Polynôme de Laguerre

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En mathématiques, les polynômes de Laguerre, nommés d'après Edmond Laguerre, sont les solutions normalisées de l'équation de Laguerre :

qui est une équation différentielle linéaire homogène d'ordre 2 et se réécrit sous la forme de Sturm-Liouville :

Cette équation a des solutions non singulières seulement si n est un entier positif. Les solutions Ln forment une suite de polynômes orthogonaux dans L2(ℝ+, exdx), et la normalisation se fait leur en imposant d'être de norme 1, donc de former une famille orthonormale. Ils forment même une base hilbertienne de L2(ℝ+, exdx).

Cette suite de polynômes peut être définie par la formule de Rodrigues

La suite des polynômes de Laguerre est une suite de Sheffer.

Les polynômes de Laguerre apparaissent en mécanique quantique dans la partie radiale de la solution de l'équation de Schrödinger pour un atome à un électron[1].

Le coefficient dominant de Ln est (–1)n/n!. Les physiciens utilisent souvent une définition des polynômes de Laguerre où ceux-ci sont multipliés par (–1)nn!, obtenant ainsi des polynômes unitaires.

Les premiers polynômes[modifier | modifier le code]

Voici les premiers polynômes de Laguerre :

n
0
1
2
3
4
5
6
Les six premiers polynômes de Laguerre

Propriétés[modifier | modifier le code]

La fonction génératrice pour les polynômes de Laguerre est

.

Le n-ième polynôme de Laguerre satisfait l'équation différentielle suivante :

On a aussi la suite récurrente suivante :

Les polynômes satisfont la propriété

Expression par une intégrale de contour[modifier | modifier le code]

Les polynômes peuvent être exprimés en termes d'une intégrale de contour

où le contour entoure l'origine une fois dans le sens trigonométrique.

Polynômes de Laguerre généralisés[modifier | modifier le code]

La propriété d'orthogonalité évoquée plus haut revient à dire que si X est une variable aléatoire distribuée exponentiellement avec la fonction densité de probabilité

alors

La distribution exponentielle n'est pas la seule distribution Gamma. Une suite de polynômes orthogonaux par rapport à la distribution gamma dont la fonction densité de probabilité est, pour ,

(cf.fonction gamma) est donnée par la formule de Rodrigues pour les polynômes de Laguerre généralisés:

Ils sont parfois appelés les polynômes de Laguerre associés. On retrouve les polynômes de Laguerre simples en prenant α = 0 :

Les polynômes de Laguerre généralisés sont orthogonaux sur par rapport à la fonction de poids  :

Les polynômes de Laguerre généralisés obéissent à l'équation différentielle

Exemples de polynômes de Laguerre généralisés[modifier | modifier le code]

Les premiers polynômes de Laguerre généralisés sont

Dérivées des polynômes de Laguerre généralisés[modifier | modifier le code]

Le calcul de la dérivée d'ordre k de la représentation en série d'un polynôme de Laguerre généralisé fois conduit à

Relation aux polynômes d'Hermite[modifier | modifier le code]

Les polynômes de Laguerre généralisés apparaissent dans le traitement de l'oscillateur harmonique quantique, à cause de leur relation aux polynômes d'Hermite, qui peuvent être exprimés par

et

où les sont les polynômes d'Hermite.

Relation aux fonctions hypergéométriques[modifier | modifier le code]

Les polynômes de Laguerre peuvent être reliés aux fonctions hypergéométriques, plus précisément à la fonction hypergéométrique confluente, par

est le symbole de Pochhammer (qui, dans ce cas particulier, est utilisé pour représenter la factorielle croissante ).

Note et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) The Legendre and Laguerre Polynomials & the Elementary Quantum Mechanical Model of the Hydrogen Atom, par Timothy Jones