Opérateur intégral

En mathématiques, un opérateur intégral ou opérateur à noyau est un opérateur linéaire défini à l'aide d'une intégrale paramétrique sur certains espaces fonctionnels. L'image d'une fonction par un tel opérateur est donc une autre fonction, dont le domaine peut être très différent.

De tels opérateurs constituent des objets fondamentaux en analyse fonctionnelle, où ils permettent notamment de transformer une équation pour obtenir une version a priori plus facile à résoudre. Les premiers exemples sont la convolution et les transformées de Fourier ou de Laplace, d'où le nom aussi rencontré de transformée intégrale.

Expression

La forme générale d'un opérateur intégral est donnée par l'expression suivante :

$S(f)(t)=\int _{A}{f(x)K(x,t)\,\mathrm {d} \mu (x)}$

dans laquelle la fonction K est appelée noyau de l'opérateur.

Dans beaucoup d'exemples courants, le domaine d'intégration A est un intervalle réel et la mesure associée est celle de Lebesgue.

Formes de noyaux particulières

• Un noyau K est dit séparable ou dégénéré s'il peut s'écrire sous la forme$K(x,t)=\sum _{i=1}^{p}a_{i}(x)b_{i}(t)$avec les fonctions (a_i) indépendantes.
• Un noyau K à valeurs complexes est dit symétrique ou hermitien s'il vérifie

  $\forall x,t,\ K(x,t)={\overline {K(t,x)}}.$

• Un noyau K est appelé « noyau de convolution » s'il est de la forme

  $K(x,t)=k(x-t).$

• Un noyau K est dit régulier s'il vérifie :

  $\iint K(x,t)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} t<+\infty .$

• Si un noyau K est de la forme, pour une fonction h bornée,$K(x,t)={\frac {h(x,t)}{|x-t|^{m}}},\ m\in \left]0,1\right[,$alors l'équation intégrale est dite « faiblement singulière ». Pour h constante, on retrouve l'équation intégrale d'Abel.
• Un noyau K est appelé « noyau de Cauchy » s'il est de la forme$K(x,t)={\frac {h(x,t)}{x-t}}.$Il apparait dans la définition de la valeur principale de Cauchy.

Table de noyaux d'opérateurs intégraux

Table de transformées intégrales

Transformée	Symbole	K	f(t)	t1	t2	K−1	u1	u2
Transformée d'Abel	F, f	${\frac {2t}{\sqrt {t^{2}-u^{2}}}}$		$u$	$\infty$	${\frac {-1}{\pi {\sqrt {u^{2}\!-\!t^{2}}}}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} u}}$	t	$\infty$
Transformée de Legendre associée	${\mathcal {J}}_{n,m}$	$(1-x^{2})^{-m/2}P_{n}^{m}(x)$		$-1$	$1$		$0$	$\infty$
Transformée de Fourier	${\mathcal {F}}$	$\mathrm {e} ^{-2\pi \mathrm {i} ut}$	$L_{1}$	$-\infty$	$\infty$	$\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} ut}$	$-\infty$	$\infty$
Transformée en sinus	${\mathcal {F}}_{s}$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\sin(ut)$	sur $[0,\infty )$, réel	$0$	$\infty$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\sin(ut)$	$0$	$\infty$
Transformée en cosinus	${\mathcal {F}}_{c}$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\cos(ut)$	sur $[0,\infty )$, réelle	$0$	$\infty$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\cos(ut)$	$0$	$\infty$
Transformée de Hankel		$t\,J_{\nu }(ut)$		$0$	$\infty$	$u\,J_{\nu }(ut)$	$0$	$\infty$
Transformée de Hartley	${\mathcal {H}}$	${\frac {\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt {2\pi }}}$		$-\infty$	$\infty$	${\frac {\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt {2\pi }}}$	$-\infty$	$\infty$
Transformée de Hermite	$H$	$\mathrm {e} ^{-x^{2}}H_{n}(x)$		$-\infty$	$\infty$		$0$	$\infty$
Transformée de Hilbert	${\mathcal {H}}il$	${\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{u-t}}$		$-\infty$	$\infty$	${\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{u-t}}$	$-\infty$	$\infty$
Transformée de Jacobi	$J$	$(1-x)^{\alpha }\ (1+x)^{\beta }\ P_{n}^{\alpha ,\beta }(x)$		$-1$	$1$		$0$	$\infty$
Transformée de Laguerre	$L$	$\mathrm {e} ^{-x}\ x^{\alpha }\ L_{n}^{\alpha }(x)$		$0$	$\infty$		$0$	$\infty$
Transformée de Laplace	${\mathcal {L}}$	$\mathrm {e} ^{-ut}$		$0$	$\infty$	${\frac {\mathrm {e} ^{ut}}{2\mathrm {i} \pi }}$	$c\!-\!\mathrm {i} \infty$	$c\!+\!\mathrm {i} \infty$
Transformée de Legendre	${\mathcal {J}}$	$P_{n}(x)\,$		$-1$	$1$		$0$	$\infty$
Transformée de Mellin	${\mathcal {M}}$	$t^{u-1}$		$0$	$\infty$	${\frac {t^{-u}}{2\mathrm {i} \pi }}\,$	$c\!-\!\mathrm {i} \infty$	$c\!+\!\mathrm {i} \infty$
Transformation bilatérale de Laplace	${\mathcal {B}}$	$\mathrm {e} ^{-ut}$		$-\infty$	$\infty$	${\frac {\mathrm {e} ^{ut}}{2\mathrm {i} \pi }}$	$c\!-\!\mathrm {i} \infty$	$c\!+\!\mathrm {i} \infty$
Noyau de Poisson		${\frac {1-r^{2}}{1-2r\cos \theta +r^{2}}}$		$0$	$2\pi$
Transformée de Radon	Rƒ	$\delta (x\cos \theta +y\sin \theta -t)$		$-\infty$	$\infty$
Transformée de Weierstrass	${\mathcal {W}}$	${\frac {\mathrm {e} ^{-{\frac {(u-t)^{2}}{4}}}}{\sqrt {4\pi }}}\,$		$-\infty$	$\infty$	${\frac {\mathrm {e} ^{\frac {(u-t)^{2}}{4}}}{\mathrm {i} {\sqrt {4\pi }}}}$	$c\!-\!\mathrm {i} \infty$	$c\!+\!\mathrm {i} \infty$
Transformée à rayons X	Xƒ			$-\infty$	$\infty$

Dans les limites d'intégration pour la transformée inverse, c est une constante qui dépend de la nature du noyau de la transformation. Par exemple, pour la transformée de Laplace unilatérale et bilatérale, c doit être supérieur à la plus grande partie réelle des zéros de la fonction de transformée.

Utilisation

Les opérateurs intégraux interviennent dans les phénomènes de diffusion où interviennent classiquement des équations intégrales. L'existence et l'unicité des solutions trouvent des solutions avec l'alternative de Fredholm, lorsque cette dernière est applicable, c'est-à-dire lorsque l'opérateur est compact.

Dans un grand nombre de cas en pratique, il existe déjà une étude complète de l'analyse spectrale de l'opérateur.

Il arrive qu'un tel opérateur admette un inverse qui soit également un opérateur intégral. Le noyau de ce dernier est alors appelé le noyau inverse.

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Integral transform » (voir la liste des auteurs).

Voir aussi

• Noyau de Szegő
• Opérateur différentiel

• [PDF] Gilles Leborgne, « Noyaux intégraux, espace de Hilbert à noyau reproduisant : introduction », notes de cours de l'ISIMA, 9 mars 2016 (consulté le 25 juillet 2016)