Polynôme symétrique

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En mathématiques, un polynôme symétrique est un polynôme en plusieurs indéterminées, invariant par permutation de ses indéterminées. Ils jouent notamment un rôle dans les relations entre coefficients et racines.

Définition[modifier | modifier le code]

Soit A un anneau commutatif unifère. Un polynôme Q(T1, … , Tn) en n indéterminées à coefficients dans A est dit symétrique si pour toute permutation s de l'ensemble d'indices {1, … , n}, l'égalité suivante est vérifiée :

Exemples
  • Pour n = 1, tout polynôme est symétrique.
  • Pour n = 2, le polynôme T1 + T2 est symétrique alors que le polynôme T1 + T22 ne l'est pas.
  • Pour n = 3, le polynôme (T1T2)2(T1T3)2(T2T3)2 est symétrique ;
  • Une classe importante de polynômes symétriques est constituée par les sommes de Newton, définies par pk(T1, … , Tn) = Tik.

Polynômes symétriques élémentaires[modifier | modifier le code]

Les polynômes symétriques forment une sous-A-algèbre associative unifère de A[T1,...,Tn]. Une famille génératrice est donnée par les polynômes symétriques élémentaires comme on verra ci-après.

Définition[modifier | modifier le code]

Pour 0 ≤ kn, le k-ième polynôme symétrique élémentaire en n variables, σn,k(T1, … , Tn), que nous noterons plus simplement σk(T1, … , Tn) est la somme de tous les produits de k d'entre ces variables, c'est-à-dire, en notant l'ensemble des combinaisons de k nombres pris dans l'ensemble {1, 2, … , n} :

Ce polynôme est bien symétrique, puisqu'une permutation du groupe symétrique Sn envoie bijectivement une telle combinaison sur une autre.

Exemples
  •  ;
  •  ;
  • si  ;
  •  ;
  • ,
    • Cas n = 3 : ,
    • Cas n = 4 :  ;
  • ,
    • Cas n = 4 : .

Une définition équivalente des polynômes symétriques élémentaires est :

Exemples
  • n = 1 :  ;
  • n = 2 :  ;
  • n = 3 : .

D'après cette définition, si un polynôme unitaire R(X) de degré n en une indéterminée admet une factorisation

en facteurs de degré 1, alors les coefficients du polynôme R sont donnés comme fonctions symétriques des racines zi, c'est-à-dire :

Théorème[modifier | modifier le code]

Pour tout polynôme symétrique Q(T1,...,Tn) à coefficients dans A, il existe un unique polynôme P en n indéterminées à coefficients dans A tel que

Plus formellement : le morphisme d'algèbres

est injectif, et a pour image la sous-algèbre des polynômes symétriques.

Ou encore : les polynômes symétriques élémentaires d'indices > 0 engendrent la sous-algèbre unifère des polynômes symétriques, et sont algébriquement indépendants sur A. Ce résultat est parfois appelé le théorème fondamental des polynômes symétriques.

Un autre système de générateurs célèbre, lié au précédent, est constitué des sommes de Newton si A contient le corps des nombres rationnels.

Référence[modifier | modifier le code]

Serge Lang, Algèbre [détail des éditions], chapitre V, § 9

Article connexe[modifier | modifier le code]

Polynôme alterné (en)