Test de convergence

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En mathématiques, les tests de convergence sont des méthodes de test de la convergence, de la convergence absolue ou de la divergence d'une série . Appliqués aux séries entières, ils donnent des moyens de déterminer leur rayon de convergence.

Liste de tests[modifier | modifier le code]

Limite des termes[modifier | modifier le code]

Pour que la série converge, il est nécessaire que . Par conséquent, si cette limite est indéfinie ou non nulle, alors la série diverge.

La condition n'est pas suffisante, et, si la limite des termes est nulle, on ne peut rien conclure.

Test de convergence absolue[modifier | modifier le code]

Toute série absolument convergente converge.

Test de comparaison directe[modifier | modifier le code]

Si la série est absolument convergente et pour n suffisamment grand, alors la série converge absolument.

Application aux suites équivalentes
Si et si , alors converge si et seulement si converge.

Règles de d'Alembert et de Cauchy[modifier | modifier le code]

Règle de d'Alembert[modifier | modifier le code]

Ce test est également connu comme le critère de d'Alembert.

Supposons qu'il existe tel que
Si r < 1, alors la série est absolument convergente. Si r > 1, alors la série diverge. Si r = 1, le test de ratio n'est pas concluant, et la série peut converger ou diverger.

Règle de Cauchy[modifier | modifier le code]

Ce test est également connu comme le test de la racine n-ième.

Soit 
,
où  désigne la limite supérieure (qui peut être ).
Si r < 1, alors la série converge. Si r > 1, alors la série diverge. Si r = 1, le test n'est pas concluant, et la série peut converger ou diverger.

Comparaison des deux règles[modifier | modifier le code]

La règle de Cauchy est plus forte que la règle de d'Alembert (car la condition requise est plus faible) : chaque fois que la règle de d'Alembert détermine la convergence ou la divergence d'une série infinie, la règle de Cauchy le fait aussi, mais la réciproque est fausse[1].

Par exemple, pour la série

,

la convergence peut se déduire de la règle de Cauchy, mais pas de celle de d'Alembert[2].

Comparaison série-intégrale[modifier | modifier le code]

La série peut être comparée à une intégrale pour établir sa convergence ou sa divergence. Soit  une fonction monotone.

La série converge si et seulement si l'intégrale impropre converge.

Test de Dirichlet[modifier | modifier le code]

Si :

  • est une suite réelle monotone de limite nulle et
  • est une suite de nombres complexes dont la suite des sommes partielles est bornée,

alors converge.

Ce théorème a deux corollaires importants :

Test des séries alternées[modifier | modifier le code]

Si :

  1. est de signe constant,
  2. ,
  3. la valeur absolue de chaque terme est inférieure à la valeur absolue du terme précédent,

alors  est convergente.

Ce test est également connu comme le critère de Leibniz.

Test d'Abel[modifier | modifier le code]

Si :

  1. est une suite monotone et bornée et
  2. est une série convergente,

alors est aussi convergente[3].

Test de Raabe-Duhamel[modifier | modifier le code]

Soit  une série de réels strictement positifs.

  • Si pour un certain (indépendant de ), alors converge.
  • Si , alors diverge.

Test de Bertrand[modifier | modifier le code]

Soit une série de réels strictement positifs.

  • Si pour un certain (indépendant de ), alors converge.
  • Si , alors diverge.

Test de condensation de Cauchy[modifier | modifier le code]

Soit une suite positive décroissante.

Soient . Alors, . En particulier :

converge si et seulement si converge.

Ce test s'applique par exemple à l'étude des séries de Riemann et des séries de Bertrand.

Convergence de produit[modifier | modifier le code]

Soit une suite de réels positifs. Alors le produit infini converge si et seulement si la série  converge. Similairement, si , alors la limite est non nulle si et seulement si la série  converge.

Cela peut être prouvé en prenant le logarithme du produit et en utilisant le test des suites équivalentes (voir supra)[4].

Article connexe[modifier | modifier le code]

Théorème de Stolz-Cesàro

Références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Convergence tests » (voir la liste des auteurs).