Formule du binôme négatif

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La formule du binôme négatif permet de développer une puissance entière strictement négative d'une somme de deux termes, et apparaît comme un cas particulier de la formule du binôme généralisée.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Pour tout entier naturel , on a :

est un coefficient binomial.

Cette égalité est vraie au sens des séries formelles ( étant une indéterminée), ou au sens des fonctions définies sur le disque unité ouvert du plan complexe ( étant un nombre complexe de module strictement inférieur à 1) ou de la boule unité ouverte de toute autre algèbre de Banach.

Elle peut aussi s'écrire :

ou encore :

,

soit, en posant et en utilisant les coefficients binomiaux généralisés aux nombres négatifs

 :
.

Démonstration[modifier | modifier le code]

La formule ci-dessus est le cas particulier de la formule du binôme généralisée, valide pour tout r réel et pour complexe z de module strictement inférieur à 1 :

mais on peut aussi, de même que la formule du binôme usuelle (le cas ), démontrer directement la formule du binôme négatif par récurrence[1].

Note[modifier | modifier le code]

  1. Voir par exemple cet exercice corrigé sur Wikiversité.

Articles connexes[modifier | modifier le code]