Transformation de Mellin

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En mathématiques, la transformation de Mellin est une transformation intégrale qui peut être considérée comme la version multiplicative (en) de la transformation de Laplace bilatérale. Cette transformation intégrale est fortement reliée à la théorie des séries de Dirichlet, et est souvent utilisée en théorie des nombres et dans la théorie des développements asymptotiques ; elle est également fortement reliée à la transformation de Laplace, à la transformation de Fourier, à la théorie de la fonction gamma et aux fonctions spéciales.

La transformation de Mellin a été nommée ainsi en l'honneur du mathématicien finlandais Hjalmar Mellin (en).

Définition[modifier | modifier le code]

La transformée de Mellin d'une fonction f définie et continue par morceaux sur est la fonction notée ou et définie par l'intégrale généralisée :

.

Une condition suffisante d'existence de la transformée est donnée par le résultat suivant[1] :

Théorème — On suppose que :

  • f est continue sur  ;
  • pour un nombre réel quand  ;
  • quand (f  tend vers 0 plus vite que toute puissance (négative) de x quand ).

Alors l'intégrale généralisée converge absolument pour Re (s) > α et définit une fonction holomorphe sur le demi-plan Re (s) > α.

Plus généralement, si

  • f est continue sur  ;
  • pour des nombres réels α < β,
    • quand et
    • quand ,

alors l'intégrale généralisée converge absolument pour α < Re (s) < β et définit une fonction holomorphe sur la bande α < Re (s) < β.

Exemples[modifier | modifier le code]

  • La transformée d'une distribution de Dirac , avec a > 0, est une fonction exponentielle .
  • La transformée de Mellin de la fonction , avec a > 0, est la fonction sur le demi-plan Re (s) > 0
    (où H est la fonction de Heaviside, f (x) = 1 si 0 < x < a et f (x) = 0 si x > a).
  • La transformée de Mellin de la fonction , avec a > 0, est la fonction sur le demi-plan Re (s) > 0
    ( est la fonction gamma d'Euler).
  • La transformée de Mellin de la fonction est la fonction sur le demi-plan Re (s) > 0.
  • La transformée de Mellin de la fonction est la fonction sur la bande –1 < Re (s) < 1
    (l'intégrale généralisée est semi-convergente si Re (s) ≥ 0).
  • La transformée de Mellin de la fonction est la fonction sur la bande 0 < Re (s) < 1
    (l'intégrale généralisée est semi-convergente).
  • La transformée de Mellin de la fonction est la fonction sur la bande 0 < Re (s) < 1[2].
  • Plus généralement, la transformée de Mellin de la fonction est la fonction sur la bande 0 < Re (s) < Re (a)
    ( est la fonction bêta).
  • La transformée de Mellin de la fonction est la fonction sur la bande 0 < Re (s) < 2[3].
  • La transformée de Mellin de la fonction est la fonction sur la bande –1 < Re (s) < 0[2].
  • La transformée de Mellin de la fonction est la fonction sur le demi-plan Re (s) > 1
    ( est la fonction zêta de Riemann).

Transformation de Mellin inverse[modifier | modifier le code]

La transformation inverse est

.

La notation suppose que c'est une intégrale curviligne s'appliquant sur une droite verticale dans le plan complexe.

Théorème — On suppose que[1] :

  • f est continue sur  ;
  • pour un nombre réel quand  ;
  • quand (f  tend vers 0 plus vite que toute puissance (négative) de x quand ).

On a la formule d'inversion de Mellin valide pour tout et tout x > 0 :

.

Relations avec les autres transformations[modifier | modifier le code]

Avec la transformation de Laplace bilatérale[modifier | modifier le code]

La transformation bilatérale de Laplace () peut être définie en termes de transformation de Mellin par

.

Inversement, on peut obtenir la transformation de Mellin à partir de la transformation de Laplace bilatérale par

.

La transformation de Mellin peut être vue comme une intégration utilisant un noyau xs qui respecte la mesure de Haar multiplicative, , qui est invariante sous la dilatation , c'est-à-dire .

La transformation de Laplace bilatérale intègre en respectant la mesure de Haar additive , qui est invariante par translation, c'est-à-dire .

Avec la transformation de Fourier[modifier | modifier le code]

On peut aussi définir la transformation de Fourier en termes de transformation de Mellin et vice-versa ; si nous définissons la transformation de Fourier comme ci-dessus, alors

.

On peut aussi inverser le processus et obtenir

.

La transformation de Mellin est aussi reliée aux séries de Newton ou aux transformations binomiales avec la fonction génératrice de la loi de Poisson, au moyen du cycle de Poisson-Mellin-Newton.

Intégrale de Cahen-Mellin[modifier | modifier le code]

Pour , et sur la branche principale, on a

.

Cette intégrale est connue sous le nom d'intégrale de Cahen-Mellin[4].

Applications[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Mellin transform » (voir la liste des auteurs).
  1. a et b (en) Henri Cohen, Number Theory, vol. II : Analytic and Modern Tools, Springer, coll. « GTM » (no 240), (lire en ligne), p. 107.
  2. a et b Cohen 2007, p. 150.
  3. Cohen 2007, p. 145.
  4. (en) G. H. Hardy et J. E. Littlewood, « Contributions to the Theory of the Riemann Zeta-Function and the Theory of the Distribution of Primes », Acta Mathematica, vol. 41, 1916, p. 119-196 (voir les notes dans cet article pour plus de références sur le travail de Cahen et Mellin, dont la thèse de Cahen).
  5. (en) M. L. Glasser, « The evaluation of lattice sums. I. Analytic procedures », J. Math. Phys., vol. 14, no 3,‎ , p. 409-413.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]