Formule de Viète

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Formule de Viète énoncée dans son Variorum de rebus mathematicis responsorum, liber VIII (1593)[1].

En mathématiques, la formule de Viète est le produit infini suivant des radicaux imbriqués représentant le nombre π :

.

Elle est nommée d'après François Viète, qui l'a publiée en 1593 dans son Variorum de rebus mathematicis responsorum, liber VIII[2].

Signification[modifier | modifier le code]

À l'époque où Viète publiait sa formule, des méthodes d'approximation de π étaient connues depuis longtemps. La méthode de Viète peut être interprétée comme une variation d'une idée d'Archimède d'approximation de la zone d'un cercle par celle d'un polygone à plusieurs faces, utilisé par Archimède pour trouver l'approximation

.

Cependant, en publiant sa méthode comme formule mathématique, Viète a formulé la première instance d'un produit infini connu en mathématiques[3],[4], et le premier exemple d'une formule explicite pour la valeur exacte de π[5],[6]. Comme la première formule représentant un nombre résultant d'un processus infini plutôt que d'un calcul fini, la formule de Viète a été notée comme le début de l'analyse mathématique[7], et plus largement comme « l'aube des mathématiques modernes »[8].

En utilisant sa formule, Viète a calculé π avec une précision de neuf chiffres après la virgule. Cependant, ce n'était pas l'approximation la plus précise de π connue à l'époque. En effet, le mathématicien persan Jamshīd al-Kāshī avait calculé π à une précision de neuf chiffres sexagesimaux, soit 16 chiffres décimaux, en 1424. Peu de temps après la publication de la formule par Viète, Ludolph van Ceulen a utilisé une méthode similaire pour calculer 35 décimales de π, qui n'ont été publiées qu'après la mort de van Ceulen en 1610.

Interprétation et convergence[modifier | modifier le code]

La formule de Viète peut être réécrite et comprise comme expression limite

où , avec [9]. Les concepts de limites et les preuves rigoureuses de convergence ont été développés en mathématiques bien après l'œuvre de Viète ; la première preuve que cette limite existe n'a été donnée qu'en 1891, par Ferdinand Rudio (en)[10].

Comparaison de la vitesse de convergence de plusieurs séries infinies historiques donnant π.

La vitesse de convergence d'une limite gère le nombre de termes de l'expression nécessaire pour atteindre un nombre donné de décimales. Dans le cas de la formule de Viète, il existe une relation linéaire entre le nombre de termes et le nombre de décimales : le produit des n premiers termes donne une expression de π qui précis à environ 0,6n décimales[11],[12].

Formules proches[modifier | modifier le code]

La formule de Viète peut être obtenue comme un cas spécial d'une formule donnée plus d'un siècle plus tard par Leonhard Euler. Euler a découvert que:

.

En posant x = π/2, Et exprimant chaque terme du produit en fonction de termes antérieurs en utilisant la formule

nous donne la formule de Viète.

Il est aussi possible de démontrer de la formule de Viète de π qui implique toujours des racines carrées imbriquées de deux, mais n'utilise qu'une seule multiplication[13] :

À l'heure actuelle, de nombreuses formules similaires à celles de Viète impliquant des radicaux imbriqués ou des produits infinis de fonctions trigonométriques sont connues pour π, ainsi que pour d'autres constantes telles que le nombre d'or[14],[15],[16],[17],[18],[19],[20].

Démonstration[modifier | modifier le code]

Une suite de polygones réguliers avec des nombres de côtés égaux à des puissances de 2, inscrits dans un cercle. Les rapports entre les aires ou les périmètres des polygones consécutifs dans la suite donnent les termes de la formule de Viète.

Viète a obtenu sa formule en comparant les aires des polygones réguliers avec 2n et 2n + 1 côtés inscrits dans un cercle. Le premier terme du produit, , est le rapport des aires d'un carré et d'un octogone, le deuxième terme est le rapport des aires d'un octogone et un hexadécagone, etc. Ainsi, le produit se télescope pour donner le rapport des aires d'un carré à un cercle. Les termes du produit peuvent aussi être interprétés comme des rapports de périmètres de la même suite de polygones, en commençant par le rapport des périmètres d'un digone (le diamètre du cercle, compté deux fois) et d'un carré, le rapport des périmètres d'un carré et d'un octogone, etc[21].

Une autre preuve est possible en utilisant les identités trigonométriques et la formule d'Euler. En appliquant à plusieurs reprises la formule de l'angle double

,

on peut démontrer par récurrence que pour tout entier positif ,

.

Le terme 2n sin x/2n tend vers  lorsque  tend vers l'infini, dont suit la formule d'Euler. La formule de Viète peut être obtenue à partir de cette formule par substitution x = π/2.

Références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Viète's formula » (voir la liste des auteurs).
  1. Seconde moitié de la p. 30 : aperçu sur Google Livres.
  2. (en) Petr Beckmann (en), A History of Pi (en), Boulder, CO, The Golem Press, , 2e éd. (ISBN 978-0-88029-418-8, Math Reviews 0449960, lire en ligne), p. 94-95.
  3. (en) Michael J. De Smith, Maths for the Mystified: An Exploration of the History of Mathematics and Its Relationship to Modern-day Science and Computing, Troubador Publishing Ltd, (ISBN 9781905237814, lire en ligne), p. 165.
  4. (en) Samuel G. Moreno et Esther M. García-Caballero, « On Viète-like formulas », J. Approx. Theory (en), vol. 174,‎ , p. 90-112 (DOI 10.1016/j.jat.2013.06.006).
  5. (en) Kent E. Morrison, « Cosine products, Fourier transforms, and random sums », Amer. Math. Month., vol. 102, no 8,‎ , p. 716-724 (DOI 10.2307/2974641).
  6. (en) Keith B. Oldham, Jan C. Myland et Jerome Spanier, An Atlas of Functions: with Equator, the Atlas Function Calculator, Springer, (ISBN 9780387488073, lire en ligne), p. 15.
  7. (en) Eli Maor, Trigonometric Delights, Princeton University Press, (ISBN 9781400842827), p. 50, 140.
  8. (en) Jonathan M. Borwein, From Alexandria, Through Baghdad: Surveys and Studies in the Ancient Greek and Medieval Islamic Mathematical Sciences in Honor of J.L. Berggren, Springer, (ISBN 9783642367359, lire en ligne), « The Life of Pi: From Archimedes to ENIAC and Beyond ».
  9. (en) Pierre Eymard et Jean-Pierre Lafon, The Number , AMS, (ISBN 9780821832462, lire en ligne), chap. 2.1 (« Viète's infinite product »), p. 44-46.
  10. (de) F. Rudio, « Über die Konvergenz einer von Vieta herrührenden eigentümlichen Produktentwicklung », Z. Math. Phys., vol. 36, Historisch-literarische Abtheilung,‎ , p. 139-140 (lire en ligne).
  11. (en) Rick Kreminski, « π to Thousands of Digits from Vieta's Formula », Mathematics Magazine, vol. 81, no 3,‎ , p. 201-207 (JSTOR 27643107).
  12. (en) T. J. Osler, « A simple geometric method of estimating the error in using Vieta's product for π », International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, vol. 38, no 1,‎ , p. 136-142 (DOI 10.1080/00207390601002799).
  13. (en) L. D. Servi, « Nested square roots of 2 », Amer. Math. Month., vol. 110, no 4,‎ , p. 326-330 (DOI 10.2307/3647881).
  14. (en) M. A. Nyblom, « Some closed-form evaluations of infinite products involving nested radicals », Rocky Mt. J. Math., vol. 42, no 2,‎ , p. 751-758 (DOI 10.1216/RMJ-2012-42-2-751).
  15. (en) Samuel G. Moreno et Esther M. García-Caballero, « On Viète-like formulas », J. Approx. Theory, vol. 174,‎ , p. 90-112 (DOI 10.1016/j.jat.2013.06.006).
  16. (en) Aaron Levin, « A geometric interpretation of an infinite product for the lemniscate constant », Amer. Math. Month., vol. 113, no 6,‎ , p. 510-520 (DOI 10.2307/27641976).
  17. (en) Aaron Levin, « A new class of infinite products generalizing Viète's product formula for π », Ramanujan Journal, vol. 10, no 3,‎ , p. 305-324 (DOI 10.1007/s11139-005-4852-z).
  18. (en) Thomas J. Osler, « Vieta-like products of nested radicals with Fibonacci and Lucas numbers », Fibonacci Q., vol. 45, no 3,‎ , p. 202-204.
  19. (en) Kenneth B. Stolarsky, « Mapping properties, growth, and uniqueness of Vieta (infinite cosine) products », Pac. J. Math., vol. 89, no 1,‎ , p. 209-227 (DOI 10.2140/pjm.1980.89.209, lire en ligne).
  20. (en) Edward J. Allen, « Continued radicals », Mathematical Gazette, vol. 69, no 450,‎ , p. 261-263 (JSTOR 3617569).
  21. (en) Hansklaus Rummler, « Squaring the circle with holes », Amer. Math. Month., vol. 100, no 9,‎ , p. 858-860 (DOI 10.2307/2324662).