Autocovariance

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L' autocovariance d'un processus stochastique est la covariance de ce processus avec une version décalée de lui-même. Si le processus a une espérance  \mu \; alors son autocovariance d'ordre k, notée souvent[1] \gamma_k, est donnée par :

Définition — \gamma_k\equiv\operatorname{Cov}(X_t,X_{t-k}) = \operatorname{E}\left[(X_t-\mu)(X_{t-k} - \mu)\right]

Dans le cas où l'espérance n'est pas constante, on l'écrit \mu(t), et la définition devient:

Définition — \gamma_k\equiv\operatorname{Cov}(X_t,X_{t-k}) = \operatorname{E}\left[(X_t-\mu(t))(X_{t-k} - \mu(t-k))\right]

Propriété — Si X_t est stationnaire, \gamma_{-k}=\gamma_{k}

Voir pour cette propriété Hamilton (1994, p. 46).

Propriété — \gamma_{0}(X)=\operatorname{Var}(X)

Notes : La littérature statistique emploie souvent par abus le terme d'autocorrélation pour désigner l'autocovariance.

Notes[modifier | modifier le code]

  1. Voir par exemple Hamilton (1994) et Maddala et Kim (1998)

Références[modifier | modifier le code]

(en) William H. Greene, Econométrie, Paris, Pearson Education,‎ 2005, 5e éd. (ISBN 978-2-7440-7097-6), p. 2

(en) James Douglas Hamilton, Time Series Analysis, Princeton N.J, Princeton University Press,‎ 1994 (ISBN 978-0-691-04289-3, lien LCCN?), p. 799

(en) Gangadharrao Soundaryarao Maddala, Unit Roots, Cointegration and Structural Change, Cambridge, Cambridge University Press,‎ 2003, 5e éd., relié (ISBN 978-0-521-58257-5, lien LCCN?), p. 505

Voir aussi[modifier | modifier le code]