Pôle (mathématiques)

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Représentation de la fonction f : z 1 / (1 + z²) avec deux pôles d'ordre 1, en z = i et z = -i.

En analyse complexe, un pôle d'une fonction holomorphe est un certain type de singularité isolée qui se comporte comme la singularité en z = 0 de la fonction , où n est un entier naturel non nul.

Une fonction holomorphe n'ayant que des singularités isolées qui sont des pôles est appelée une fonction méromorphe.

Définition et propriétés[modifier | modifier le code]

Soient U un ouvert du plan complexe ℂ, a un élément de U et une fonction holomorphe. On dit que a est un pôle de f (ou que f admet un pôle en a) s'il existe une fonction g holomorphe sur un voisinage VU de a telle que et un entier n ≥ 1 tels que pour tout z dans V\{a} on ait

.

Une telle écriture est alors unique et l'entier n est appelé l'ordre du pôle. Un pôle d'ordre 1 est appelé parfois pôle simple.

Un pôle de f est un point en lequel |f| tend vers l'infini.

Le point a est un pôle de f si (et seulement si) au voisinage de a, f n'est pas bornée et 1/f est bornée.

Exemples et contre-exemples[modifier | modifier le code]

  • La fonction
a un pôle d'ordre 1 (ou pôle simple) en .
  • La fonction
a un pôle d'ordre 2 en et un pôle d'ordre 3 .
  • La fonction
a un pôle d'ordre 2 en , car est équivalent à au voisinage de (cela se montre par exemple en utilisant la série de Taylor de la fonction sinus à l'origine).
  • Contrairement aux apparences, la fonction
n'admet pas un pôle en , car en raison de l'équivalent évoqué à l'exemple précédent, est équivalent à 1 au voisinage de . En particulier, reste bornée au voisinage de l'origine, donc n'est pas un pôle de . On peut alors prolonger en une fonction holomorphe sur tout entier. On dit que est une singularité effaçable de .
  • La fonction
n'admet pas un pôle en . En effet et sont toutes les deux non bornées au voisinage de . On parle alors de singularité essentielle et non plus de pôle.

Voir aussi[modifier | modifier le code]