Produit de Wallis

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En mathématiques, le produit de Wallis est une expression de la moitié de la constante π sous la forme d'un produit infini, énoncée en 1655 par John Wallis, dans son ouvrage Arithmetica infinitorum.

Expression[modifier | modifier le code]

Ce produit peut s'écrire sous la forme :

\frac{\pi}2=\frac21\times\frac23\times\frac43\times\frac45\times\frac65\times\frac67\times\frac87\times\frac89\cdots\frac{2n}{2n-1}\times\frac{2n}{2n+1}\cdots

soit, de façon plus condensée :

\frac{\pi}2=\prod_{n=1}^{\infty}\frac{(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)}=\prod_{n=1}^{\infty}\frac{4n^2}{4n^2-1}=\prod_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac1{4n^2-1}\right)

ou encore :

\frac{\pi}2=2\prod_{k=1}^{\infty}\frac{(2k)(2k+2)}{(2k+1)(2k+1)}=2\prod_{k=1}^{\infty}\frac{(2k+1)^2-1}{(2k+1)^2}=2\prod_{k=1}^\infty \left(1-\frac1{(2k+1)^2}\right).

Démonstration[modifier | modifier le code]

L'égalité est une conséquence directe de la formule d'Euler-Wallis pour la fonction sinus (qui est un exemple de factorisation de Weierstrass[1]) :


\frac{\sin(x)}x=\prod_{n=1}^\infty\left(1-\frac{x^2}{n^2\pi^2}\right)

appliquée à x = π/2 :


\frac2{\pi}=\prod_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac1{4n^2}\right)=\prod_{n=1}^{\infty}\frac{4n^2-1}{4n^2}\quad{\rm donc}\quad\frac{\pi}2=\prod_{n=1}^{\infty}\frac{4n^2}{4n^2-1}.

Vitesse de convergence[modifier | modifier le code]

La vitesse de convergence, lorsque N tend vers l'infini, de la suite des produits finis

P_N=\prod_{n=1}^N\frac{4n^2}{4n^2-1}

est assez lente, l'écart avec π/2 étant un O(1/N). Cette suite n'est donc pas utilisée numériquement pour calculer des valeurs approchées de π. La précision peut cependant être améliorée en multipliant PN par un développement limité dont les premiers termes sont[2] :

1+\frac1{4N}-\frac3{32N^2}+\frac3{128N^3}+o\left(\frac1{N^3}\right).

Ainsi, pour N = 10, on obtient :

P_N\simeq1{{,}}533851903
\left(1+\frac1{4N}\right)P_N\simeq1{{,}}572198201
\left(1+\frac1{4N}-\frac3{32N^2}\right)P_N\simeq1{{,}}570760215
\left(1+\frac1{4N}-\frac3{32N^2}+\frac3{128N^3}\right)P_N\simeq1{{,}}570796164

alors que

\frac{\pi}2\simeq1{{,}}570796327.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Weierstrass factorization theorem, de PlanetMath.
  2. (en) Cristinel Mortici, « Product Approximations via Asymptotic Integration », Amer. Math. Monthly, vol. 117, no 5,‎ mai 2010, p. 434-442.