Polynôme d'Hermite

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En mathématiques, les polynômes d'Hermite sont une suite de polynômes qui a été nommée ainsi en l'honneur de Charles Hermite (bien qu'ils aient été surtout étudiés par Joseph-Louis Lagrange lors de ses travaux sur les probabilités). Ils sont parfois décrits comme des polynômes osculateurs.

Ils sont définis comme suit :

(forme dite probabiliste)
(forme dite physique)

Les deux définitions sont liées par la propriété d'échelle suivante: .

Polynômes d'Hermite

Les premiers polynômes d'Hermite sont les suivants :

On peut démontrer que dans Hp les coefficients d'ordre ayant la même parité que p-1 sont nuls et que les coefficients d'ordre p et p-2 valent respectivement 1 et -p(p-1)/2.

Orthogonalité[modifier | modifier le code]

Le polynôme Hp est un polynôme de degré p. Ces polynômes sont orthogonaux pour la mesure μ de densité

c'est-à-dire qu'ils vérifient :

est le symbole de Kronecker. On a de même pour la forme physique :


Ces fonctions forment donc une base orthogonale de l'espace de Hilbert des fonctions boréliennes telles que

dans lequel le produit scalaire est donné par l'intégrale

Des propriétés analogues sont vérifiables pour les polynômes d'Hermite sous leur forme physique.

Diverses propriétés[modifier | modifier le code]

Le n-ième polynôme d'Hermite satisfait l'équation différentielle suivante (dans ses deux versions probabiliste ou physique):

Les polynômes satisfont la propriété

que l'on peut écrire ainsi

Ils vérifient donc la relation de récurrence suivante :

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]