Équation différentielle linéaire d'ordre deux

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Les équations différentielles linéaires d'ordre deux sont des équations différentielles de la forme : ay'' + by' + cy = da, b, c et d sont des fonctions numériques. Elles ne peuvent pas toutes être résolues explicitement, cependant beaucoup de méthodes existent pour résoudre celles qui peuvent l'être, ou pour faire l'étude qualitative des solutions à défaut. Parmi les plus simples à résoudre sont les équations à coefficients constants (où a, b, c sont des constantes).

Le qualificatif de linéaire indique qu'il est possible d'appliquer des procédés de superposition de solutions, et d'exploiter des résultats d'algèbre linéaire. Un rôle particulier est dévolu aux équations différentielles homogènes (où d = 0). Il existe une théorie générale des équations différentielles linéaires (vectorielles), mais celles étudiées dans cet article comptent parmi les plus simples et les plus fréquemment rencontrées, notamment en physique.

Équation différentielle homogène[modifier | modifier le code]

L'équation est homogène lorsque d = 0. Dans ce cas, une somme de deux solutions de l'équation est encore solution, ainsi que le produit d'une solution par une constante. L'ensemble des solutions est donc un espace vectoriel et contient notamment une solution évidente, la fonction nulle.

À coefficients constants[modifier | modifier le code]

Elles sont de la forme ay'' + by' + cy = 0a, b et c sont réels ou complexes, a non nul.

On les rencontre, entre autres, dans la modélisation de mouvement avec force de rappel (type ressort), avec ou sans amortissement (voir Exemples d'équations différentielles) ou encore dans les circuits électriques comportant une inductance et un condensateur.

On cherche des solutions sous forme exponentielle, c'est-à-dire telles que f(x) = e^{\lambda x}. Une telle fonction sera solution de l'équation différentielle si et seulement si λ est solution de

a\lambda^2 + b\lambda + c = 0.~

Cette équation est appelée équation caractéristique de l'équation différentielle.

Comme pour toute équation du second degré, trois cas se présentent selon le signe du discriminant Δ.

Si Δ > 0[modifier | modifier le code]

L'équation possède deux solutions \lambda_1 et \lambda_2.

L'équation possède au moins deux fonctions exponentielles solutions f_1(x) = e^{\lambda_1x} et f_2(x) = e^{\lambda_2x}. On démontre que ces deux solutions engendrent l'ensemble des solutions. C'est-à-dire que l'ensemble des solutions sont les fonctions définies sur ℝ par f(x) = C_1f_1(x) + C_2f_2(x)C_1 et C_2 sont deux réels (si a, b et c sont réels) ou complexes (si un des coefficients est complexe) quelconques.

Pour déterminer ces deux constantes, il est naturel de donner deux informations sur la fonction

  • cela se fait en général en donnant des conditions initiales en un point x_0, c'est-à-dire en précisant les valeurs y_0 et y'_0 de y et y' à cet instant. Dans ce cas l'existence et l'unicité de la solution vérifiant ces conditions initiales sont garanties.
  • pour de nombreux problèmes physiques, il est fréquent de donner des conditions aux limites en précisant les valeurs y_1et y_2 aux instants x_1 et x_2. Il y a alors fréquemment existence et unicité des solutions, mais ce n'est pas toujours vrai.

Si Δ = 0[modifier | modifier le code]

L'équation ne possède qu'une seule solution λ. On démontre alors que l'ensemble des solutions sont les fonctions f définies sur ℝ par f(x) = (Ax + B)e^{\lambda x}A et B sont des réels (ou des complexes) quelconques.

Pour déterminer A et B, il faut, comme dans le cas précédent posséder deux informations sur f.

Si Δ < 0[modifier | modifier le code]

L'équation ne possède pas de solutions réelles mais deux solutions complexes : \lambda_1 et \lambda_2 conjuguées l'une de l'autre.

Il est alors utile de faire une incursion dans les fonctions définies sur ℝ et à valeurs dans ℂ. Les fonctions f_1 et f_2 définies par f_1(x) = e^{\lambda_1x} et f_2(x) = e^{\lambda_2x} sont des solutions de l'équation dans cet ensemble. On démontre alors que l'ensemble des fonctions de ℝ dans ℂ solutions de l'équation différentielle sont les fonctions définies par f(x) = C_1e^{\lambda_1x} + C_2e^{\lambda_2x}C_1 et C_2 sont deux complexes quelconques.

Cependant, on cherche encore des fonctions à valeurs dans ℝ. On note alors \lambda_1= u + iv et \lambda_2= u - iv. Les fonctions f_1 et f_2 s'écrivent alors

f_1(x) = e^{ux} (\cos(vx) + i\sin(vx))\,
f_2(x) = e^{ux} (\cos(vx) - i\sin(vx))\,.

On peut alors remarquer que les fonctions g_1 et g_2 définies par

g_1(x) =\frac 12 (f_1(x) + f_2(x) )= e^{ux}\cos(vx)
g_2(x) = \frac{1}{2i}(f_1(x) - f_2(x)) = e^{ux}\sin(vx)

sont encore des solutions de l'équation différentielles mais à valeurs dans ℝ. On démontre alors qu'elles engendrent l'ensemble des solutions à valeurs dans ℝ c’est-à-dire que cet ensemble est formé des fonctions définies sur ℝ par

f(x) = e^{ux}(A\cos(vx) + B\sin(vx))\,A et B sont deux réels quelconques.

Remarque : on peut écrire cette solution sous la forme : f(x) = q e^{ux}\cos(vx+r)\, ,q et r sont deux réels quelconques (cette forme est parfois plus pratique).

La détermination de A et B (ou q et r) se fait, comme dans les cas précédents, par la donnée de deux informations sur f.

Équation à coefficients non constants[modifier | modifier le code]

Il s'agit d'une équation de la forme a.y''+b.y'+c.y=0\,, où cette fois a, b, c sont des fonctions numériques, supposées continues sur l'intervalle d'étude I, la fonction a ne s'annulant en aucun point de I.

Il n'existe pas d'expression générale des solutions d'une telle équation. C'est pour cette raison qu'au XIXe siècle furent introduites de nombreuses fonctions spéciales (fonctions de Bessel, fonction d'Airy,...) définies comme solutions d'équations qu'il est impossible de résoudre explicitement. Toutefois, dès lors qu'une solution particulière (non nulle) de l'équation est connue, il est possible de la résoudre complètement.

Le théorème de structure[modifier | modifier le code]

Le théorème de Cauchy-Lipschitz affirme que l'ensemble S des solutions de l'équation constitue un espace vectoriel de dimension 2. Dès lors, résoudre l'équation différentielle revient à exhiber deux fonctions solutions non proportionnelles : elles formeront une base de l'espace S de solutions. Une telle base est appelée système fondamental de solutions.

En outre, pour tout point x_0 de I, l'application de conditions initiales en x_0

\begin{matrix}S & \longrightarrow & \R^2 \\ y & \longmapsto &(y(x_0),y'(x_0))\end{matrix}

constitue un isomorphisme d'espaces vectoriels.

Le wronskien[modifier | modifier le code]

Étant données deux solutions y_1,y_2 de l'équation, leur wronskien est défini comme la fonction

W(x)=\begin{vmatrix} y_1(x) & y_2(x)\\ y'_1(x) & y'_2(x) \end{vmatrix}=y_1(x)y'_2(x)-y_2(x)y'_1(x)

En utilisant les propriétés d'annulation du déterminant, l'isomorphisme de conditions initiales peut être réécrit en termes de wronskien : les deux solutions forment un système fondamental si et seulement si leur wronskien est non nul en un point t_0. Et dans ce cas, le wronskien ne s'annule en aucun point.

Un calcul direct montre que le wronskien de deux solutions vérifie la relation

W'(x)=-\frac{b(x)}{a(x)}W(x)

qui est un cas particulier de la formule de Liouville (en).

Il s'agit d'une équation différentielle linéaire d'ordre un (avec second membre) qu'on sait résoudre. Donc la valeur du wronskien est connue, à une constante multiplicative près en notant A une primitive de la fonction -\frac b a, on obtient W(x)=W_0e^{A(x)}\, pour une certaine constante W_0.

Application à la résolution[modifier | modifier le code]

Une application fondamentale de cette propriété est la possibilité de résoudre l'équation si une solution y_1 non nulle est connue. En effet la relation W(x)=y_1(x)y'_2(x)-y_2(x)y'_1(x)\, peut maintenant se lire comme une nouvelle équation différentielle linéaire d'ordre un, d'inconnue y_2.

Exemple
Soit l'équation x^2y''-xy'+y=0\, à résoudre sur ]0,+\infty[.
Il s'agit bien d'une équation vérifiant les conditions demandées avec les fonctions a, b, c continues sur l'intervalle d'étude et a jamais nulle. La fonction définie par y_1(x)=x est solution évidente. Le wronskien vérifie l'équation W'(x)=\frac1xW(x) ; il est de la forme
W(x)=W_0 x = xy'_2(x)-y_2(x)\,
C'est bien une équation différentielle linéaire d'ordre 1, avec la fonction x non nulle sur l'intervalle. Elle a une solution de la forme
y_2(x)=W_0 x\ln x +A x\,
A est une nouvelle constante arbitraire. Nous venons d'établir que toutes les solutions de l'équation d'ordre 2 initialement considérée sont de cette forme, on y reconnaît bien la description d'un espace vectoriel de dimension 2 de solutions, un système fondamental étant donnée par les solutions y_1:x\mapsto x et x\mapsto x\ln x.

Équation avec second membre[modifier | modifier le code]

Application du principe de superposition[modifier | modifier le code]

Lorsque l'équation différentielle possède un second membre (d est une fonction non nulle), il reste possible d'exploiter ce qui précède. L'équation obtenue en remplaçant d par la fonction nulle est appelée équation homogène associée à l'équation différentielle ; on la suppose résolue.

Il suffit alors de trouver une solution y_0 de l'équation avec second membre, pour les connaître toutes. En effet, les solutions de l'équation différentielle sont les fonctions y_0 + gg est une solution générale de l'équation homogène associée.

Si le second membre d est la somme de deux fonctions d_1 et d_2 : ay''+by'+cy=d_1+d_2, on peut chercher une solution particulière s_1 de l'équation différentielle de second membre d_1 : ay''+by'+cy=d_1, puis une solution particulière s_2 de l'équation différentielle de second membre d_2 : ay''+by'+cy=d_2. La somme s=s_1+s_2 de ces deux solutions particulières est solution particulière de l'équation de départ. Ce principe se généralise facilement au cas où d est la somme de plus de deux fonctions.

Recherche de solutions ayant une forme particulière[modifier | modifier le code]

Si a, b et c sont des constantes, a non nul et si d est une fonction polynôme ou trigonométrique, on cherchera alors une solution particulière de la forme

  • d'un polynôme si d est un polynôme de degré n :

Si d est un polynôme de degré n alors l'équation admet une solution particulière de la forme y:t\mapsto t^pQ(t)Q est un polynôme de degré n , et p peut prendre trois valeurs :

Par rapport à l'équation caractéristique .. Valeur de p
0 n'est pas racine de l'équation caractéristique p=0
0 est racine simple de l'équation caractéristique p=1
0 est racine double de l'équation caractéristique p=2
  • Si d est de la forme d:t\mapsto e^{mt}P(t)P est un polynôme de degré n et m un scalaire alors on cherchera une solution particulière de l'équation différentielle de la forme  y:t\mapsto t^pe^{mt}Q(t)Q est un polynôme de degré n et p prend trois valeurs :
Par rapport à l'équation caractéristique .. Valeur de p
m n'est pas racine de l'équation caractéristique p=0
m est racine simple de l'équation caractéristique p=1
m est racine double de l'équation caractéristique p=2
  • d'une combinaison linéaire de cos(ωx + φ) et sin(ωx + φ) si d(x) = Acos(ωx + φ) + Bsin(ωx + φ)

Plus généralement, il est utile de se placer dans des espaces de fonctions particulières qui paraissent adaptés au problème : fonctions polynômes, polynômes trigonométriques, produit d'une exponentielle par un polynôme,... Des considérations physiques (oscillations forcées, résonance) peuvent guider vers une forme particulière de solution.

Méthode générale[modifier | modifier le code]

Il existe un procédé systématique de recherche des solutions, connu sous le nom de méthode de variation des constantes. Elle peut être justifiée par la théorie générale des équations différentielles linéaires.

Soit l'équation y'' + a(x) \cdot y' + b(x) \cdot y = d(x), soient deux solutions y_1, y_2 indépendantes de l'équation homogène (donc un système fondamental de solutions). Alors les solutions de l'équation avec second membre sont les fonctions de la forme y = \lambda \cdot y_1+\mu \cdot y_2\,, où les fonctions \lambda, \mu sont de classe {\mathcal C}^1 et données par le système

\forall x \in I , \qquad \begin{cases}\lambda'(x) \cdot y_1(x)+\mu'(x) \cdot y_2(x)&=0\\
\lambda'(x) \cdot y'_1(x)+\mu'(x) \cdot y'_2(x)&=d(x)\end{cases}

Dans la pratique, on écrira donc ce système, qui admet une solution pour chaque x. Les fonctions solutions peuvent être primitivées et on obtient non seulement une mais toutes les solutions de l'équation avec second membre (si l'on prend en compte les constantes d'intégration dans ce système).

Remarque. Si une fonction multiplie y'' , on pourra diviser toute l'équation par cette fonction afin de revenir au cas étudié ici.

Méthode de résolution en présence d'un terme inhomogène dans l'équation[modifier | modifier le code]

En effet, parfois il est plus simple d'utiliser certaines astuces pour résoudre l'équation : on gagne ainsi du temps et de la clarté. La méthode qui suit est une méthode technique qui se base sur une connaissance a priori de la forme de la solution. Deux cas seront donnés :

  • cas d'un second membre sous de la forme d'une fonction trigonométrique.
  • cas d'un second membre constant.
Méthode des exponentielles complexes.

Soit une équation différentielle sous la forme :

\ddot{y}(t) +\Gamma \dot{y}(t) +\omega_0^2y(t) = A_0 \cos(\omega_e t) \qquad (E)

Ceci est l’équation différentielle régissant un oscillateur harmonique périodique qui subit des frottements en présence d'une force extérieure.

Nous savons que la solution sera sous la forme :

y(t)=B \cos(\omega_e t+\phi)

Nous allons alors prendre la notation de l'exponentielle complexe en prenant Y(t)=Be^{j(\omega_e t+\phi)}. Et en posant Be^{j\phi}=\Delta on obtient \Delta e^{j\omega_e t} telle que la partie réelle de Y(t) soit la solution de l'équation différentielle considérée. Nous calculons alors les dérivées en temps :

Y(t)=\Delta e^{j\omega_e t}
\dot{Y}(t)=j\omega_e\Delta e^{j\omega_e t}=j\omega_eY(t)
\ddot{Y}(t)=-\omega_e^2\Delta e^{j\omega_e t}=-\omega_e^2Y(t)

On injecte ces 3 équations dans l'équation différentielle et on trouve :

(-\omega_e^2 +\Gamma j\omega_e +\omega_0^2)\Delta e^{j\omega_e t} = A_0e^{j\omega_et}

On simplifie par les deux exponentielles (qui ne peuvent pas, physiquement, être nulles):

[(\omega_0^2-\omega_e^2) +j(\omega_e\Gamma)]\Delta= A_0

Et on trouve alors que :

\Delta=\frac{A_0}{(\omega_0^2-\omega_e^2) +j(\omega_e\Gamma)}

Ainsi, la constante B est égale à la norme (le module) de ce nombre complexe, et la phase Φ est égale à l'argument de ce nombre complexe. Il vient simplement que :

|\Delta|=B=\frac{A_0}{\sqrt{(\omega_0^2-\omega_e^2)^2 +(\omega_e\Gamma)^2}}

et

arg(\Delta)=\phi=\arctan\left(\frac{Im(\Delta)}{Re(\Delta)}\right)=\arctan\left(\frac{\omega_e\Gamma}{\omega_e^2-\omega_0^2}\right)

Ainsi, la solution de l'équation inhomogène (E) est simplement

y(t)=\frac{A_0}{\sqrt{(\omega_0^2-\omega_e^2)^2 +(\omega_e\Gamma)^2}} \cos\left(\omega_et+\arctan\left(\frac{\omega_e\Gamma}{\omega_e^2-\omega_0^2}\right)\right)
Second membre sous la forme d'une constante.

Prenons l'équation différentielle suivante :

\ddot{x}(t)+\omega_0^2x(t)=\frac{g}{m} \qquad     (E)

qui est l'équation régissant l'oscillation d'un pendule élastique horizontal, avec frottements solides (ressort posé sur une table). Nous remarquons que le second membre est constant. Dans ce cas, on utilise une règle empirique très simple : la fonction de l'ordre le plus bas est de la même forme que le second membre. Dans ce cas là, on a :

x(t)=K=cst

On refait alors le même cheminement, on calcule les déreivées par rapport à t:

x(t)=K
\dot{x}(t)=\ddot{x}(t)=0

L'équation (E) devient alors :

K\omega_0^2=\frac{g}{m}

Et on trouve alors la solution inhomogène :

x(t)=K=\frac{g}{m\omega_0^2}

NB: Cela marche également si l'ordre le plus bas est l'ordre 1, donc si on a une équation une type

\ddot{x}(t)+a\dot{x}(t)=b \qquad (E_2)

Dans ce cas, c'est

\dot{x}=K_2=cst

On remarquera que les constantes d'une équation différentielle doivent être déterminées en toute fin de résolution, lorsque l'on a additionné la solution homogène et inhomogène.

La méthode de l'exponentielle complexe ne peut pas être appliquée pour une équation non linéaire.

exemple:

\ddot{x}(t)+\omega_0^2x(t)=\cos(y(t)t+\phi)

Dans ce cas il faut linéariser l'expression en utilisant les développements limités.

Les équations différentielles linéaires d'ordre deux en physique[modifier | modifier le code]

Les équations d'ordre deux sont sans doute les équations différentielles les plus utilisées dans les domaines les plus variés. En particulier, les problèmes de dynamique basés sur la deuxième loi de Newton aboutissent à une équation du deuxième ordre (ou plusieurs) dans laquelle le produit de la masse d'un corps par son accélération est égal à la somme des forces appliquées.

Sauf éventuellement (?) des équations de la physique fondamentale, aucune équation représentant un phénomène réel n'est vraiment linéaire. Néanmoins l'hypothèse des petits mouvements permet souvent de négliger des petits termes non linéaires et les méthodes évoquées ci-dessus s'appliquent pour donner une solution «exacte». C'est un problème classique dans divers domaines techniques (voir Systèmes oscillants à un degré de liberté).

Dans les cas où les mouvements ne peuvent plus être considérés comme infiniment petits, il arrive fréquemment que le système soit soumis à des forces bien individualisées : une force de rappel qui ne dépend que du mouvement, une force d'amortissement qui ne dépend que de la vitesse et une force extérieure qui ne dépend ni de l'un ni de l'autre. Dans ces conditions il existe des techniques de linéarisation qui permettent de calculer des coefficients adaptés à l'amplitude de l'excitation.

Enfin, on rencontre parfois des cas beaucoup plus compliqués dans lesquels on ne peut séparer les différentes forces. Par exemple, la force extérieure dépend de la position du système au même instant, éventuellement selon une loi très compliquée. Dans ces conditions les solutions analytiques doivent faire place à des solutions numériques. Parmi celles-ci, la méthode de Newmark présente une mise en œuvre très simple, une grande souplesse et une convergence sans trop de difficultés.

Exemple[modifier | modifier le code]

En physique, on utilise souvent l'équation différentielle \frac{d^2x
}{dt^2}+2\lambda\frac{dx}{dt}+\omega_0^2 x = y L'équation différentielle homogène associée (\frac{d^2x
}{dt^2}+2\lambda\frac{dx}{dt}+\omega_0^2 x = 0) possède selon le signe de \lambda^2-\omega_0^2 les solutions suivantes :

On note aussi cette équation différentielle \ddot x + 2\lambda \dot x + \omega_0^2 x = y (en fonction du temps).

On peut également avoir une équation différentielle de la forme a\ddot x + b\dot x + c x = d. Dans ce cas, 2\lambda = \frac{b}{a}, \omega_0^2 = \frac{c}{a} et y = \frac{d}{a}.

Théorie de Sturm-Liouville[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Théorie de Sturm-Liouville.

La théorie de Sturm-Liouville étudie le cas particulier des équations différentielles linéaires de la forme

 -{d\over dx}\left[p(x){dy\over dx}\right]+q(x)y=\lambda w(x)y,

dans laquelle le paramètre \lambda fait partie comme la fonction y des inconnues. Cette équation est fréquemment posée sur un segment [a,b] et accompagnée de conditions « au bord » reliant les valeurs y(a),y'(a),y(b),y'(b). Les solutions \lambda et y du problème apparaissent alors comme valeur propre et vecteur propre d'un certain opérateur autoadjoint dans un espace de Hilbert. Le résultat principal de la théorie est l'existence d'une base hilbertienne de vecteurs propres associés à des valeurs propres formant une suite strictement croissante (Théorème de Riesz-Fredholm).

Par multiplication par un facteur intégrant convenable, toute équation différentielle linéaire d'ordre deux peut être mise sous la forme d'une équation de Sturm-Liouville.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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