Pôle (mathématiques)

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Représentation de la fonction f=1/(1+z^2) avec deux pôles d'ordre 2, en z=i et z=-i.
Représentation de la fonction f(z)=1/(1+z^2) avec deux pôles d'ordre 1, en z=i et z=-i.

En analyse complexe, un pôle d'une fonction holomorphe est un certain type de singularité qui se comporte comme la singularité z = 0 de la fonction , où n est un entier naturel non nul.

Un pôle de la fonction f est un point a pour lequel f(z) tend vers l'infini lorsque z tend vers a.

Le point a est un pôle de si n'est pas bornée au voisinage de a mais que est bornée en a. Si et ne sont pas bornées au voisinage de a, on parlera non plus de pôle mais de point singulier essentiel de .

Définition[modifier | modifier le code]

Formellement, soient U un ouvert du plan complexe ℂ, a un élément de U et une fonction holomorphe. On dit que a est un pôle de f s'il existe une fonction holomorphe sur U et un entier naturel non nul n tels que :

pour tout z dans U\{a}.

Une telle écriture est alors unique et l'entier n est appelé l'ordre du pôle. Un pôle d'ordre 1 est appelé pôle simple.

Exemples[modifier | modifier le code]

  • La fonction
a un pôle d'ordre 1 ou pôle simple à .
  • La fonction
a un pôle d'ordre 2 à et un pôle d'ordre 3 à .
  • La fonction
a des pôles d'ordre 1 à La démonstration en est faite en développant en séries de Taylor à l'origine.

Voir aussi[modifier | modifier le code]