Transformation de Mellin

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En mathématiques, la transformation de Mellin est une transformation intégrale qui peut être considérée comme la version multiplicative (en) de la transformation de Laplace bilatérale. Cette transformation intégrale est fortement reliée à la théorie des séries de Dirichlet, et est souvent utilisée en théorie des nombres et dans la théorie des développements asymptotiques ; elle est également fortement reliée à la transformation de Laplace, à la transformation de Fourier, à la théorie de la fonction gamma et aux fonctions spéciales.

La transformation de Mellin a été nommée ainsi en l'honneur du mathématicien finlandais Hjalmar Mellin (en).

Définition[modifier | modifier le code]

La transformation de Mellin d'une fonction f définie et continue sur est

Une condition suffisante d'existence de la transformée est donnée par le résultat suivant[1] :

Théorème — On suppose que :

  • f est continue sur  ;
  • pour un nombre réel quand  ;
  • quand (f tend vers 0 plus vite que toute puissance (négative) de t quand ).

Alors la transformation de Mellin de f converge absolument pour Re (s) > α et définit une fonction holomorphe sur le demi-plan Re (s) > α.

Exemples[modifier | modifier le code]

  • La transformée d'une distribution de Dirac , avec a > 0, est une fonction exponentielle .
  • La transformée de Mellin de la fonction est la fonction Gamma sur le demi-plan Re (s) > 0.

Transformation de Mellin inverse[modifier | modifier le code]

La transformation inverse est

La notation suppose que c'est une intégrale curviligne s'appliquant sur une droite verticale dans le plan complexe. Les conditions sous lesquelles cette inversion est valide sont données dans le théorème d'inversion de Mellin (en).

Relations avec les autres transformations[modifier | modifier le code]

La transformation bilatérale de Laplace peut être définie en termes de transformation de Mellin par

et inversement, nous pouvons obtenir la transformation de Mellin à partir de la transformation de Laplace bilatérale par

La transformation de Mellin peut être vue comme une intégration utilisant un noyau xs qui respecte la mesure de Haar multiplicative, , qui est invariante sous la dilatation , c'est-à-dire ; la transformation de Laplace bilatérale intègre en respectant la mesure de Haar additive , qui est un invariant de translation, c'est-à-dire .

Nous pouvons aussi définir la transformation de Fourier en termes de transformation de Mellin et vice-versa ; si nous définissons la transformation de Fourier comme ci-dessus, alors

Nous pouvons aussi inverser le processus et obtenir

La transformation de Mellin est aussi reliée aux séries de Newton ou aux transformations binomiales avec la fonction génératrice de la loi de Poisson, au moyen du cycle de Poisson-Mellin-Newton.

Intégrale de Cahen-Mellin[modifier | modifier le code]

Pour , et sur la branche principale, on a

est la fonction gamma d'Euler. Cette intégrale est connue sous le nom d'intégrale de Cahen-Mellin[2].

Exemples[modifier | modifier le code]

Application aux calculs de sommes de réseau[modifier | modifier le code]

Dans la littérature, on utilise souvent les transformées de Mellin pour le calcul analytique de toute une variété de sommes de réseaux, qui s'expriment sous forme de diverses fonctions spéciales comme les fonctions thêta de Jacobi ou la fonction zêta de Riemann[3].

Notes[modifier | modifier le code]

  1. Henry Cohen, Number Theory, Volume II : Analytic and Modern Tools, Springer, p. 107.
  2. (en) G. H. Hardy et J. E. Littlewood, « Contributions to the Theory of the Riemann Zeta-Function and the Theory of the Distribution of Primes », Acta Mathematica, vol. 41, 1916, p. 119-196 (voir les notes dans cet article pour plus de références sur le travail de Cahen et Mellin, dont la thèse de Cahen)
  3. (en) M. L. Glasser, « The Evaluation Of Lattice Sums, I. Analytic Procedures », dans J. of Math. and Phys. 14, 3, 1973

Références[modifier | modifier le code]

  • (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Mellin transform » (voir la liste des auteurs).
  • (en) R. B. Paris et D. Kaminsky, Asymptotics and Mellin-Barnes Integrals, Cambridge University Press, 2001
  • (en) A. D. Polyanin et A. V. Manzhirov, Handbook of Integral Equations, Boca Raton, CRC Press, 1998 (ISBN 0-8493-2876-4)
  • (en) Tables of Integral Transforms at EqWorld: The World of Mathematical Equations