Résidu (analyse complexe)

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En analyse complexe, le résidu est un nombre complexe qui décrit le comportement de l'intégrale curviligne d'une fonction holomorphe aux alentours d'une singularité. Les résidus se calculent assez facilement et, une fois connus, permettent de calculer des intégrales curvilignes plus compliquées grâce au théorème des résidus.

Le terme résidu vient de Cauchy dans ses Exercices de mathématiques publié en 1826.

Définition et propriétés[modifier | modifier le code]

Soit un ouvert de , isolé dans et une fonction holomorphe. Pour chaque point , il existe un voisinage de noté relativement compact dans , tel que est holomorphe. La fonction possède dans ce cas un développement de Laurent sur  :

.

On définit alors le résidu de en par :

Le résidu d'une fonction holomorphe en un point singulier (pôle ou point singulier essentiel) est donc , c'est-à-dire le coefficient de dans le développement de Laurent de la fonction au voisinage de .

Le résidu est -linéaire, c’est-à-dire que pour on a : .

Méthodes de calcul[modifier | modifier le code]

On calcule les résidus traditionnellement de deux manières :

  • soit à partir du développement de Laurent au voisinage de  ;
  • soit en utilisant la formule générale suivante, si possède en un pôle d'ordre  :

Pour deux fonctions et à valeurs dans , on a également les relations suivantes :

  • Si a en un pôle d'ordre 1 :  ;
  • Si a en un pôle d'ordre 1 et si est holomorphe en  :  ;
  • Si a en un zéro d'ordre 1 :  ;
  • Si a en un zéro d'ordre 1 et si est holomorphe en  :  ;
  • Si a en un zéro d'ordre  :  ;
  • Si a en un zéro d'ordre et si est holomorphe en  :  ;
  • Si a en un pôle d'ordre  :  ;
  • Si a en un pôle d'ordre et si est holomorphe en  : .

Exemples[modifier | modifier le code]

  • quand est holomorphe en .
  • Soit . a en un pôle d'ordre 1, et .
  • au voisinage de 0. Le résidu vaut donc 1.
  • , comme on le voit immédiatement avec la linéarité et la règle de dérivation logarithmique, puisque a en 1 un zéro d'ordre 1.
  • La fonction gamma a en pour tout un pôle d'ordre 1, et le résidu vaut .

Théorème des résidus[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Théorème des résidus.

Soit une fonction holomorphe sur , un ouvert étoilé, sauf peut-être présentant des singularités isolées aux points de l'ensemble . Alors si est un lacet tracé dans et ne rencontrant pas , on a :

est l'indice du chemin au point .

Références[modifier | modifier le code]

  • Claude Wagschal, Fonctions holomorphes. Équations différentielles, Hermann, coll. « Méthodes », 2003, p. 119-120.
  • Augustin Louis Cauchy, Exercices de mathématiques, 1826, p. 11 Voir en ligne

(de) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en allemand intitulé « Residuum (Funktionentheorie) » (voir la liste des auteurs).