Autocovariance

L' autocovariance d'un processus stochastique est la covariance de ce processus avec une version décalée de lui-même. Si le processus a une espérance $\mu \;$ alors son autocovariance d'ordre $k$, notée souvent $\gamma_k$, est donnée par :

Définition — $\gamma_k\equiv\operatorname{Cov}(X_t,X_{t-k}) = \operatorname{E}\left[(X_t-\mu)(X_{t-k} - \mu)\right]$

Dans le cas où l'espérance n'est pas constante, on l'écrit $\mu(t)$, et la définition devient:

Définition — $\gamma_k\equiv\operatorname{Cov}(X_t,X_{t-k}) = \operatorname{E}\left[(X_t-\mu(t))(X_{t-k} - \mu(t-k))\right]$

Propriété — Si $X_t$ est stationnaire, $\gamma_{-k}=\gamma_{k}$

Voir pour cette propriété Hamilton (1994, p. 46).

Propriété — $\gamma_{0}(X)=\operatorname{Var}(X)$

Notes: La littérature statistique emploie souvent par abus le terme d'autocorrélation pour désigner l'autocovariance.

Références

(en) William H Greene, Econométrie, Paris, Pearson Education, 2005, 5e éd^e éd. (ISBN 978-2-7440-7097-6), p. 2 

James Douglas Hamilton, Time Series Analysis, Princeton N.J, Princeton University Press, 1994 (ISBN 978-0-691-04289-3) (LCCN 93004958), p. 799 

(en) Gangadharrao Soundaryarao Maddala, Unit Roots, Cointegration and Structural Change, Cambridge, Cambridge University Press, 2003, 5th printing^e éd., relié (ISBN 978-0-521-58257-5) (LCCN 98017325), p. 505 

Voir aussi

• Bruit blanc
• Processus stationnaire
• Stationnarité d'une série temporelle