Moyenne de Riesz

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En mathématiques, les moyennes de Riesz sont certaines moyennes des termes d'une série. Elles ont été introduites par Marcel Riesz en 1911 comme une amélioration de la moyenne de Cesàro[1],[2]. Les moyennes de Riesz ne doivent pas être confondues avec celles de Bochner-Riesz (en) ni avec les moyennes fortes de Riesz.

Définition[modifier | modifier le code]

La moyenne de Riesz d'une série de terme général est définie par :

et sa moyenne de Riesz généralisée est définie par :

est une suite arbitraire telle que et quand .

Les moyennes de Riesz sont souvent utilisées pour explorer la sommabilité des séries ; les théorèmes de sommabilité usuels traitent du cas de . Typiquement, une série est sommable lorsque la limite existe, ou la limite existe, néanmoins, les théorèmes de sommabilité précis en question imposent souvent des conditions supplémentaires.

Cas particuliers[modifier | modifier le code]

Soit quel que soit . Alors

Ici, on doit prendre  ; est la fonction gamma et est la fonction zêta de Riemann. On peut montrer que la série de puissances converge pour . Remarquons que l'intégrale est de la forme d'une transformée de Mellin inverse.

Un autre cas intéressant relié à la théorie des nombres survient en prenant est la fonction de von Mangoldt. Alors

De nouveau, on doit prendre . La somme sur est la somme sur les zéros de la fonction zêta de Riemann, et converge pour .

Les intégrales qui apparaissent ici sont similaires à l'intégrale de Nörlund-Rice ; très grossièrement, elles peuvent être reliées à cette intégrale par la formule de Perron.

Références[modifier | modifier le code]

  1. M. Riesz, « Une méthode de sommation équivalente à la méthode des moyennes arithmétiques », dans CRAS, vol. 152, 1911, p. 1651-1654
  2. (en) G. H. Hardy et J. E. Littlewood, « Contributions to the Theory of the Riemann Zeta-Function and the Theory of the Distribution of Primes », Acta Mathematica, vol. 41, 1916, p. 119-196