Inductance

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Selon le théorème d'Ampère tout courant parcourant un circuit crée un champ magnétique à travers la section qu'il entoure. L'inductance de ce circuit est le quotient du flux de ce champ magnétique par l’intensité du courant traversant le circuit[1],[2],[3]. L’unité de l’inductance est le henry (H). En toute rigueur ce terme n'a d’intérêt que pour les situations dans lesquelles le flux est — ou peut-être considéré comme — proportionnel au courant.

Par synecdoque, on appelle inductance tout composant électronique destiné par sa construction à avoir une certaine valeur d’inductance (grandeur physique)[1], comme on appelle résistance des composants utilisés pour cette propriété. Ces dipôles sont généralement des bobines, souvent appelées self[4],[5].

Note : « coefficient de self-induction », quelquefois employé est un anglicisme[4].

Bobine simple.

Inductance propre[modifier | modifier le code]

Symbole de l'inductance.

La définition la plus courante d'inductance propre est la suivante :

La surface circonscrite par un circuit électrique parcouru par un courant I est traversée par le flux du champ magnétique (appelé autrefois flux d’induction) \Phi\,. L’inductance L du circuit électrique est alors définie comme le rapport entre le flux embrassé par le circuit et le courant[1],[2] :

L = \frac{\Phi}{I} \,

Précisons que le flux \Phi\, est celui produit par le courant I et non celui provenant d'une autre source (courant, aimant, etc.).

Visualisation d'une surface circonscrite par une bobine à trois spires.

Cette définition présente trois inconvénients :

  1. la définition de l'inductance est donnée en fonction du flux \Phi\, qui est une grandeur physique inaccessible directement. Il n'existe pas de moyen de mesurer le flux magnétique sans le faire varier en fonction du temps ;
  2. la « surface circonscrite par le circuit » n'est pas toujours facile à déterminer et, dans certains cas, elle n'existe même pas (par exemple si le circuit « fait un nœud ») ;
  3. la définition suppose que le flux est proportionnel à l'intensité du courant. Ce n'est pas le cas quand le flux traverse un matériau magnétique ; dans ce cas, on observe un cycle d'hystéresis magnétique.

Une deuxième définition qui ne présente que le troisième inconvénient, découle de la loi de Lenz-Faraday qui est la seule réellement applicable dans toutes les situations[2] :

e(t) = -\frac{\mathrm d\Phi(t)}{\mathrm dt}

si L est constant on en déduit :

e(t)= - L{di(t)\over dt}\,

L est l'inductance propre du circuit ou composant, e est la force électromotrice aux bornes du circuit en convention générateur, {di(t)\over dt}\, est la variation du courant qui traverse le circuit avec le temps (mesurée en ampères/seconde).

e et i sont des valeurs instantanées.

Cependant :

  • la relation n'est applicable qu'aux situations dans lesquelles le flux est — ou peut-être considéré comme — proportionnel au courant ;
  • lorsque le courant est constant, di/dt est nul et par conséquent la force électromotrice e auto-induite est nulle aussi ;
  • le signe (-) indique que la force électromotrice auto-induite aux bornes de l'inductance s'oppose aux variations du courant qui la traverse ;
  • quand on applique une tension constante à une inductance, le courant qui rentre par l'extrémité positive augmente avec le temps.

À partir de cette définition, on pourrait mesurer la valeur de l'inductance d'un circuit, puis déterminer le flux magnétique équivalent qui traverse la « surface circonscrite » équivalente si la tension aux bornes de cette portion de circuit ne dépendait que de phénomènes magnétiques. Malheureusement, un grand nombre d'effets physiques très divers (dont l'effet Joule) influent sur cette tension. On ne peut donc pas mesurer l'inductance d'une portion de circuit.

Comme déjà indiqué, cette définition n'est pas valable pour des portions de circuit présentant des non-linéarités. On peut définir une inductance qui dépend de la valeur du courant et de son histoire (hystérésis) par la relation :

L = \frac{\partial \Phi}{\partial I} \,

Une partie du flux produit par le courant traverse le câble lui-même. Il convient donc de distinguer l’inductance externe et l’inductance interne d’un circuit. L’inductance interne d’un câble diminue lorsque la fréquence du courant augmente à cause de l’effet pelliculaire ou effet de peau. En pratique, l'effet de peau est presque complet à partir d'une ou deux dizaines de kilohertz et l'inductance ne varie plus.

Inductance mutuelle[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Induction mutuelle.

Un circuit 1 traversé par un courant noté i_1 \,, produit un champ magnétique à travers un circuit 2[3], on peut écrire :

M_{1/2} = \frac{\Phi_2}{i_1} \,

La valeur de cette inductance mutuelle dépend des deux circuits en présence (caractéristiques géométriques, nombre de spires) et de leur position relative : éloignement et orientation.

Le dipôle « Inductance », ou bobine[modifier | modifier le code]

Symbolisation d'une bobine parfaite d'inductance L, de la tension à ses bornes u et de l'intensité du courant qui la traverse i en convention récepteur.

Son symbole dans les schémas est L. Une bobine d'inductance L est un dipôle tel que la tension à ces bornes soit proportionnelle à la dérivée de l'intensité du courant qui le traverse en convention récepteur :

 u = L  \frac{di}{dt} \,

Cette relation vient de l’expression du flux magnétique en magnétostatique :

 u =\frac{d\Phi}{dt} \, (loi de Faraday)

et de \Phi= L \cdot i \,, conséquence de la définition de L.

Cette équation montre que l’intensité du courant traversant une inductance ne peut pas subir de discontinuité, cela correspondrait en effet à une tension infinie à ses bornes, donc à une puissance infinie.

Puissance instantanée[modifier | modifier le code]

Remarque : on ne peut stocker que de l'énergie. Le terme puissance emmagasinée est donc un abus de langage qui correspond en réalité à la puissance que l'on fournit à l'inductance et qui vient augmenter l'énergie emmagasinée dans cette dernière.

En convention récepteur la puissance instantanée fournie à l'inductance est égale à :

P = u \cdot i = L  \frac{di}{dt} \cdot i\,

En utilisant la transformation mathématique suivante :

 \frac{d(i^2)}{dt}  =i \cdot \frac{d(i)}{dt} + \frac{d(i)}{dt}\cdot i = 2 \frac{d(i)}{dt}\cdot i  \,

on obtient la relation :

P = \frac{1}{2} \cdot  L  \frac{d(i^2)}{dt} \,

La puissance instantanée fournie à une inductance est liée à la variation du carré de l’intensité qui la traverse : si celui-ci augmente, l’inductance emmagasine de l'énergie. Elle en restitue dans le cas contraire.

L’énergie échangée entre 2 instants ti et tf vaut[2] :

W = \frac{1}{2} \cdot  L  (i^2_{tf}-i^2_{ti}) \,

Il en résulte qu’il est difficile de faire varier rapidement le courant qui circule dans une bobine et ceci d’autant plus que la valeur de son inductance sera grande. Cette propriété est souvent utilisée pour supprimer de petites variations de courant non désirées.

L’effet de l’inductance face aux variations du courant est analogue en mécanique à l’effet de la masse face aux variations de la vitesse : quand on veut augmenter la vitesse il faut fournir de l’énergie cinétique et ceci d’autant plus que la masse est grande. Quand on veut freiner, il faut récupérer cette énergie. Débrancher une bobine parcourue par un courant, c’est un peu arrêter une voiture en l’envoyant contre un mur.

Puissance en régime sinusoïdal[modifier | modifier le code]

En régime sinusoïdal, une inductance idéale (dont la résistance est nulle) ne consomme pas de puissance active. En revanche, il y a stockage ou restitution d’énergie par la bobine lors des variations de l'intensité du courant.

Impédance[modifier | modifier le code]

À chaque instant[modifier | modifier le code]

Pente de la droite = 2πL
\frac{di}{dt} = \frac{u}{L}

On a u(t) = U\sqrt{2}\sin(\omega t) et i(t) = I\sqrt{2}\sin(\omega t - \varphi).

\frac{di}{dt} = \frac{U}{L}\sqrt{2}\sin(\omega t)

Donc i(t) = \left(\frac{U}{L}\sqrt{2}\right)\left(-\frac{1}{\omega}\cos(\omega t)\right) = \frac{U}{L\omega}\sqrt{2}(-\cos(\omega t))

On obtient finalement :

i(t) = \frac{U}{L\omega}\sqrt{2}\sin\left(\omega t -\frac{\pi}{2}\right) = I\sqrt{2}\sin(\omega t - \varphi)

Donc :

I = \frac{U}{L\omega}
  • Loi d'Ohm en valeurs efficaces : U = L\omega I = ZI \Leftrightarrow Z = L\omega = 2\pi Lf avec Z en ohms, L en henrys, \omega en radians par seconde et f en hertz.
  • En continu, f = 0 : une bobine parfaite se comporte comme un court-circuit (en effet :  Z = 0 \Rightarrow U = 0\cdot I = 0[V]).

En complexes[modifier | modifier le code]

\underline{U}=\underline{Z}\,\underline{I} avec \underline{U} = [U, 0] et \underline{I} = [I = \frac{U}{L\omega}, -\frac{\pi}{2} rad]

D'où :

\begin{cases}  |\underline{Z}| = Z = \frac{U}{I} = L\omega \\ Arg(\underline{Z}) = \varphi = \frac{\pi}{2} \end{cases}

On en déduit que \underline{Z} = \mathbf{j}L\omega avec \underline{Z} imaginaire pur de la forme \underline{Z} = \mathbf{j}X et X = L\omega > 0.

Ouverture du circuit[modifier | modifier le code]

Les inductances s'opposant à la variation du courant qui les traverse, l'ouverture d'un circuit inductif parcouru par un courant peut amener des surtensions. Ces surtensions oscillent avec une pulsation \textstyle{\omega = {1\over \sqrt{LC}}}. \scriptstyle{{C}} représentant les capacités parasites du circuit. La tension maximale de l'oscillation peut être très élevée. Ceci vient du fait qu'après l'interruption du courant l'énergie de l'inductance \scriptstyle{{1\over 2}LI^2} a été transférée aux capacités parasites sous la forme \scriptstyle{{1\over 2}CV^2}.

Inductance propre de circuits simples dans l'air[modifier | modifier le code]

L'inductance propre de beaucoup de types de circuits électriques peut être donnée dans la forme fermée ou comme une série. Des exemples sont énumérés dans la table ci-dessous.

Inductance de circuits électriques simples dans l'air
Type Inductance propre Commentaire
Solénoïde à une
seule couche[6]
 \frac{\mu_0r^{2}N^{2}}{3l}\left[ -8w + 4\frac{\sqrt{1+m}}{m}\left( K\left( \sqrt{\frac{m}{1+m}}     \right)
-\left( 1-m\right) E\left( \sqrt{ \frac{m}{1+m}}    \right) \right)
\right]

=\frac{\mu_0r^2N^2\pi}{l}\left[ 1-\frac{8w}{3\pi }+\sum_{n=1}^{\infty }
\frac {\left( 2n\right)!^2} {n!^4 \left(n+1\right)\left(2n-1\right)2^{2n}}
\left( -1\right) ^{n+1}w^{2n}\right]

 =\frac {\mu_0r^2N^2\pi}{l}\left( 1 - \frac{8w}{3\pi} + \frac{w^2}{2} - \frac{w^4}{4} + \frac{5w^6}{16} - \frac{35w^8}{64} + ... \right)
pour w << 1
= \mu_0rN^2 \left[ \left( 1 + \frac{1}{32w^2} + O\left(\frac{1}{w^4}\right) \right) \ln(8w) - 1/2 + \frac{1}{128w^2} + O\left(\frac{1}{w^4}\right) \right] pour w >> 1

N : nombre de spires
r : rayon
l : longueur
w = r/l
m = 4w2
E,K : intégrale elliptique
Câble coaxial,
haute fréquence
 \frac {\mu_0 l}{2\pi} \ln\left(\frac {a_1}{a}\right) a1 : rayon extérieur
a : rayon intérieur
l : longueur
Boucle
circulaire[7]
\mu_0r \cdot \left( \ln\left(\frac {8 r}{a}\right) - 2 + \frac {Y}{2} + O\left(a^2/r^2\right)\right) r : rayon de la boucle
a : rayon de fil
Rectangle[8] \frac {\mu_0}{\pi}\left(b\ln\left(\frac {2 b}{a}\right) + d\ln\left(\frac {2d}{a}\right) - \left(b+d\right)\left(2- \frac {Y}{2}\right)+2\sqrt{b^2+d^2}\right)

\;\; -\frac {\mu_0}{\pi}\left(b\cdot\operatorname{arsinh}\left(\frac {b}{d}\right)+d\cdot\operatorname{arsinh}\left(\frac {d}{b}\right) + O\left(a\right)\right)

b, d : périmètre
d >> a, b >> a
a : rayon de fil
Deux fils
parallèles
 \frac {\mu_0 l}{\pi} \left( \ln\left(\frac {d}{a}\right) + Y/2 \right) a : rayon de fil
d : distance, d ≥ 2a
l : longueur de la paire de fils
Deux fils
parallèles, haute
fréquence
 \frac{\mu_0 l}{\pi }\operatorname{arcosh}\left( \frac{d}{2a}\right) = \frac{\mu_0 l}{\pi }\ln \left( \frac{d}{2a}+\sqrt{\frac{d^{2}}{4a^{2}}-1}\right) a : rayon de fil
d : distance, d ≥ 2a
l : longueur de la paire de fils
Fil parallèle à un
conducteur parfait
 \frac {\mu_0 l}{2\pi} \left( \ln\left(\frac {2d}{a}\right) + Y/2 \right) a : rayon de fil
d : distance, d ≥ a
l : longueur
Fil parallèle à un
conducteur parfait,
haute fréquence
 \frac{\mu_0 l}{2\pi }\operatorname{arcosh}\left( \frac{d}{a}\right)=\frac{\mu_0 l}{2\pi }\ln \left(\frac{d}{a}+\sqrt{\frac{d^{2}}{a^{2}}-1}\right) a : rayon de fil
d : distance, d ≥ a
l : longueur

Le symbole μ0 est la constante magnétique (4π×10−7 H·m-1). Pour de hautes fréquences le courant électrique circule dans la surface de conducteur (effet de peau) et, selon la géométrie, il est nécessaire de distinguer les inductances à basse et à haute fréquence. C'est le but de la constante Y :

  • Y = 1/2 quand le courant est uniformément distribué sur la section transversale du fil (à basse fréquence) ;
  • Y = 0 quand le courant est uniformément distribué sur la surface du fil (effet de peau à haute fréquence).

Dans le cas de haute fréquence, si les conducteurs se rapprochent l'un de l'autre, des courants supplémentaires sont induits dans leur surface et les expressions contenant Y deviennent invalides.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. a, b et c « Inductance », sur electropedia.org, Commission électrotechnique internationale (consulté le 19 février 2013).
  2. a, b, c et d Jean Cessac, Georges Tréherne, Physique – Classe de Mathématiques, Paris, éd. Fernand Nathan, 1957, p. 268-270
  3. a et b « Inductance », sur cnrtl.fr, Centre national de ressources textuelles et lexicales (consulté le 19 février 2013).
  4. a et b « Self-induction », sur cnrtl.fr, Centre national de ressources textuelles et lexicales (consulté le 19 février 2013).
  5. En anglais self-inductance, qui signifie auto-inductance, s'oppose à mutual inductance, l'inductance mutuelle des bobinages de transformateur.
  6. (de) L. Lorenz, « Über die Fortpflanzung der Elektrizität », Annalen der Physik, vol. VII,‎ 1879, p. 161–193 (l'expression donnée est celle de l'inductance d'un cylindre parcouru par un courant autour de sa surface).
  7. (en) R. S. Elliott, Electromagnetics, New York, IEEE Press,‎ 1993, note : la constante -3/2 dans le résultat de densité de courant constante est incorrecte.
  8. (en) E.B. Rosa, « The Self and Mutual Inductances of Linear Conductors », Bulletin of the Bureau of Standards, vol. 4, no 2,‎ 1908, p. 301–344.

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Inductance » (voir la liste des auteurs)

Annexes[modifier | modifier le code]

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Articles connexes[modifier | modifier le code]

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