Théorie de Sturm-Liouville

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Page d'aide sur les redirections Cet article concerne les équations différentielles. Pour les fonctions polynômes, voir Théorème de Sturm.

La théorie de Sturm-Liouville étudie le cas particulier des équations différentielles linéaires scalaires d'ordre deux de la forme

 -{d\over dx}\left[p(x){dy\over dx}\right]+q(x)y=\lambda w(x)y, \qquad (1)

dans laquelle le paramètre \lambda fait partie comme la fonction y des inconnues. Cette équation est fréquemment posée sur un segment [a,b] et accompagnée de conditions « au bord » reliant les valeurs y(a), y'(a), y(b) et y'(b). Les solutions \lambda et y du problème apparaissent alors comme valeur propre et vecteur propre d'un certain opérateur autoadjoint dans un espace de Hilbert. Le résultat principal de la théorie est l'existence d'une base hilbertienne de vecteurs propres associés à des valeurs propres formant une suite strictement croissante.

Cette théorie porte le nom des mathématiciens Charles Sturm (1803-55) et Joseph Liouville (1809-82) qui travaillèrent conjointement à sa mise en forme.

Forme de Sturm-Liouville pour une équation homogène[modifier | modifier le code]

Soit une équation différentielle linéaire d'ordre deux, scalaire, homogène

P(x)y''+Q(x)y'+R(x)y=0\,

Il est possible de la mettre sous la forme

 {d\over dx}\left[p(x){d\over dx}y(x)\right]+q(x)y(x)=0

dite forme de Sturm-Liouville, avec une fonction p à valeurs strictement positives. En général, il faut pour cela utiliser un facteur intégrant. En l'occurrence, après division par P(x) et multiplication par le facteur

p(x)=\exp \left(\int_a^x \frac{Q(t) }{ P(t)}\,dt\right),

on obtient le résultat désiré. Cette technique ne peut pas être généralisée aux équations vectorielles.

Exemples[modifier | modifier le code]

Voici pour quelques équations classiques, la forme de Sturm-Liouville correspondante :

x^2y''+xy'+(\lambda^2x^2-\nu^2)y=0  \qquad  (xy')'+(\lambda^2 x-\nu^2/x)y=0 ;
(1-x^2)y''-2xy'+\nu(\nu+1)y=0  \qquad  [(1-x^2)y']'+\nu(\nu+1)y=0.

Dans le cas d'une équation telle que

x^3y''-xy'+2y=0,

la forme de Sturm-Liouville s'écrit

(e^{1/x}y')'+{2 e^{1/x} \over x^3} y = 0.

Le théorème de comparaison de Sturm[modifier | modifier le code]

Le théorème donne un lien entre les solutions de deux équations différentielles de Sturm-Liouville

(E_1)\qquad  {d\over dx}\left[p_1(x){d\over dx}y(x)\right]+q_1(x)y(x)=0
(E_2)\qquad  {d\over dx}\left[p_2(x){d\over dx}y(x)\right]+q_2(x)y(x)=0

On suppose que pour tout élément x \in [a,b], p_1(x)\geq p_2(x)>0 et q_1(x)\leq q_2(x).

Alors si y_1 est une solution non triviale de l'équation différentielle E_1 et si y_2 est solution de E_2, entre deux points d'annulation de y_1 se trouve un point d'annulation de y_2.

Problème de Sturm-Liouville[modifier | modifier le code]

Le problème est constitué de l'équation différentielle (1) et des conditions aux limites (supposées non triviales)

\begin{cases}  \alpha_1.y(a) + \alpha_2.y'(a) &= 0 \\
 \beta_1.y(b) + \beta_2.y'(b)& = 0 \end{cases}\qquad (2)

L'opérateur de Sturm-Liouville associé est l'opérateur différentiel

L  u  =-{d\over dx}\left[p(x){du\over dx}\right]+q(x)u

Lien externe[modifier | modifier le code]

  • Article de 1836 de Liouville sur le problème de Sturm-Liouville, en ligne et commenté sur le site BibNum.