] (TVL/ph TV lines per picture height). Plus simplement, on utilise couramment la fréquence du signal vidéo analogique correspondant en mégahertz (MHz).

Dans le domaine de l'optique ou du traitement de l'image la fonction de transfert de modulation permet la représentation de la restitution du contraste en fonction fréquence spatiale, qui représente la finesse des détails de l'image formée par un système optique, enregistrée par un capteur, révélée sur une pellicule, affichée sur un écran, etc.

Décomposition spectrale[modifier | modifier le code]

Lorsque l’on considère un signal variable dans le temps, il est possible de le décomposer en ses différentes composantes fréquentielles, selon son spectre. De manière analogue, une image est un signal bidimensionnel, que l'on peut décomposer selon ses fréquences spatiales, dans chacune de ses deux dimensions. À l'inverse, l'image peut être reconstituée à l'aide de son spectre spatial.

Exemple de décomposition  :

Considérons par exemple l’image suivante.


Cette image présente des détails difficiles à caractériser au premier abord. L'analyse spectrale de cette image permet d’isoler les différentes fréquences spatiales qui la composent.

Certains traitements modifient la répartition des fréquences spatiales : l'amplification des hautes fréquences spatiales augmentent la netteté des détails et des coutours ; le bruit électronique peut être atténué par réduction des hautes fréquences.

L'analyse spectrale spatiale est à la base des techniques de compression numérique des images.

Fréquence et fréquence spatiale[modifier | modifier le code]

Dans le domaine du traitement du signal vidéo analogique, l'acquisition de l'image se fait par balayage horizontal d'un capteur : une variation spatiale est transformée en une variation temporelle du signal vidéo. Plus les détails de l'image sont fins, plus les fréquences – temporelle ou spatiale – qui y sont associées sont élevées. Compte tenu de la nature échantillonnée – pixel par pixel – de la captation, le théorème de Shannon s'applique[6], limitant la fréquence maximale à la moitié de la fréquence d'échantillonnage. La fréquence spatiale de l'image formée sur le capteur est liée à la fréquence du signal par :

f_{sp}=\frac{N}{L}\cdot\frac{f}{f_e},

où :

  • f_{sp} est la fréquence spatiale en pl/mm ;
  • N est le nombre de pixel sur la largeur de l'image ;
  • L est la largeur de l'image en mm ;
  • f est la fréquence du signal vidéo en Hz ;
  • f_e est la fréquence d'échantillonnage en Hz.
Signal HDTV analogique  :

Selon la norme ITU-R BT 709, le signal vidéo est échantillonné à 74 25 MHz soit 74,25 millions de pixels analysés et transmis chaque seconde ; la bande passante est limitée à 30 MHz. Une ligne est constituée de 1920 pixels. Pour un capteur de 9,6 mm de largeur (capteur 2/3"). La fréquence spatiale maximale de l'image que l'on peut espérer restituer vaut :

f_{sp}=\frac{1920}{9,6}\cdot\frac{30}{74,25} \approx 80,8\ \mathrm{pl/mm} .

Annexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Astronomie
Signal vidéo

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Entrée « nombre d'onde (répétence) », dans Commission électrotechnique internationale (CEI), Vocabulaire électrotechnique international en ligne,‎ 1982 ([html] lire en ligne)
  2. (en) SPIE (Society of Photo-Optical Instrumentation Engineers), « Spatial Frequency », sur spie.org (consulté le 26 janvier 2015) ; en astronomie, et plus particulièrement lors des observations interférométriques, l'unité employée est l'inverse d'une distance angulaire en seconde d'arc (" ou arcsec), et s'exprime donc en arcsec-1 ou cycles/arcsec ((en) Damien Ségransan, « Observability and UV coverage », New Astronomy Reviews, vol. 51, no 8-9, Proceedings of the EuroSummer School "Observation and Data Reduction with the VLT Interferometer",‎ 2007 (lire en ligne)).
  3. a et b Charles Poynton 2012, p. 251-252
  4. Charles Poynton 2012, p. 104, 239
  5. Philippe Bellaïche, Les secrets de l'image vidéo, Eyrolles,‎ 2006, 6e éd. (ISBN 2-212-11783-3), p. 120
  6. En toute rigueur, le théorème d'échantillonnage n'est valable que si l'échantillon est sans dimension, ce qui n'est pas le cas des photosites d'un capteur. En effet, on observe une diminution du contraste à mesure que l'on s'approche de de la fréquence spatiale la plus élevée théoriquement possible. Cette diminution est d'autant plus importante que la taille du photosite est grande.