Série L de Dirichlet

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Sauter à la navigation Sauter à la recherche
Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859).

En mathématiques, une série L de Dirichlet est une série du plan complexe utilisée en théorie analytique des nombres.

Par prolongement analytique, cette fonction peut être étendue en une fonction méromorphe sur le plan complexe entier.

Elle est construite à partir d'un caractère de Dirichlet et, dans le cas du caractère trivial, la fonction L de Dirichlet s'identifie avec la fonction zêta de Riemann.

Elle est nommée ainsi en l'honneur du mathématicien allemand Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet, qui l'a utilisée pour démontrer son théorème de la progression arithmétique.

Définition[modifier | modifier le code]

Soit χ un caractère de Dirichlet. La série L de Dirichlet associée, notée L( , χ), est définie par :

.

Relation avec la fonction zêta de Hurwitz et prolongement analytique[modifier | modifier le code]

La série L de Dirichlet associée à un caractère modulo N est une combinaison linéaire des séries zêta de Hurwitz pour q = j/N avec j = 1, 2, … , N.

Plus précisément, soit χ un caractère modulo N. Alors,

.

Par conséquent, de même que les séries , la série

  • converge sur le demi-plan des nombres complexes de partie réelle strictement supérieure à 1 ;
  • se prolonge analytiquement sur le plan complexe en une fonction méromorphe avec au plus un pôle, simple, au point 1. Ce prolongement est appelé fonction L de Dirichlet et est encore noté , et son résidu au point 1 est :
    .

En particulier, la fonction L de Dirichlet du caractère trivial (N = 1) est la fonction zêta de Riemann , dont le résidu au point 1 est, comme celui de toutes les fonctions zêta de Hurwitz, égal à 1.

Comportement au point un[modifier | modifier le code]

Le comportement des séries au point 1 est la clé du théorème de la progression arithmétique. C'est la raison pour laquelle Dirichlet définit ces séries.

  • Le point 1 est un pôle de la fonction L pour le caractère principal, mais pas pour les autres caractères[1].

Zéros des fonctions L de Dirichlet[modifier | modifier le code]

Si χ est un caractère primitif avec χ(–1) = 1, alors les seuls zéros de L(s, χ) avec Re(s) < 0 sont les entiers pairs négatifs. Si χ est un caractère primitif avec χ(–1) = –1, alors les seuls zéros de L(s, χ) avec Re(s) < 0 sont les entiers impairs négatifs.

Hormis l'existence possible d'un zéro de Siegel, beaucoup de résultats similaires à la fonction zêta de Riemann sont connus sur les régions sans zéro de toutes les fonctions L de Dirichlet, à gauche de la droite Re(s) = 1.

L'hypothèse de Riemann généralisée est la généralisation aux fonctions L de Dirichlet de l'hypothèse de Riemann sur la fonction zêta.

Équation fonctionnelle[modifier | modifier le code]

Supposons que χ est un caractère primitif de module k. Définissant

Γ désigne la fonction gamma et le symbole a est donné par

on a l'équation fonctionnelle

τ désigne la somme de Gauss :

Remarque : |τ(χ)| = k1/2.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Dirichlet L-function » (voir la liste des auteurs).
  1. Autrement dit, pour les caractères non principaux : la fonction L associée est une fonction entière. Voir aussi Pierre Colmez, Éléments d'analyse et d'algèbre (et de théorie des nombres), Éditions de l'École polytechnique, (ISBN 978-2-73021563-3, lire en ligne), p. 291, théorème VII.4.4. On peut montrer de plus – mais ce n'est pas utile ici – que la série converge vers son prolongement holomorphe sur le demi-plan Re(s) > 0, comme toute série de Dirichletan/ns dont l'ensemble des sommes a1 + … + an est borné.
  2. Colmez 2009, p. 292.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]

Formule de Perron

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]