Équation différentielle homogène

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Sauter à la navigation Sauter à la recherche

L'expression équation différentielle homogène a deux significations totalement distinctes et indépendantes.

Équation différentielle du premier ordre, homogène de degré n[modifier | modifier le code]

Une équation différentielle du premier ordre mais non nécessairement linéaire est dite homogène de degré n si elle peut s'écrire sous la forme

F est une fonction homogène de degré n, c'est-à-dire vérifiant

.

Autrement dit (en posant h(u)=F(1,u)), c'est une équation qui s'écrit

.

Le cas n = 0[modifier | modifier le code]

Le cas le plus étudié est celui où le degré d'homogénéité est 0, à tel point que dans ce cas on ne mentionne même pas le degré. La résolution d'une telle équation se fait par séparation des variables : grâce à la substitution , l'équation homogène

.

se transforme en une équation à variables séparées :

.

Équation différentielle linéaire homogène[modifier | modifier le code]

Une équation différentielle linéaire d'ordre quelconque est dite homogène si son second membre est nul, c'est-à-dire si elle est de la forme

où l'opérateur différentiel L est une application linéaire et y est la fonction inconnue.

Exemples[modifier | modifier le code]

est une équation différentielle linéaire homogène du second ordre à coefficients constants.

constantes supposées connues

est une équation différentielle linéaire homogène du premier ordre à coefficients variables

fonctions supposées connues