Somme télescopique

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En analyse, l'expression somme télescopique désigne informellement une somme dont les termes s'annulent de proche en proche :

La formulation vient de l'image d'un télescope que l'on replie.

Lorsqu'on effectue cette simplification, on emploie en général la phrase « l'expression se simplifie par télescopage ».

Formule de télescopage et série télescopique[modifier | modifier le code]

Si est une suite numérique, la série télescopique correspondante est la série de terme général . La formule de télescopage s'écrit alors

La convergence de la série télescopique équivaut donc à la convergence de la suite , et

On peut voir cette formule comme une version discrète de la formule d'intégration : .

Exemples d'applications[modifier | modifier le code]

ou, plus formellement,

  • Les formules et s'obtiennent par télescopage après avoir écrit .
  • La relation remarquable peut s'obtenir par télescopage.

En effet, si , alors

On en déduit

  • Plus généralement, les sommes des premières puissances p-ièmes des entiers peuvent se calculer de proche en proche grâce à la formule de récurrence (Pascal 1655)  : , formule se démontrant par télescopage et à l'aide de la formule du binôme.
    En effet, par télescopage : .
    Et par la formule du binôme, d'où la formule annoncée.
  • La décomposition en éléments simples permet parfois une réécriture sous forme télescopique ; par exemple, puisque

on a (si ) :

  • Plus généralement, les expressions closes suivantes des sommes et pour  :
    peuvent s'obtenir en multipliant par , en linéarisant, puis en télescopant.
  • Il convient cependant, dans le cas des séries, de ne pas négliger les questions de convergence ; on pourrait sinon en déduire, par exemple, que

(mais les résultats ainsi obtenus ne sont pas toujours dénués de sens ; on pourra à ce sujet consulter l'article série divergente).

Application à la sommation par parties[modifier | modifier le code]

Énoncé et démonstration[modifier | modifier le code]

Si et sont des suites, la formule de sommation par parties s'écrit :

En effet, d'une part par télescopage,

et d'autre part :

Exemple d’application[modifier | modifier le code]

, dont on on tire :

Produit télescopique[modifier | modifier le code]

Formule[modifier | modifier le code]

La version multiplicative de la formule de télescopage s'écrit, pour une suite jamais nulle :

.

La convergence du produit infini télescopique équivaut donc à la convergence de la suite vers une limite , et

Exemples[modifier | modifier le code]

  • En remarquant que , on a :
    (généralisation de la loi de Morrie), ce qui équivaut à et donne  ;
  • , d'où  ;
  • , d'où .

Références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Telescoping series » (voir la liste des auteurs).

(en) Eric W. Weisstein, « Telescoping Sum », sur MathWorld