Estimation spectrale

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L'estimation spectrale regroupe toutes les techniques d'estimation de la Densité Spectrale de Puissance (DSP).

Estimations paramétriques[modifier | modifier le code]

Les méthodes d'estimation spectrale paramétriques utilisent un modèle pour obtenir une estimation du spectre. Ces modèles reposent sur une connaissance a priori du processus et peuvent être classées en trois grandes catégories :

  • Modèles autorégressif (AR)
  • Modèles à moyenne ajustée (MA)
  • Modèles autorégressif à moyenne ajustée (ARMA).

L'approche paramétrique se décompose en trois étapes :

  1. Choisir un modèle décrivant le processus de manière appropriée.
  2. Estimer les paramètres du modèle à partir de données disponibles.
  3. Estimer le spectre à partir des paramètres du modèle.

Estimation spectrale à l'aide d'un modèle AR[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Processus_autorégressif .

Un processus autorégressif est semblable à la fonction de transfert d'un filtre à réponse impulsionnelle infinie, en ce sens où la sortie dépend de ses états précédents.

Estimation spectrale à l'aide d'un modèle MA[modifier | modifier le code]

Estimation spectrale à l'aide d'un modèle ARMA[modifier | modifier le code]

Estimation classiques ou non-paramétriques[modifier | modifier le code]

Ces méthodes d'estimation spectrale dites classiques ou non-paramétriques sont toutes basées sur le périodogramme, voici le raisonnement qui mène à celui-ci. En considérant un processus discret x(n) aléatoire stationnaire du second ordre, on écrit sa fonction d'autocorrélation :

r_{xx}(k)=E{x(n+k)x^*(n)}

D'après le Théorème de Wiener-Khintchine, la densité spectrale de puissance est la transformée de Fourrier de l'autocorrélation :

 S_x(\omega)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} r_{xx}(k)exp(-j\omega k)

Estimer la densité spectrale de puissance revient à estimer l'autocorrélation du signal. De manière rigoureuse, l'autocorrélation s'écrit :


\lim_{N \to \infty} \{ \frac{1}{2N+1} \sum_{n=-N}^{N} x(n+k)x^*(n) \} = r_x(k)

En pratique, obtenir un signal sur une durée infinie et l'acquérir sans bruit est impossible. Ainsi, on calcule l'autocorrélation sur un intervalle connu :

 \hat{r}_{xx}(k)=\frac{1}{N} \sum_{n=1}^{N} x(n+k)x^*(n)

En prenant la Transformée de Fourrier de cette approximation, on obtient le périodogramme :

\hat{S}_{per}(\omega) = \frac{1}{N} {| \sum_{n=1}^{N} x(n)exp(-j\omega n) |}^2.

Le périodogramme[modifier | modifier le code]

Le périodogramme permet une estimation simple de la densité spectrale de puissance en prenant le carré de la transformée de Fourier. Il a été introduit par Arthur_Schuster en 1898.

\hat{S}_{per}(\omega) = \frac{1}{N} {| \sum_{n=1}^{N} x(n)exp(-j\omega n) |}^2.

Biais du périodogramme[modifier | modifier le code]

Le périodogramme est un estimateur biaisé de la densité spectrale de puissance.

Variance du périodogramme[modifier | modifier le code]

Le périodogramme modifié[modifier | modifier le code]

Une première modification apportée au périodogramme permet de supprimer le biais asymptotiquement.

Méthode de Barlett[modifier | modifier le code]

La méthode de Barlett ou périodogramme moyenné modifié introduit une moyenne statistique.

Méthode de Welch[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Méthode_de_Welch.

La méthode de Welch améliore celle de Barlett en introduisant une segmentation du signal, un fenêtrage et la possibilité d'ajouter un recouvrement.

Méthode de Blackman-Tukey[modifier | modifier le code]

Méthode de Capon[modifier | modifier le code]

Voir méthode SVD

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Oppenheim, Alan V.; Schafer, R. W.; and Buck, J. R., Discrete-time signal processing, Upper Saddle River, N.J., Prentice Hall,‎ 1999 (ISBN 0-13-754920-2)