Théorème d'Hermite-Lindemann

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Le théorème d’Hermite-Lindemann affirme que pour tout nombre algébrique a non nul, le nombre ea est transcendant.

Il fut démontré en 1882 par Ferdinand von Lindemann[1].

En 1885, Karl Weierstrass en donna une généralisation, connue sous le nom de théorème de Lindemann-Weierstrass.

Une généralisation plus récente est le théorème de Baker.

Transcendance de e et π[modifier | modifier le code]

En particulier, e est transcendant (résultat montré par Charles Hermite en 1873[2] : c’est le théorème d’Hermite).

La transcendance de π est aussi un corollaire du théorème de Lindemann : sin(π) = 0, or on déduit plus généralement du théorème la transcendance de tout nombre non nul t dont (par exemple) le sinus est algébrique. En effet, compte tenu des formules d'Euler (les relations entre cos(t), sin(t) et eit), dès que l’un des trois est algébrique, tous trois le sont, en particulier eit est algébrique, si bien que par contraposée du théorème, le nombre it est transcendant donc t aussi.

L'approche originelle de Hermite pour e a été simplifiée et étendue à π par David Hilbert (en 1893)[3],[4], pour finalement devenir élémentaire grâce à Adolf Hurwitz et Paul Albert Gordan. Pour adapter à π la stratégie pour e, des faits à propos des polynômes symétriques jouent un rôle vital.

Pour des informations détaillées concernant les démonstrations de la transcendance de e et π, voir les références et les annexes.

L'impossible quadrature du cercle[modifier | modifier le code]

Pierre-Laurent Wantzel avait montré en 1837 que le problème de l'impossibilité de la quadrature du cercle pouvait être déduit de l'hypothétique transcendance du nombre π (voir théorème de Wantzel pour plus de détails). En prouvant que π n’est pas algébrique, Lindemann parvient donc à montrer qu’il est impossible de construire à la règle et au compas un carré de même aire qu’un disque donné, résolvant ainsi par la négative l’un des plus anciens problèmes de mathématiques depuis l’Antiquité.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (de) F. Lindemann, « Über die Zahl π », Math. Ann., vol. 20,‎ , p. 213–225 (lire en ligne)
  2. C. Hermite, « Sur la fonction exponentielle », Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences, vol. 77,‎ , p. 18-24, 74-79, 226-233 et 285-293 (lire en ligne), « en ligne et analysé », sur le site bibnum par Michel Waldschmidt.
  3. (de) D. Hilbert, « Ueber die Transcendenz der Zahlen e und π », Math. Ann., vol. 43,‎ , p. 216-219 (lire en ligne).
  4. (de) Rudolf Fritsch (de), « Hilberts Beweis der Transzendenz der Ludolphschen Zahl π », Differentialgeometrie der Mannigfaltigkeiten von Figuren, vol. 34,‎ , p. 144-148 (lire en ligne).

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Bibliographie[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]