Pôle (mathématiques)

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En analyse complexe, un pôle d'une fonction holomorphe est un certain type de singularité qui se comporte comme la singularité z = 0 de la fonction \C^*\to\C, z \mapsto \frac1{z^n}, où n est un entier naturel non nul.

Un pôle de la fonction f est un point a pour lequel f(z) tend vers l'infini lorsque z tend vers a.

Formellement, soient U un ouvert du plan complexe ℂ, a un élément de U et f: U \setminus \{a\}\rightarrow \C une fonction holomorphe. On dit que a est un pôle de f s'il existe une fonction holomorphe g:U \rightarrow \C et un entier naturel non nul n tels que :

g(a) \ne0\quad \mathrm{et}\quad f(z) = \frac{g(z)}{(z-a)^n} pour tout z dans U\{a}.

L'entier n est appelé l'ordre du pôle. Un pôle d'ordre 1 est appelé pôle simple.

Voir aussi[modifier | modifier le code]