Série télescopique

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En analyse, l'expression série télescopique (ou somme télescopique) désigne informellement une somme dont les termes s'annulent de proche en proche. Cette situation est aussi appelée « méthode des différences ». Au lieu de l'expression « série télescopique » elle-même, on emploie parfois la phrase « l'expression se simplifie par télescopage ».

Si (a_n) est une suite, la série télescopique correspondante est la série de terme général a_{n+1}-a_n. La convergence de la série télescopique équivaut à la convergence de la suite (a_n) :

\sum_{k=0}^{n-1}\left(a_{k+1}-a_k\right)=a_n-a_0.

Exemples[modifier | modifier le code]

  • L'exemple le plus connu est peut-être la formule des séries géométriques : on a
\begin{align}
(1-x)\sum_{k=0}^nx^k&=(1-x)(1+x+x^2+\cdots+x^n)\\
&=(1-x)+(x-x^2)+(x^2-x^3)+\dotsb+(x^n-x^{n+1})\\
&=1-x^{n+1}
\end{align}
ou, plus formellement,(1-x)\sum_{k=0}^nx^k=\sum_{k=0}^n(x^k-x^{k+1})= 1-x^{n+1}.
  • La décomposition en éléments simples permet souvent une réécriture de cette forme ; ainsi, puisque
\frac1{x(x+1)}=\frac1x-\frac1{x+1},
on aura :
\begin{align}
\sum_{n=1}^\infty\frac1{n(n+1)}&=\sum_{n=1}^\infty\left(\frac1n-\frac1{n+1}\right)\\
&=\left(1-\frac12\right)+\left(\frac12-\frac13\right)+\cdots\\
&=1+\left(-\frac12+\frac12\right)+\left(-\frac13+\frac13\right)+\cdots=1.
\end{align}
  • De nombreuses séries trigonométriques admettent une représentation comme différence permettant un télescopage :
\begin{align}
\sum_{n=1}^N \sin\left(n\right)&=\sum_{n=1}^N\frac12\csc\left(\frac12\right)\left(2\sin\left(\frac12\right)\sin\left(n\right)\right)\\
&=\frac12\csc\left(\frac12\right)\sum_{n=1}^N\left(\cos\left(\frac{2n-1}2\right)-\cos\left(\frac{2n+1}2\right)\right)\\
&=\frac12\csc\left(\frac12\right)\left(\cos\left(\frac12\right)-\cos\left(\frac{2N+1}2\right)\right).
\end{align}
  • Il convient cependant, dans le cas des séries, de ne pas négliger les questions de convergence ; on pourrait sinon en déduire, par exemple, que
\begin{align}
1+1+1+\cdots&=(2-1)+(3-2)+(4-3)+\cdots\\
&=-1+(2-2)+(3-3)+\cdots\\
&=-1
\end{align}
(mais les résultats ainsi obtenus ne sont pas toujours dénués de sens ; on pourra à ce sujet consulter l'article série divergente).


(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Telescoping series » (voir la liste des auteurs).