Valeur efficace

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La valeur efficace (dite aussi valeur RMS, de l'anglais Root Mean Square, ou moyenne quadratique) d'un signal périodique ou d'un signal aléatoire ergodique, est la racine carré de la moyenne de cette grandeur sur un intervalle de temps donné [1] ou la racine carré du moment d'ordre deux (ou variance) du signal :


x_\mathrm{efficace} = \lim_{T\rightarrow \infty} \sqrt {{1 \over {2T}} {\int_{-T}^{T} {x}^2(t)\, dt}}

En électricité, la valeur efficace d’un courant ou d'une tension variables au cours du temps, correspond à la valeur d'un courant continu ou d'une tension continue qui produirait un échauffement identique dans une résistance.

Définitions[modifier | modifier le code]

Valeur efficace d'un courant[modifier | modifier le code]

Elle est notée  I .

  • Physiquement, c'est l’intensité du courant continu qui dissiperait la même énergie que  i(t) à travers une résistance sur une période T, soit telle que  R\cdot I^2 = \overline{R\cdot i^2}.
  • Mathématiquement, c'est la racine carrée de la moyenne du carré de l'intensité calculée sur une période T : c'est la norme L2 définie sur l'espace de fonctions périodiques, ayant la période en question. D'où la dénomination anglaise : R.M.S qui signifie Root Mean Square, soit « racine de la moyenne du carré ».

La valeur efficace de l'intensité  i(t) d'un courant variable de période T se calcule quel que soit  t_0 par :

 \sqrt{\frac{1}{T} \cdot \int_{t_0}^{t_0+T} i^2(t) \,\mathrm dt}

Formules pour les signaux classiques[modifier | modifier le code]

Signal (régime établi) Forme d'onde  I_{\mathrm eff}
sinusoïdal Simple sine wave.svg
\frac{I_{\mathrm max}}{\sqrt{2}}
triangulaire Triangle wave.svg
\frac{I_{\mathrm max}}{\sqrt{3}}
carré Square wave.svg
I_{\mathrm max}

Valeur efficace d'une tension[modifier | modifier le code]

Elle est notée  V .

  • Physiquement, c'est la valeur de la tension continue qui provoquerait une même dissipation de puissance que  u(t) si elle était appliquée aux bornes d'une résistance.
  • Mathématiquement, elle se calcule par :
 \sqrt{\frac{1}{T} \cdot \int_{t_0}^{t_0+T} u^2(t) \,\mathrm dt}

Formules pour les signaux classiques[modifier | modifier le code]

Signal (régime établi) Forme d'onde  V_{\mathrm eff}
sinusoïdal Simple sine wave.svg
\frac{V_{\mathrm max}}{\sqrt{2}}
triangulaire Triangle wave.svg
\frac{V_{\mathrm max}}{\sqrt{3}}
carré Square wave.svg
V_{\mathrm max}

Cas particulier des régimes sinusoïdaux[modifier | modifier le code]

Pour les régimes sinusoïdaux de tension et de courant (u(t)=V_{\rm max}\sin(t)), on peut montrer que la valeur efficace est égale à la valeur de crête (valeur maximale, V_{\rm max}) divisée par la racine carrée de deux :

V_{\rm eff} = \frac{V_{\rm max}}{\sqrt{2}}

L'explication mathématique réside dans le calcul de l'intégrale suivante :

V_{\rm eff} = \sqrt{\frac{1}{T} \cdot \int_{t_0}^{t_0+T} u^2(t) \,\mathrm dt} = \sqrt{\frac{1}{2 \pi} \cdot \int_{0}^{2 \pi} u^2(\theta) \,\mathrm d\theta} = \sqrt{\frac{1}{2 \pi} \cdot V^2_{\rm max} \cdot \int_{0}^{2 \pi} \sin^2 \theta \,\mathrm d\theta}.

Sachant que \textstyle\int_0^{2 \pi} \sin^2 \theta \,\mathrm d \theta = \pi, il vient V_{\rm eff} = \sqrt{\tfrac{V^2_{\rm max}}{2}} = \tfrac{V_{\rm max}}{\sqrt{2}}.

Remarques[modifier | modifier le code]

  • La valeur efficace est toujours supérieure ou égale à la valeur absolue de la valeur moyenne : U ≥ |Ū| et I ≥ |Ī|
  • Une grandeur g(t) et la valeur absolue de cette grandeur |g(t)| ont la même valeur efficace.
  • Certaines personnes emploient le terme valeur RMS, de l'anglais Root Mean Square : « racine de la moyenne des carrés ».

Mesures des valeurs efficaces[modifier | modifier le code]

Les appareils qui mesurent l'intensité des courants électriques se nomment ampèremètres et ceux qui mesurent les tensions se nomment voltmètres. La mesure des valeurs efficaces a toujours été plus difficile donc plus coûteuse que la mesure des valeurs moyennes.

On peut décomposer les appareils capables de mesurer les valeurs efficaces en trois familles :

Les appareils analogiques utilisant l'électromagnétisme[modifier | modifier le code]

D'une manière générale, la bande passante de ce type d'appareil est toujours limitée à quelques centaines de hertz.

Les appareils ferromagnétiques[modifier | modifier le code]

Ou à fer mobile.

Un champ magnétique est créé par un courant image de la grandeur (courant ou tension) à mesurer. Sous l'influence de ce champ magnétique, deux palettes en fer doux se repoussent avec une force dont l'intensité dépend de la valeur moyenne du carré du champ donc de la valeur efficace de la grandeur à mesurer.

Les appareils électrodynamiques[modifier | modifier le code]

C'est le principe utilisé dans les wattmètres analogiques.

Une bobine fixe traversée par un courant i_1 crée le champ magnétique. Une autre bobine, mobile celle-là, est traversée par un courant i_2. Dans le cas des wattmètres, l'un des courants (bobine fixe) est l'image de l'intensité traversant le dipôle, l'autre (bobine mobile) est l'image de la tension à ses bornes. La mesure finale de puissance efficace donnée par le wattmètre est proportionnelle à la tension et au courant efficaces ainsi mesurés.

Mais si ces courants sont proportionnels à la même grandeur (tension ou courant), la déviation obtenue dépend de la valeur efficace de cette grandeur.

Souvent les appareils de ce type peuvent être utilisés en wattmètre, en voltmètre ou en ampèremètre.

Les appareils électrostatiques[modifier | modifier le code]

Ces appareils étaient toujours destinés à la mesure en haute tension. Ils utilisaient les forces de répulsions s'exerçant entre des pièces mobiles soumises à des différence de potentiels de même signe.

Les appareils analogiques utilisant les phénomènes électrothermiques[modifier | modifier le code]

Les appareils électrothermiques sont constitués d'un fil dont on mesure l'allongement par échauffement. Ce fil est une résistance pure et l'allongement est donc lié directement à la valeur efficace du courant qui le parcourt, le fil s'échauffe de la même façon que s'il était parcouru par un courant continu égal à cette valeur. De plus, comme il s'agit d'une résistance pure, il n'est pas influencé par la fréquence du courant alternatif. Leur principal « défaut » est qu'ils sont lents. Les phénomènes thermiques demandent du temps.

Cette inertie thermique entraîne une « lenteur de réaction » de l'appareil de mesure, ce qui devient un avantage pour les mesures de phénomènes à variation lente. Par exemple, ce principe est utilisé‚ en automobile ou moto, dans les jauges à carburant : cela évite que l'aiguille du réservoir indique un niveau changeant au gré des virages, des accélérations, des freinages, des montées et descentes...

Certains voltmètres utilisent un dispositif comportant un système asservi ayant pour consigne de générer une tension continue qui, lorsqu'elle est appliquée aux bornes d'une résistance, produit le même effet thermique que la tension à mesurer. Cette tension continue est ensuite numérisée par le convertisseur. C'est, par exemple, le cas du RMS-sensor qui équipe certains voltmètres de la société FLUKE (le modèle 792A par exemple). La résistance et le transistor sont fabriqués sur le même support semi-conducteur ; la tension entre la base et l'émetteur est fonction de la température de la jonction base-émetteur. Deux de ces ensembles sont utilisés dans un montage différentiel, l'équilibre étant créé lorsque les deux températures des jonctions sont égales.

Les appareils numériques[modifier | modifier le code]

On nomme voltmètre ou ampèremètre RMS ou TRMS des appareils numériques qui mesurent effectivement la valeur efficace et non pas la valeur moyenne de la valeur absolue multipliée par un coefficient comme le font les voltmètres numériques bas de gamme.

Actuellement, et ce depuis environ 2010, tous les oscilloscopes sont numériques et proposent en standard la mesure de la valeur efficace.

Note et référence[modifier | modifier le code]

  1. définition de la commission internationale électrotechnique (IEC)-IEC 60025 ; 103-02-03 : http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=103-02-03