Utilisateur:INSA GP 1/Moment magnétique

En physique, le moment magnétique est une grandeur vectorielle qui permet de mesurer l'intensité d'une source magnétique. La source peut être une distribution de courant, ou bien un matériau présentant un moment magnétique spontané. Ce moment magnétique est souvent noté m, ou bien μ.

Définition

Le moment magnétique est défini comme le moment que subit un objet à l’application d'un champ magnétique externe. La relation est donnée par :

${\boldsymbol {\tau }}={\boldsymbol {\mu }}\wedge \mathbf {B}$

où ${\boldsymbol {\tau }}$ est le moment agissant sur le dipôle, $\mathbf {B}$ le champs magnétique externe et ${\boldsymbol {\mu }}$ le moment magnétique.

Cette définition est basée sur une méthode permettant, en théorie, de mesurer le moment magnétique d'un échantillon inconnu.

Le modèle le plus simple de moment magnétique est celui d'une boucle de courant (courant électrique circulant dans un élément de bobine par exemple). Un champ magnétique appliqué à cette boucle tendra à faire tourner la boucle de manière à ce qu'elle soit perpendiculaire au champ magnétique, le courant tournant dans le sens direct par rapport au plan orienté par le champ magnétique. Par exemple, une bobine électrique parcourue par un courant et libre de ses mouvements s'alignera sur l'aimant qu'on approche d'elle.

Unité

L'unité du moment magnétique n'est pas une unité de base du Système International. Puisque le moment d'une force se mesure en newton-mètres (N·m) et le champ magnétique en Tesla (T), le moment magnétique s'exprime en newton-metre par Tesla. Il est également possible de l'exprimer dans d'autre unité :

${\text{N}}{\cdot }{\text{m}}/{\text{T}}={\text{A}}{\cdot }{\text{m}}^{2}={\text{J}}/{\text{T}},$

où A est l’ampère et J le joule.

Les deux représentations du moment magnétique

La représentation du moment magnétique a changé au cours du temps. Avants les années 1930, on utilisait des charges magnétiques ponctuelles fictives. Depuis, on lui préfère une représentation à l'aide de boucles de courant. Les deux représentations donnent des résultats très similaires, il faut cependant garder à l'esprit qu'il n'existe pas de charges magnétiques dans la nature, et que celles-ci sont donc purement fictives.

Représentation à l'aide de charges magnétiques

Analogie électrostatique pour un moment magnétique : deux charges opposées séparées par une distance finie.

Par analogie avec l’électrostatique, les sources de moments magnétique peuvent être représentées par des pôles. Considérons une barrette magnétique possédant des pôles magnétiques d’égales amplitudes mais de polarité opposées. Chaque pôle est la source d'un champ magnétique qui s’affaiblit avec la distance. Puisque les pôles magnétiques vont toujours par pair, le champ magnétique qu'ils génèrent s'annule d'autant plus que les deux pôles sont proche l'un de l'autre. Ainsi le moment magnétique est proportionnel à l’intensité p des pôles magnétiques et du vecteur ℓ qui les séparent :

$\mathbf {\mu } =p{\boldsymbol {\ell }}.$

Il pointe du pole sud au pole nord.

Représentation par une boucle de courant

Moment μ d'une boucle de courant d'intensité I et d'une surface S.

On part de la définition du moment magnétique différentiel :

$d{\boldsymbol {\mu }}={\frac {1}{2}}\mathbf {r} \wedge \mathbf {j} .dV$

où r est le vecteur position et j la densité de courant électrique.

De là, on peut retrouver la forme intégrale de cette équation :

${\boldsymbol {\mu }}={\frac {1}{2}}\iiint _{V}\mathbf {r} \wedge \mathbf {j} \,{\rm {d}}V,$

Dans le cas d'une particule chargée unique en rotation, cette expression devient :

${\boldsymbol {\mu }}={\frac {1}{2}}q\,\mathbf {r} \wedge \mathbf {v}$,

où r est le vecteur position, q la charge de la particule et v son vecteur vitesse.

Dans le cas d'un fil infiniment fin comme cette boucle de courant : $\mathbf {j} \,.{\rm {d}}S=I$, d'où :

${\boldsymbol {\mu }}={\frac {I}{2}}\int _{\partial S}\mathbf {r} \times {\rm {d}}\mathbf {r} .$

Soit :

${\boldsymbol {\mu }}=I\mathbf {S} .$

Moment magnétique d'un solénoïde

Image d'un solénoïde.

On peut appliquer l'expression ci-dessus au cas d'une bobine ou d'un solénoïde. Le moment magnétique total est la somme des moments magnétiques de chaque boucle. Dans le cas d'un solénoïde constitué de N boucles de surface S :

${\boldsymbol {\mu }}=NI\mathbf {S} .$

Moment magnétique et moment angulaire

En Mécanique classique, on peut montrer le lien existant entre le moment cinétique orbital L et le moment magnétique μ d'une configuration possédant des charges en mouvement.

On considère une particule (un Électron) de masse m suivant une trajectoire circulaire de rayon r à une vitesse v. Le moment cinétique vaut alors

${\boldsymbol {L}}=m{\boldsymbol {r}}\wedge {\boldsymbol {v}}$.

Le moment magnétique associé à ce courant, autrement dit au déplacement de l'électron qui génère un courant électrique i, est:

${\boldsymbol {\mu }}=i{\boldsymbol {S}}={\frac {1}{2}}q{\boldsymbol {r}}\wedge {\boldsymbol {v}}$,

où q est la charge de la particule et S la surface délimitant l'extension de son déplacement.

En combinant les deux relations ci-dessus, on obtient ainsi la relation suivante entre moments cinétique et magnétique :

${\boldsymbol {\mu }}={\frac {q}{2m}}{\boldsymbol {L}}$,

ou bien

${\boldsymbol {\mu }}=\gamma {\boldsymbol {L}}$,

où γ est appelé Rapport gyromagnétique du dipôle considéré.

Lien entre moment magnétique et aimantation

L'aimantation M correspond à une densité volumique de moment magnétique. Elle est définie par l'équation suivante :

$\mathbf {M} ={d\mathbf {\boldsymbol {\mu }} \over dV}$

où dμ est le moment magnétique élémentaire, et dV est le volume élémentaire. Cette équation mène à une définition générale du moment magnétique :

${\boldsymbol {\mu }}=\iiint \mathbf {M} \,dV$

où μ est le moment magnétique total.

De ce fait, le moment magnétique et l'aimantation sont complètement analogues au Moment dipolaire électrique p et à la polarisation P :

$\mathbf {P} ={d\mathbf {p} \over dV},\quad \mathbf {p} =\iiint \mathbf {P} \,dV$

où dp est le moment dipolaire électrique élémentaire.

L'aimantation M est mesurée en Ampère par mètre (A/m).

Dipôles magnétiques

Un dipôle magnétique est la limite aussi bien d'une boucle de courant ou d'une paire de pôles magnétiques lorsque les dimensions du système tendent vers zéro tandis que son moment magnétique reste constant. Loin de la source les deux représentations sont équivalentes mais elles divergent à proximité de la source.

Champ magnétique produit par un dipôle

Lignes de champ magnétique autour d'un dipôle magnétique. Le dipôle magnétique lui même se situe au centre de la figure et pointe vers le haut.

Tout système possédant un moment magnétique m produit un champ magnétique autour de lui. On peut montrer que loin de la source ce champ magnétique est :

$\mathbf {B} ({\mathbf {r} })={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\left({\frac {3\mathbf {r} (\mathbf {m} \cdot \mathbf {r} )}{|\mathbf {r} |^{5}}}-{\frac {\mathbf {m} }{|\mathbf {r} |^{3}}}\right)={\frac {\mu _{0}}{4\pi |\mathbf {r} |^{3}}}\left(3\left(\mathbf {m} \cdot {\hat {\mathbf {r} }}\right){\hat {\mathbf {r} }}-\mathbf {m} \right).$

L'induction magnétique est donc :

${\mathbf {H} }({\mathbf {r} })={\frac {{\mathbf {B} }({\mathbf {r} })}{\mu _{0}}}={\frac {1}{4\pi }}\left({\frac {3\mathbf {r} (\mathbf {m} \cdot \mathbf {r} )}{|\mathbf {r} |^{5}}}-{\frac {\mathbf {m} }{|\mathbf {r} |^{3}}}\right)={\frac {1}{4\pi |\mathbf {r} |^{3}}}\left(3\left(\mathbf {m} \cdot {\hat {\mathbf {r} }}\right){\hat {\mathbf {r} }}-\mathbf {m} \right).$

Le champ magnétique d'un dipôle idéal est représenté ci-contre.

Dipôle magnétique dans un champ magnétique

En présence d'un champ magnétique, le fer s'aimante à son tour et devient un dipôle. Il est alors soumis aux forces créées par un aimant droit et s'oriente selon les lignes de champ.

À chaque Dipôle magnétique est associé un moment magnétique μ. En présence d'un champ magnétique B, ce dipôle va être soumis à un couple ${\boldsymbol {\tau }}$ et une force F, auxquels on peut associer une Énergie potentielle E_m. Ces dernières sont définies par les relations suivantes :

${\boldsymbol {\tau }}={\boldsymbol {\mu }}\wedge {\boldsymbol {B}}$,

$E_{\rm {m}}=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot {\boldsymbol {B}}$,

${\boldsymbol {F}}=-{\boldsymbol {\nabla }}({\boldsymbol {E}}_{m})={\boldsymbol {\nabla }}({\boldsymbol {\mu }}\cdot {\boldsymbol {B}})$.

La première équation indique que la dérivée temporelle du Moment cinétique d'un dipôle magnétique est égal au couple ${\boldsymbol {\tau }}$. Or celui-ci fait intervenir le Produit vectoriel du moment magnétique avec le champ magnétique. Mais comme moment magnétique et moment cinétique sont proportionnel, l'équation indique que la dérivée du moment cinétique est proportionnelle au produit vectoriel du moment cinétique lui-même avec le champ. Ainsi, en présence d'un champ magnétique, un dipôle magnétique va-t-il être l'objet d'un phénomène de précession appelé dans ce contexte précession de Larmor.

Forces entre deux dipôles magnétiques

La force exercée par un dipôle de moment magnétique m₁ sur un autre dipôle de moment magnétique m₂ est :

$\mathbf {F} =\nabla \left(\mathbf {m} _{2}\cdot \mathbf {B} _{1}\right),$

où B₁ est les champ magnétique relatif au moment magnétique m₁. Le résultat de ce calcul est :

$\mathbf {F} (\mathbf {r} ,\mathbf {m} _{1},\mathbf {m} _{2})={\frac {3\mu _{0}}{4\pi |\mathbf {r} |^{4}}}\left(\mathbf {m} _{2}(\mathbf {m} _{1}\cdot {\hat {\mathbf {r} }})+\mathbf {m} _{1}(\mathbf {m} _{2}\cdot {\hat {\mathbf {r} }})+{\hat {\mathbf {r} }}(\mathbf {m} _{1}\cdot \mathbf {m} _{2})-5{\hat {\mathbf {r} }}(\mathbf {m} _{1}\cdot {\hat {\mathbf {r} }})(\mathbf {m} _{2}\cdot {\hat {\mathbf {r} }})\right),$

où r̂ est le vecteur unité pointant du premier dipôle vers le second et r est la distance les séparant. On peut réécrire cette formule de la façon suivante :

$\mathbf {F} ={\frac {3\mu _{0}}{4\pi |\mathbf {r} |^{4}}}\left(({\hat {\mathbf {r} }}\wedge \mathbf {m} _{1})\wedge \mathbf {m} _{2}+({\hat {\mathbf {r} }}\wedge \mathbf {m} _{2})\wedge \mathbf {m} _{1}-2{\hat {\mathbf {r} }}(\mathbf {m} _{1}\cdot \mathbf {m} _{2})+5{\hat {\mathbf {r} }}({\hat {\mathbf {r} }}\wedge \mathbf {m} _{1})\cdot ({\hat {\mathbf {r} }}\wedge \mathbf {m} _{2})\right).$

Une force de sens opposé mais de même amplitude s'exerce sur m₁.

Le moment subit par m₂ est :

${\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {m} _{2}\times \mathbf {B} _{1}.$

Exemples de moments magnétiques

Les deux types de sources magnétiques

Fondamentalement, il ne peux y avoir que deux types de source pour un moment magnétique : le déplacement de charge électrique, tel qu'un courant électrique, et le moment magnétique intrinsèque porté par les particules élémentaires.

Les contributions du premier type peuvent être calculées à partir d'une distribution de courant connue d'un système en utilisent la formule suivante :

${\boldsymbol {\mu }}={\frac {1}{2}}\mathbf {r} \times \mathbf {j}$

L’intensité du moment moment magnétique des particules élémentaires est un chiffre fixe, souvent connue avec une grande précision.

Le moment magnétique totale de tout système est la somme vectorielle de toutes les contributions quelle que soit leur type. Par exemple, le moment magnétique porté par atome d'hydrogène-1 ( le plus léger les isotopes de l'hydrogène, constitué d'un proton et d'un électron ) est la somme des contributions suivante :

1. le moment intrinsèque de l’électron
2. le déplacement de l’électron autour du proton
3. le moment intrinsèque du proton

De même le moment magnétique d'un barreau magnétique est la somme des moments magnétiques, à la fois intrinsèque et orbitale, de chaque électron dépareillé du matériaux et du moment magnétique nucléaire.

Moment magnétique intrinsèque d'un électron

Les électrons ainsi que la plupart des particules élémentaires ont un moment intrinsèque, dont l'origine est purement quantique. Il est à l'origine de la plupart des propriétés magnétiques macroscopiques des matériaux.

Le moment magnétique de spin d'un électron est

$\mathbf {m} _{\text{S}}=-{\frac {g_{\text{S}}\mu _{\text{B}}\mathbf {S} }{\hbar }},$

où μ_B est le magnéton de Bohr, S le spin de l'électron, $\hbar$ la constante de Planck réduite et g_S le facteur de Landé qui vaut environ 2 dans le cas l'électron.

On peut noter que m est de signe opposé au spin S. Cela vient de la charge négative de l'électron. Le moment magnétique est donc anti-parallèle au spin.

Moment magnétique orbital

On peut transposer le lien entre le moment magnétique et le moment cinétique qu'il existe en Mécanique classique à la Mécanique quantique. Ainsi, au moment cinétique orbital L d'une particule de charge q et de masse m est associé un moment magnétique orbital μ_L

${\boldsymbol {\mu }}_{\rm {L}}={\frac {q}{2m}}{\boldsymbol {L}}$.

Le facteur q/2m est appelé Rapport gyromagnétique.

Moment magnétique d'un atome

Dans un atome comportant plusieurs électrons, les moments cinétiques orbitaux et de spin de chaque électron vont s'ajouter pour donner lieu au moment cinétique orbital total de l'atome ${\boldsymbol {L}}_{t}$, et au moment cinétique de spin total de l'atome ${\boldsymbol {S}}_{t}$. Le moment cinétique total est donc ${\boldsymbol {J}}={\boldsymbol {L}}_{t}+{\boldsymbol {S}}_{t}$. Le moment magnétique résultant est :

$\mu _{\text{Atom}}=g_{J}\mu _{B}{\sqrt {J(J+1)}}$

où g_J est le facteur de Landé et μ_B est le magnéton de Bohr. La composante de ce moment suivant l'axe z est alors :

$\mu _{\text{Atom}}(z)=-mg_{J}\mu _{B}$

où m est le nombre quantique magnétique qui peut prendre les 2J+1 valeurs suivantes :

$-J,-(J-1)\cdots 0\cdots +(J-1),+J$.

Particules élémentaires

Moments magnétiques et spins intrinsèques de quelques particules élémentaires

Particule	Moment magnétique (SI)	Nombre quantique de spin (sans dimension)
électron	−9284.764 × 10−27 J⋅T−1	1/2
proton	14.106067 × 10−27 J⋅T−1	1/2
neutron	−9.66236 × 10−27 J⋅T−1	1/2
muon	−44.904478 × 10−27 J⋅T−1	1/2
deutéron	4.3307346 × 10−27 J⋅T−1	1
trition	15.046094 × 10−27 J⋅T−1	1/2
helion	−10.746174 × 10−27 J⋅T−1	1/2
particule α	0	0

Voir aussi

Bibliographie

• Marc Knecht ; The anomalous magnetic moments of the electron and the muon, séminaire Poincaré (Paris, 12 Octobre 2002), publié dans : Bertrand Duplantier et Vincent Rivasseau (Eds.) ; Poincaré Seminar 2002, Progress in Mathematical Physics 30, Birkhäuser (2003), ISBN 3-7643-0579-7. Texte complet disponible au format PostScript.

Articles connexes

• Champ magnétique
• Spin
• Magnétostatique
• Expérience de Rabi
• Electrodynamique quantique
• Constante fondamentale
• Dipôle magnétique d'une sphère
• Magnéton nucléaire
• Moment magnétique du proton
• Moment magnétique du neutron
• Moment magnétique de l'électron
• Moment magnétique anomal
• Moment cinétique quantique
• Moment cinétique orbital
• Mécanique quantique
• Théorie quantique des champs
• Magnétisme