Transformation binomiale

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En mathématiques, dans le domaine de l'analyse combinatoire, une suite est la transformation binomiale d'une autre si elle calcule les différences d'ordre successif entre les termes consécutifs.

Cette transformation est en rapport avec la transformation d'Euler, qui est le lien entre les séries génératrices ordinaires de deux suites qui sont la transformée binomiale l'une de l'autre. Un cas particulier de la transformation d'Euler est parfois utilisé pour accélérer la convergence de séries alternées (voir l'accélération des séries). Un autre cas particulier apparaît dans une application aux séries hypergéométriques.

Définition[modifier | modifier le code]

La transformée binomiale T d'une suite (an) est la suite (sn) définie par s_n = \sum_{k=0}^n (-1)^k {n\choose k} a_k, où les {n\choose k}=C_n^k désignent les coefficients binomiaux.

La transformée binomiale s'avère être la suite des n-ièmes différences de la suite originelle, avec signe négatif pour les différences impaires :

s_0 = a_0
s_1 = - (\triangle a)_0 = - (a_1-a_0)
s_2 = (\triangle^2 a)_0 = (a_2-a_1)-(a_1-a_0) = a_2-2a_1+a_0
. . .
s_n = (-1)^n (\triangle^n a)_0

Δ est l'opérateur de différence.

Étant un opérateur linéaire, la transformation peut s'écrire comme

s_n = (Ta)_n = \sum_{k=0}^\infty T_{nk} a_k

T est une matrice de dimension infinie de coefficients T_{nk} = (-1)^k {n\choose k}.

Cette transformation est une involution, c'est-à-dire T\circ T = {\rm Id} ou, en utilisant des notations indicielles :

\sum_{k=0}^\infty T_{nk}T_{km} = \delta_{nm}δ est le symbole de Kronecker.

La suite de départ peut donc être retrouvée par

a_n= (Ts)_n=\sum_{k=0}^n (-1)^k {n\choose k} s_k.

Formulation alternative[modifier | modifier le code]

Une autre définition de la transformation binomiale change le signe :

t_n=\sum_{k=0}^n (-1)^{n-k} {n\choose k} a_k.

Dans ce cas, la transformation réciproque est

a_n=\sum_{k=0}^n {n\choose k} t_k,

ce qui, bien que plus simple, n'est plus involutif.

Cette transformée binomiale se trouve par la table des différences. Chaque ligne reprend les différences de la ligne précédente.

La suite (tn) = (0, 2, 12, 48, 160, 480, …) = (n(n + 1)2n–1) (ligne supérieure) est la transformée binomiale de la diagonale (an) = (0, 2, 8, 18, 32, 50, …) = (2n2).

0   2   12   48   160   480
  2   10   36   112   320
    8   26   76   208
      18   50   132
        32   82
          50

Transformation d'Euler[modifier | modifier le code]

Fonctions génératrices ordinaires[modifier | modifier le code]

La transformation binomiale établit un lien entre les séries génératrices associées aux suites.

Soient les séries génératrices ordinaires

f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n     et     g(x)=\sum_{n=0}^\infty s_n x^n.

On tire

g(x) = (Tf)(x) = \frac{1}{1-x} \, f\left(\frac{-x}{1-x}\right).

Cette relation entre les séries génératrices ordinaires est appelée transformation d'Euler.

Accélération de séries[modifier | modifier le code]

En posant x = 1/2 dans la relation précédente, la transformation d'Euler est utilisée pour accélérer la convergence (en) des séries alternées. En effet :

\sum_{n=0}^\infty (-1)^n a_n = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n 
\frac {\Delta^n a_0} {2^{n+1}}.

Les termes du membre de droite diminuent généralement beaucoup plus vite, permettant ainsi un calcul numérique rapide de la somme.

Fonction hypergéométrique[modifier | modifier le code]

L'application de la transformation d'Euler à la fonction hypergéométrique \,_2F_1 donne la relation

\,_2F_1 (a,b;c;z) = (1-z)^{-b} \,_2F_1 \left(c-a, b; c;\frac{z}{z-1}\right).

Fractions continues[modifier | modifier le code]

La transformation binomiale, et ses variantes comme la transformation d'Euler, sont connues pour leur lien avec la représentation des réels par des fractions continues. Soit x un réel représenté par la fraction continue (éventuellement généralisée) suivante : x=[0;a_1,a_2,a_3,\ldots]. Alors \frac x{\lambda x+1}=\frac1{\lambda+\tfrac1x}=\frac1{\lambda+[a_1;a_2,a_3,\ldots]}=\frac1{[\lambda+a_1;a_2,a_3,\ldots]}=[0;\lambda+a_1, a_2, a_3,\ldots].

Fonction génératrice exponentielle[modifier | modifier le code]

Considérons des séries génératrices exponentielles,

\overline{f}(x)= \sum_{n=0}^\infty a_n \frac{x^n}{n!}

et

\overline{g}(x)= \sum_{n=0}^\infty s_n \frac{x^n}{n!}.

Alors

\overline{g}(x) = (T\overline{f})(x) = e^x \overline{f}(-x).

La sommation de Borel convertit les séries génératrices ordinaires en séries génératrices exponentielles.

Représentation intégrale[modifier | modifier le code]

Lorsque la suite peut être interpolée par une fonction analytique complexe, alors la transformée binomiale de la suite peut être représentée par la moyenne d'une intégrale de Nörlund-Rice sur la fonction d'interpolation.

Généralisations[modifier | modifier le code]

  • Prodinger[1] a donné une transformation de type modulaire :u_n = \sum_{k=0}^n {n\choose k} a^k (-c)^{n-k} b_k.Elle donneU(x)=\frac1{cx+1} B\left(\frac{ax}{cx+1}\right)U et B sont les séries génératrices ordinaires associées aux suites (un) et (bn).
  • Spivey et Steil[2] ont défini la transformation montante k-binomiale par\sum_{j=0}^n {n\choose j} j^k a_jet la transformation descendante k-binomiale par\sum_{j=0}^n {n\choose j} j^{n-k} a_j.Ces deux transformations sont des endomorphismes du noyau de la transformation de Hankel d'une suite.

Opérateur de décalage[modifier | modifier le code]

La transformation binomiale correspond à l'opérateur de décalage pour la suite des nombres de Bell, c'est-à-dire :

B_{n+1}=\sum_{k=0}^n {n\choose k} B_k

où les Bn représentent les nombres de Bell.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Binomial transform » (voir la liste des auteurs).

  1. (en) Helmut Prodinger, Some information about the Binomial transform, 1992 [PDF].
  2. (en) Michael Z. Spivey et Laura L. Steil, The k-Binomial Transforms and the Hankel Transform, 2006.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

(en) Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming, vol. 3, Reading, MA, Addison-Wesley,‎

Articles connexes[modifier | modifier le code]