Oscillateur harmonique quantique

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Un oscillateur est un système périodique dans le temps. Il est dit harmonique si les oscillations effectuées sont sinusoïdales, avec une amplitude et une fréquence qui ne dépendent que des caractéristiques intrinsèques du système et des conditions initiales. Cela est le cas en mécanique pour une particule évoluant à une dimension dans un potentiel quadratique, de forme générale V(r)=\dfrac{1}{2}kx^2, k étant une constante positive. Cette forme de potentiel est obtenue notamment dans le cas d'oscillations de faible amplitude autour d'une position d'équilibre stable dans un potentiel quelconque (cf. article sur l'oscillateur harmonique classique), car au voisinage de cette position d'équilibre le potentiel prend cette forme. Pour cette raison, le concept d'oscillateur harmonique joue un rôle majeur dans de nombreuses applications de la physique.

La mécanique quantique a révolutionné un grand nombre de concepts fondamentaux. L'oscillateur harmonique a aussi subi une reformulation dans ce cadre quantique, ce qui a permis d'élucider plusieurs résultats expérimentaux, notamment en physique de la matière condensée. Son étude amène à introduire des outils mathématiques d'un intérêt considérable en physique, notamment en théorie des champs: les opérateurs de création et d'annihilation de quanta.

L'oscillateur harmonique classique à une dimension[modifier | modifier le code]

Article détaillé : oscillateur harmonique.

Définition - Importance physique[modifier | modifier le code]

Un oscillateur harmonique classique à une dimension est modélisé par un potentiel quadratique, typiquement (m étant la masse du système) :

Comparaison pour une molécule diatomique entre la courbe de potentiel "réelle", représentée par le potentiel de Morse et celle d'un oscillateur harmonique. Le caractère non-harmonique du potentiel réel conduit à un resserrement des niveaux d'énergie, qui sont également espacés pour un oscillateur harmonique "pur", cf. plus bas dans l'article.

V(x) = \frac{1}{2}m\omega^2 x^2, où \omega est une grandeur homogène à une fréquence (angulaire) appelée pulsation propre de l'oscillateur. De façon générale celle-ci est liée à la "force" ou "raideur" du potentiel[1].

Le hamiltonien classique d'un oscillateur harmonique unidimensionnel est donc H = \frac{p_{x}^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2 x^2.

L'oscillateur harmonique a un intérêt considérable en physique, car tout système évoluant dans un potentiel au voisinage d'une position d'équilibre stable, donc un minimum de potentiel, peut être modélisé par un oscillateur harmonique pour les petites oscillations au voisinage de cette position d'équilibre.

En effet, dans le cas d'un potentiel quelconque unidimensionnel V\left( x \right), avec un minimum en x = x_0, il vient au voisinage de celui-ci:

V\left(x\right) \approx V(x_0)+\frac{1}{2}\left(\frac{d^2 V}{dx^2}\right)_{x_0}\left(x-x_0\right)^2, avec nécessairement pour un minimum \left(\frac{d^2 V}{dx^2}\right)_{x_0} > 0,

ce qui correspond bien à un oscillateur harmonique tel que m\omega^2 \equiv \left(\frac{d^2 V}{dx^2}\right)_{x_0}, l'expression précédente du potentiel correspondant au choix de x_0 et V\left(x_0\right) comme origines respectivement des coordonnées et des énergies.

L'approximation "harmonique" est valable au voisinage de la position d'équilibre stable du système: la figure ci-contre illustre la modélisation par un oscillateur harmonique de la courbe d'énergie potentielle d'une molécule diatomique.

Équations classiques du mouvement[modifier | modifier le code]

Pour la discussion de états quasi-classique, il est utile de rappeler des éléments sur la nature du mouvement classique.

Les équations du mouvement de Hamilton pour le hamiltonien classique précédent s'écrivent sans difficultés sous la forme:

\begin{cases} \displaystyle{\frac{dx}{dt}} = \frac{p_x}{m}, \\ \\ \displaystyle{\frac{dp_x}{dt}} = -m\omega^2 x \end{cases}.

Il est possible de donner une forme plus symétrique à ces équations en mettant le hamiltonien précédent sous une forme "réduite", en introduisant de nouvelles variables canoniques:

P_x \equiv \frac{p_x}{\sqrt{m\omega}} et X \equiv \sqrt{m\omega}x,

ce qui permet de mettre le hamiltonien sous la forme:

H = \frac{\omega}{2}\left(\frac{p_{x}^2}{m\omega}+m\omega x^2\right)=\frac{\omega}{2}\left(P_{x}^2+X^2\right).

Comme \{ X,P_X \} =1 la transformation \left(x,p_x\right)\rightarrow \left(X,P_X\right) est canonique, et donc laisse inchangée la forme des équations de Hamilton. Les équations du mouvement précédentes deviennent alors:

\begin{cases} \displaystyle{\frac{d X}{dt}}=\omega P_x \\ \\ \displaystyle{\frac{dP_x}{dt}} = - \omega X \end{cases}.

L'introduction de la grandeur complexe \alpha \equiv \frac{X+iP_x}{\sqrt{2}}, permet de regrouper ces deux équations en une équation unidimensionnelle:

\frac{d\alpha}{dt}= - i\omega \alpha,

dont la solution générale est de la forme \alpha(t)=\alpha_0 e^{-i\omega t}, avec \alpha_0=\alpha(t=0). Par suite une particule de masse m dans ce potentiel a un mouvement sinusoïdal de pulsation \omega. L'énergie de la particule est une constante du mouvement positive ou nulle H=\frac{1}{2}m\left(\dot{x}^2+\omega^2 x^2\right), dont la valeur dépend des conditions initiales de façon continue, sans restriction.

Le hamiltonien "réduit" précédent s'écrit en fonction de \alpha sous la forme  H = \omega \alpha^* \alpha.


L'oscillateur harmonique quantique à une dimension[modifier | modifier le code]

Position du problème[modifier | modifier le code]

En mécanique quantique le hamiltonien d'un oscillateur harmonique unidimensionnel s'écrit sous la forme:

\widehat{\textbf{\textit{H}}}=\frac{\widehat{\textbf{\textit{p}}}_{x}^2}{2m} + \frac{1}{2}m \omega^2 \widehat{\textbf{\textit{x}}}^2

\widehat{\textbf{\textit{p}}}_{x} est la composante sur l'axe x de l'opérateur impulsion de la particule.

Il faut alors résoudre l'équation de Schrödinger indépendante du temps associée à cet hamiltonien :

\widehat{\textbf{\textit{H}}}\left | \psi \right \rangle = E\left | \psi \right \rangleE est l'énergie associée à un état propre \left | \psi \right \rangle du système[2]

Il est alors possible d'écrire cette équation en représentation position, compte tenu de \widehat{\textbf{\textit{x}}}=x\widehat{\textbf{1}} et \widehat{\textbf{\textit{p}}}=\frac{\hbar}{i}\frac{d}{dx}, ce qui donne l'équation différentielle suivante pour la fonction d'onde \psi(x)=\left\langle x|\psi\right\rangle:

\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2}+\left(E-\frac{m\omega^2}{2}x^2\right)\psi(x)=0.

La résolution mathématique de cette équation ne présente pas de difficultés majeures, bien qu'elle conduise à des calculs assez complexes. Toutefois une telle méthode est surtout peu explicite physiquement, aussi est-il préférable d'employer une autre approche, très féconde, développée par Paul Dirac, qui non seulement permet d'obtenir les valeurs propres du hamiltonien sans résoudre explicitement l'équation différentielle précédente, mais qui peut être généralisée à d'autres situations (cf. quantification du champ électromagnétique classique, ou étude des vibrations dans un cristal, par exemple).

Propriétés générales des états propres[modifier | modifier le code]

Avant toute résolution, il est possible de déduire certaines propriétés importantes des valeurs et états propres du hamiltonien quantique précédent.

  • Les valeurs propres E de \widehat{\textbf{\textit{H}}} sont toujours positives ou nulles: en effet pour un état \left|\psi\right\rangle> quelconque, il est évident que \|\widehat{\textbf{\textit{x}}}\left|\psi\right\rangle\|^2\geqslant 0 or \|\widehat{\textbf{\textit{x}}}\left|\psi\right\rangle\|^2= \left\langle\psi\right|\widehat{\textbf{\textit{x}}}^{\dagger}\widehat{\textbf{\textit{x}}}\left|\psi\right\rangle=\left\langle\psi\right|\widehat{\textbf{\textit{x}}}^2\left|\psi\right\rangle=\left\langle\widehat{\textbf{\textit{x}}}^2\right\rangle \geqslant 0.
De façon évidente, il en est de même pour le terme en \widehat{\textbf{\textit{p}}}_{x}^2, donc pour tout état \left|\psi\right\rangle, \left\langle\psi\right|\widehat{\textbf{\textit{H}}}\left|\psi\right\rangle \geqslant0.
  • L'énergie de l'état fondamental est nécessairement non nulle : d'après ce qui précède il est possible d'introduire les variances des valeurs moyennes de \widehat{\textbf{\textit{x}}} et de \widehat{\textbf{\textit{p}}}_{x},soit \left(\Delta x\right)^2=\left\langle\widehat{\textbf{\textit{x}}}^2\right\rangle - \left\langle\widehat{\textbf{\textit{x}}}\right\rangle^2 et \left(\Delta p_x\right)^2=\left\langle\widehat{\textbf{\textit{p}}}_{x}^2\right\rangle - \left\langle\widehat{\textbf{\textit{p}}}_{x}\right\rangle^2. Par suite en choisissant un état "d'essai" \left|\psi\right\rangle tel que \left\langle\widehat{\textbf{\textit{x}}}\right\rangle=0=\left\langle\widehat{\textbf{\textit{p}}}_{x}\right\rangle, la valeur moyenne de \widehat{\textbf{\textit{H}}} s'exprime sous la forme:
    \left\langle\widehat{\textbf{\textit{H}}}\right\rangle=\frac{1}{2m}\left\langle\widehat{\textbf{\textit{p}}}_{x}^2\right\rangle+\frac{m\omega^2}{2}\left\langle\widehat{\textbf{\textit{x}}}^2\right\rangle.
La relation d'incertitude \Delta x\Delta p_x \geqslant \frac{\hbar}{2} implique alors qu'au mieux \left\langle\widehat{\textbf{\textit{p}}}_{x}^2\right\rangle = \frac{\hbar^2}{4\left\langle\widehat{\textbf{\textit{x}}}^2\right\rangle}, la valeur moyenne du hamiltonien pour un état quelconque est donc a minima telle que: \left\langle\widehat{\textbf{\textit{H}}}\right\rangle \geqslant \frac{\hbar^2}{8m\left\langle\widehat{\textbf{\textit{x}}}^2\right\rangle}+\frac{m\omega^2\left\langle\widehat{\textbf{\textit{x}}}^2\right\rangle}{2}.
Cette valeur peut être minimisée par rapport à u\equiv\left\langle\widehat{\textbf{\textit{x}}}^2\right\rangle, considéré comme variable[3] , ce qui implique \frac{\partial\left\langle\widehat{\textbf{\textit{H}}}\right\rangle}{\partial u}=0=-\frac{\hbar^2}{8m\left\langle\widehat{\textbf{\textit{x}}}^2\right\rangle^2}+\frac{m\omega^2}{2} soit au final \left\langle\widehat{\textbf{\textit{x}}}^2\right\rangle=\frac{\hbar}{2m\omega} pour la valeur de \left\langle\widehat{\textbf{\textit{x}}}^2\right\rangle minimisant \left\langle\widehat{\textbf{\textit{H}}}\right\rangle.
Il vient par substitution dans l'expression précédente: \left\langle\widehat{\textbf{\textit{H}}}\right\rangle\geqslant\frac{\hbar\omega}{2} [4]
Par suite l'état fondamental de l'oscillateur harmonique quantique à une énergie non nulle (énergie de "point zéro"), contrairement au cas classique, et ceci résulte directement de la relation d'incertitude quantique entre \widehat{\textbf{\textit{x}}} et \widehat{\textbf{\textit{p}}}_{x}.
  • Le confinement de la particule dans ce potentiel indique que le spectre de ces énergies sera discret.
  • Le système ne fait apparaître qu'un seul degré de liberté, il n'y aura donc un seul nombre quantique.

Introduction d'opérateurs sans dimension[modifier | modifier le code]

Comme dans le cas classique il est utile d'introduire un hamiltonien sans dimension, dit réduit. Ceci est aisé dans la mesure où il est aisé d'introduire une "échelle" d'énergie pour le système en utilisant la quantité \hbar\omega, par suite (\hbar est la constante de Planck réduite): \widehat{\textbf{\textit{H}}}=\frac{\widehat{\textbf{\textit{p}}}_{x}^2}{2m} + \frac{1}{2}m \omega^2 \widehat{\textbf{\textit{x}}}^2=\hbar\omega\left[\frac{\widehat{\textbf{\textit{p}}}_{x}^2}{2m\hbar\omega} + \frac{m\omega\widehat{\textbf{\textit{x}}}^2}{2\hbar}\right]= \frac{\hbar\omega}{2}\left[\left(\frac{\widehat{\textbf{\textit{p}}}_{x}}{\sqrt{m\hbar\omega}}\right)^2+\left(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}\widehat{\textbf{\textit{x}}}\right)^2\right],

Il est facile de simplifier l'écriture de \widehat{\textbf{\textit{H}}}, en utilisant les opérateurs sans dimension (mais hermitiens) suivants :

\widehat{\textbf{\textit{P}}}=\frac{\widehat{\textbf{\textit{p}}}_{x}}{\sqrt{m\hbar\omega}}, et \widehat{\textbf{\textit{X}}}=\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}} \widehat{\textbf{\textit{x}}}.

Compte tenu de la relation de commutation \left[\widehat{\textbf{\textit{x}}},\widehat{\textbf{\textit{p}}}\right]=i\hbar,la relation de commutation entre ces nouveaux opérateurs s'écrit:

\left[ \widehat{\textbf{\textit{X}}},\widehat{\textbf{\textit{P}}} \right] = i\widehat{\textbf{1}}.

En termes de ces opérateurs "réduits" le hamiltonien de l'oscillateur harmonique unidimmensionnel s'écrit sous la forme: \widehat{\textbf{\textit{H}}}=\frac{\hbar\omega}{2}\left(\widehat{\textbf{\textit{X}}}^2+\widehat{\textbf{\textit{P}}}^2 \right).

Remarques:

  • La quantité \sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}} a la dimension d'une longueur.
  • Les opérateurs "réduits" d'énergie, de position et d'impulsion quantiques ont des expressions qui rappellent celles utilisées dans le cas classique, sauf pour l'utilisation de la quantité \hbar.

Opérateurs d'échelle[modifier | modifier le code]

En utilisant la relation de commutation entre les opérateurs "réduits" de position et d'impulsion il est facile de vérifier l'identité suivante:

\left(\widehat{\textbf{\textit{X}}}-i\widehat{\textbf{\textit{P}}}\right)\left(\widehat{\textbf{\textit{X}}}+i\widehat{\textbf{\textit{P}}}\right)=\widehat{\textbf{\textit{X}}}^2+\widehat{\textbf{\textit{P}}}^2+i\left(\widehat{\textbf{\textit{X}}}\widehat{\textbf{\textit{P}}}-\widehat{\textbf{\textit{P}}}\widehat{\textbf{\textit{X}}}\right) = 2\widehat{\boldsymbol{\mathcal{H}}}-\widehat{\textbf{1}}.


Ceci suggère l'introduction des opérateurs non-hermitiques, appelés "opérateurs d'échelle", adjoints l'un de l'autre:

\begin{cases}
\widehat{\textbf{\textit{a}}}=\frac{\left( \widehat{\textbf{\textit{X}}}+i\widehat{\textbf{\textit{P}}} \right)}{\sqrt{2}}  \\ \\
\widehat{\textbf{\textit{a}}}^{\dagger}=\frac{ \left( \widehat{\textbf{\textit{X}}}-i\widehat{\textbf{\textit{P}}}\right)}{\sqrt{2}}
\end{cases}

Ces opérateurs sont dits respectivement d’annihilation et de création de quantum d'énergie, pour des raisons qui apparaîtront plus bas. Il est facile de déterminer le commutateur entre ces deux opérateurs : \left[ \widehat{\textbf{\textit{a}}},\widehat{\textbf{\textit{a}}}^{\dagger} \right]=\widehat{\textbf{1}}\qquad\text{, }.

De même, les opérateurs \widehat{\textbf{\textit{X}}} et \widehat{\textbf{\textit{P}}} s'expriment sous la forme: \begin{cases}
\widehat{\textbf{\textit{X}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\widehat{\textbf{\textit{a}}}^\dagger+\widehat{\textbf{\textit{a}}} \right)  \\
\widehat{\textbf{\textit{P}}}=i\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\widehat{\textbf{\textit{a}}}^{\dagger}-\widehat{\textbf{\textit{a}}}\right)
\end{cases}

Le hamiltonien du système peut alors s'écrire sous la forme:

\widehat{\textbf{\textit{H}}}=\hbar\omega\left(\widehat{\textbf{\textit{a}}}^{\dagger}\widehat{\textbf{\textit{a}}}+\frac{1}{2}\widehat{\textbf{1}}\right)=\hbar\omega\left(\widehat{\textbf{\textit{N}}}+\frac{1}{2}\widehat{\textbf{1}}\right),

où il a été introduit l'opérateur:

\widehat{\textbf{\textit{N}}} \equiv\widehat{\textbf{\textit{a}}}^{\dagger}\widehat{\textbf{\textit{a}}}, appelé parfois "opérateur nombre de quanta de vibration".

Par suite, la détermination des valeurs propres du hamiltonien se ramène à celles de l'opérateur sans dimensions \widehat{\textbf{\textit{N}}}, qui est évidemment hermitien puisque \widehat{\textbf{\textit{N}}}^{\dagger}=\left(\widehat{\textbf{\textit{a}}}^{\dagger}\widehat{\textbf{\textit{a}}}\right)^{\dagger}=\widehat{\textbf{\textit{a}}}^{\dagger}\left(\widehat{\textbf{\textit{a}}}^{\dagger}\right)^{\dagger}=\widehat{\textbf{\textit{N}}}. Par suite, ses valeurs propres sont réelles.

Remarques:

  • l'opérateur d'échelle \widehat{\textbf{\textit{a}}} peut être considéré comme le "pendant quantique" de la quantité complexe \alpha définie dans le cas classique, partie 1.
  • il est intéressant alors de comparer l'expression du hamiltonien classique "réduit" avec celle obtenu dans le cas quantique. En dehors du facteur \hbar, la principale différence vient de l'apparition du terme supplémentaire en 1/2 dans le cas quantique, lié au caractère non commutatif des opérateurs d'échelle (en fait, de \widehat{\textbf{\textit{x}}} et \widehat{\textbf{\textit{p}}}_x), qui donnera lieu à l'apparition de l'énergie dite de "point zéro".

Calcul des valeurs propres[modifier | modifier le code]

Les états propres commun de \widehat{\textbf{\textit{N}}} et \widehat{\textbf{\textit{H}}} sont notés \left|\nu\right\rangle, avec pour valeurs propres: \widehat{\textbf{\textit{N}}}\left|\nu\right\rangle=\nu\left|\nu\right\rangle, la valeur propre ν étant a priori un réel. Les valeurs propres de \widehat{\textbf{\textit{H}}} sont alors de la forme:  E_{\nu}=\hbar\omega\left(\nu+\frac{1}{2}\right). Dans la mesure où cela ne change pas les résultats pour les valeurs propres il n'est pas nécessaire dans un premier temps de prendre en compte une éventuelle dégénérescence de ces états propres.

Relations de commutation utiles[modifier | modifier le code]

À partir de la relation de commutation précédentes entre les opérateurs d'échelle, il vient facilement:

  • \left[\widehat{\textbf{\textit{N}}},\widehat{\textbf{\textit{a}}}\right]=\widehat{\textbf{\textit{N}}}\widehat{\textbf{\textit{a}}}-\widehat{\textbf{\textit{a}}}\widehat{\textbf{\textit{N}}}=\widehat{\textbf{\textit{a}}}^{\dagger}\widehat{\textbf{\textit{a}}}\widehat{\textbf{\textit{a}}}-\widehat{\textbf{\textit{a}}}\widehat{\textbf{\textit{a}}}^{\dagger}\widehat{\textbf{\textit{a}}}=-\left[\widehat{\textbf{\textit{a}}},\widehat{\textbf{\textit{a}}}^{\dagger}\right]\widehat{\textbf{\textit{a}}}=-\widehat{\textbf{\textit{a}}}
  • \left[\widehat{\textbf{\textit{N}}},\widehat{\textbf{\textit{a}}}^{\dagger}\right]=\widehat{\textbf{\textit{N}}}\widehat{\textbf{\textit{a}}}^{\dagger}-\widehat{\textbf{\textit{a}}}^{\dagger}\widehat{\textbf{\textit{N}}}=\widehat{\textbf{\textit{a}}}^{\dagger}\widehat{\textbf{\textit{a}}}^{\dagger}\widehat{\textbf{\textit{a}}}-\widehat{\textbf{\textit{a}}}^{\dagger}\widehat{\textbf{\textit{a}}}\widehat{\textbf{\textit{a}}}^{\dagger}=\widehat{\textbf{\textit{a}}}^{\dagger}\left[\widehat{\textbf{\textit{a}}},\widehat{\textbf{\textit{a}}}^{\dagger}\right]=\widehat{\textbf{\textit{a}}}^{\dagger}

Ces diverses relations rendent possible la détermination des valeurs propres de \widehat{\textbf{\textit{N}}}.

Action des opérateurs d'échelle sur les états propres \left|n\right\rangle[modifier | modifier le code]

En utilisant les notations et relations précédentes, il vient facilement:

\left[\widehat{\textbf{\textit{N}}},\widehat{\textbf{\textit{a}}}\right]\left|\nu\right\rangle=\widehat{\textbf{\textit{N}}}\left(\widehat{\textbf{\textit{a}}}\left|\nu\right\rangle\right)-\nu\left(\widehat{\textbf{\textit{a}}}\left|\nu\right\rangle\right)=-\widehat{\textbf{\textit{a}}}\left|\nu\right\rangle, ce qui donne:
\widehat{\textbf{\textit{N}}}\left(\widehat{\textbf{\textit{a}}}\left|\nu\right\rangle\right)=(\nu-1)\left(\widehat{\textbf{\textit{a}}}\left|\nu\right\rangle\right),
autrement dit \left(\widehat{\textbf{\textit{a}}}\left|\nu\right\rangle\right) est un vecteur propre de \widehat{\textbf{\textit{N}}} de valeur propre (ν-1), il est possible de poser:
\widehat{\textbf{\textit{a}}}\left|\nu\right\rangle=\alpha\left|\nu-1\right\rangle, avec α nombre complexe qui peut être déterminé à une phase près en utilisant le fait que:
\left|\alpha\right|^2=\|\widehat{\textbf{\textit{a}}}\left|\nu\right\rangle \|^2=\left\langle \nu\right|\widehat{\textbf{\textit{a}}}^{\dagger}\widehat{\textbf{\textit{a}}}\left|\nu\right\rangle=\nu,

et comme nécessairement \|\widehat{\textbf{\textit{a}}}\left|\nu\right\rangle \|^2\geqslant 0 il st possible d'en déduire successivement:

  1. que les valeurs propres ν de \widehat{\textbf{\textit{N}}} sont positives ou nulles;
  2. que si en particulier ν = 0, alors \widehat{\textbf{\textit{a}}}\left|0\right\rangle = \vec{0} et inversement si \widehat{\textbf{\textit{a}}}\left|\nu\right\rangle=\vec{0} alors \widehat{\textbf{\textit{a}}}^{\dagger}\widehat{\textbf{\textit{a}}}\left|\nu\right\rangle=\vec{0}=\widehat{\textbf{\textit{N}}}\left|\nu\right\rangle et donc tout état respectant cette condition est état propre de \widehat{\textbf{\textit{N}}} de valeur propre ν = 0;
  3. qu'en effectuant un choix de phase tel que α soit réel, il vient: \alpha=\sqrt{\nu}, soit encore:  \widehat{\textbf{\textit{a}}}\left|\nu\right\rangle =\sqrt{\nu}\left|\nu-1\right\rangle,

par suite l'opérateur \widehat{\textbf{\textit{a}}} abaisse la valeur propre ν d'une unité, d'où le nom d'opérateur d'annihilation de quantum (de vibration) donné plus haut.

En procédant de même avec \widehat{\textbf{\textit{a}}}^{\dagger} il est possible de vrifier avec la même convention de phase que  \widehat{\textbf{\textit{a}}}^{\dagger}\left|\nu\right\rangle=\sqrt{\nu+1}\left|\nu+1\right\rangle, par suite l'opérateur \widehat{\textbf{\textit{a}}}^{\dagger} accroît la valeur propre ν d'une unité, d'où le nom d'opérateur de création de quantum (de vibration) donné plus haut.

Valeurs propres de l'opérateur N[modifier | modifier le code]

Soit état propre \left|\nu\right\rangle avec ν non entier, positif, N étant le premier entier tel que N > ν, il résulte de la relation  \widehat{\textbf{\textit{a}}}\left|\nu\right\rangle =\sqrt{\nu}\left|\nu-1\right\rangle que l'application à N reprises de l'opérateur d'annihilation \widehat{\textbf{\textit{a}}} permettait d'obtenir un état propre de \widehat{\textbf{\textit{N}}} avec une valeur propre négative, ce qui n'est pas possible puisque les valeurs propres de \widehat{\textbf{\textit{N}}} sont positives ou nulles.

En revanche si ν = n, n entier strictement positif, n applications successives de \widehat{\textbf{\textit{a}}} donnent: \left(\widehat{\textbf{\textit{a}}}\right)^n\left|\nu=n\right\rangle=\sqrt{n!}\left|0\right\rangle, et une nouvelle application de \widehat{\textbf{\textit{a}}} donne alors le vecteur nul.

Par suite les seules valeurs propres ν de l'opérateur \widehat{\textbf{\textit{N}}} sont les entiers n positif ou nul. L'appellation d'opérateur "nombre de quanta de vibration" donnée plus haut est donc justifiée.

Les résultats précédents donnent alors :

Les énergies accessibles par l'oscillateur sont : E_n=\hbar\omega\left(n+\frac{1}{2}\right) avec n entiers positifs ou nul

Ces états ont les propriétés générales suivantes:

  1. Les énergies accessibles par l'oscillateur sont quantifiées. Ce résultat a de nombreuses répercussions en physique statistique par exemple: de fait, il est impossible de décrire correctement les propriétés thermiques des solides (capacité calorifique par exemple) sans tenir compte du caractère quantifié des états de vibrations des atomes qui les constituent.
  2. Les états d'énergie sont espacés de la même quantité \hbar\omega. Ceci permet de considérer que le passage de l'état n à l'état n + p correspond à "l'absorption" de p quanta d'énergie par le système. Cette façon de penser est en fait très féconde: ainsi l'étude des vibrations dans les solides conduit-elle à introduire la notion de phonon, qui se comporte comme des quasi-particules. De même, et de façon plus significative, la quantification du champ électromagnétique conduit à introduire les modes propres de ce champ, appelé "photons".
  3. Comme cela a déjà mis en évidence qualitativement, l'énergie de l'état fondamental est non nulle, avec E_0=\frac{\hbar\omega}{2}, appelé souvent "énergie de point zéro" de l'oscillateur. Il a déjà été montré que cette situation, très différente du cas classique, résulte de la relation d'incertitude de Heisenberg.

Détermination des états propres[modifier | modifier le code]

Non-dégénérescence de l'état fondamental[modifier | modifier le code]

En supposant que l'état fondamental est k-fois dégénéré, il est possible de poser \left|0\right\rangle=\left|0,\lambda\right\rangle avec λ = 1,2, ... , k. Comme pour tout λ \widehat{\textbf{\textit{a}}}\left|0,\lambda\right\rangle=\vec{0}, il est possible de revenir à la définition l'opérateur d'annihilation \widehat{\textbf{\textit{a}}} et de donner l'équation différentielle correspondante en représentation position que doivent satisfaire les fonctions d'onde \psi_0^{\lambda}(x) pour tout k:

\frac{d\psi_0^{\lambda}}{dx}+\frac{m\omega}{2\hbar}x\psi_0^{\lambda}(x)=0.

Cette équation est aisément soluble par séparation des variables et abouti à une même fonction, à une constante (complexe en général) de normalisation près: \psi_0(x)=C_0\exp{\left(-\frac{m\omega}{\hbar}x^2\right)}.

La normalisation de ce résultat, permet d'obtenir C_{0} = \left(\frac{m \omega}{\pi \hbar}\right)^{\frac{1}{4}}
. Par suite, les solutions étant proportionnelles entre elles, l'état fondamental est non dégénéré.

Il est alors facile de voir que tous les états propres du hamiltonien sont non dégénérés: en effet si c'était le cas il serait possible à partir de deux états \left|n,1\right\rangle et \left|n,2\right\rangle de même énergie E_n d'obtenir, par application à n reprises de l'opérateur d'échelle \widehat{\textbf{\textit{a}}} deux états fondamentaux dégénérés \left|0,1\right\rangle et \left|0,2\right\rangle distincts, ce qui est impossible du fait de la non-dégénrescence de l'état fondamental[5].

États propres de l'opérateur N[modifier | modifier le code]

Une démonstration par récurrence utilisant l'opérateur de création de quantum de vibration montre que les états propres de \widehat{\textbf{\textit{a}}}^\dagger \widehat{\textbf{\textit{a}}} s'écrivent : |n\rangle=\frac{1}{\sqrt{n!}}\left(\widehat{\textbf{\textit{a}}}^\dagger \right)^n |0\rangle.

Représentation des sept premiers niveaux d'énergie et des fonctions d'onde associées \psi_n(x)) de l'oscillateur harmonique quantique unidimensionnel.

En représentation position, il suffit de substituer l'expression de \widehat{\textbf{\textit{a}}} et de \psi_0(x)=\left\langle x|0\right\rangle pour obtenir l'expression de la fonction d'onde \psi_n(x)=\left\langle x|n\right\rangle sous la forme:

\psi_n(x) = \frac{1}{\sqrt{2^{n} n!}}\left(\frac{m\omega}{\pi \hbar}\right)^{\dfrac{1}{4}} \left( X - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}X} \right) ^{n}  \exp{\left(-\frac{X^2}{2}\right)}, avec X=\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x position réduite.
Représentation similaire à la précédente, avec cette fois-ci les allures des densités de probabilité de présence | \psi_n(x) |^2 pour les premiers états d'énergie de l'oscillateur harmonique unidimensionnel.

En introduisant les polynômes d'Hermite H_n(X) sous la forme dite "physique" définie par \exp{\left(-\frac{X^2}{2}\right)}H_n(X)=\left( X - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}X} \right) ^{n}  \exp{\left(\frac{X^2}{2}\right)} il est finalement possible d'obtenir l'expression générale de la fonction d'onde \Psi_n(x):

\psi_n(x)=\frac{1}{\sqrt{2^{n} n!}}\left(\frac{m\omega}{\pi \hbar}\right)^{\dfrac{1}{4}}H_n\left(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x\right)\exp{\left(-\frac{m\omega}{2 \hbar}x^2\right)}.

Il est facile de vérifier que ces fonctions d'ondes sont orthogonales entre elles et normalisées à l'unité, en utilisant les relations d'orthogonalité des polynômes d'Hermite. Par ailleurs, la parité de la fonction d'onde \psi_n(x) est celle de n.

Cette dernière relation nous permet de retrouver explicitement autant de fonctions d'ondes que nécessaire. Par exemple pour n=1\, il vient :
\psi_{1}(x) = \left( \frac{4}{\pi} \left( \frac{m \omega}{\hbar} \right )^{3} \right )^{\frac{1}{4}} x \exp \left( -\frac{1}{2} \frac{m \omega}{\hbar} x^{2} \right)

Représentation matricielle[modifier | modifier le code]

  • La matrice représentative de l'hamiltonien \widehat{\textbf{\textit{H}}} sur la base des \vert n \rangle est, par construction, diagonale.

On a \widehat{\textbf{\textit{H}}}= \hbar \omega \begin{pmatrix} 1/2 & 0 & 0 &\cdots \\ 0 & 1+1/2 & 0 &\cdots \\ 0 & 0 & 2+1/2 &\cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots &\ddots \end{pmatrix}

  • Sachant que \widehat{\textbf{\textit{a}}}^{\dagger} \vert n \rangle = \sqrt{n+1} \vert n+1 \rangle, en multipliant à gauche par \vert k \rangle il vient \widehat{\textbf{\textit{a}}}^{\dagger}_{k,n}=\sqrt{n+1} \langle k \vert n+1 \rangle = \sqrt{n+1} \delta_{k,n+1}

La matrice représentative de \widehat{\textbf{\textit{a}}}^{\dagger} sur la base des \vert n \rangle est donc \widehat{\textbf{\textit{a}}}^{\dagger}= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ 1 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & \sqrt{2} & 0 & 0 &\cdots \\ 0 & 0 & \sqrt{3} & 0 & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots &\ddots \end{pmatrix}

Puisque \widehat{\textbf{\textit{a}}}_{k,n}=\widehat{\textbf{\textit{a}}}^{\dagger}_{n,k}, la matrice \widehat{\textbf{\textit{a}}} est construite en transposant \widehat{\textbf{\textit{a}}}^{\dagger} : \widehat{\textbf{\textit{a}}}= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & 0 & \sqrt{2} & 0 & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & \sqrt{3} &\cdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots &\ddots \end{pmatrix}


  • Il est alors facile de construire les matrices représentatives des observables \widehat{\textbf{\textit{x}}} et \widehat{\textbf{\textit{p}}} puisque :

 \widehat{\textbf{\textit{x}}}=\sqrt{\dfrac{\hbar}{m\omega}} \widehat{\textbf{\textit{X}}}= \sqrt{\dfrac{\hbar}{2m\omega}} \left(\widehat{\textbf{\textit{a}}} + \widehat{\textbf{\textit{a}}}^{\dagger}\right) et  \widehat{\textbf{\textit{p}}}=\sqrt{\hbar m\omega}\widehat{\textbf{\textit{P}}}=-i\sqrt{\dfrac{\hbar m\omega}{2}}\left(\widehat{\textbf{\textit{a}}} - \widehat{\textbf{\textit{a}}}^{\dagger}\right)

donc \widehat{\textbf{\textit{x}}}= \sqrt{\dfrac{\hbar}{2m\omega}} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & \cdots \\ 1 & 0 & \sqrt{2} & 0 & \cdots \\ 0 & \sqrt{2} & 0 & \sqrt{3} &\cdots \\ 0 & 0 & \sqrt{3} & 0 & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots &\ddots \end{pmatrix} et \widehat{\textbf{\textit{p}}}= \sqrt{\dfrac{\hbar m\omega}{2}} \begin{pmatrix} 0 & -i & 0 & 0 & \cdots \\ i & 0 & -i\sqrt{2} & 0 & \cdots \\ 0 & i\sqrt{2} & 0 & -i\sqrt{3} &\cdots \\ 0 & 0 & i\sqrt{3} & 0 & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots &\ddots \end{pmatrix}

Il est alors possible de vérifier les propriétés suivantes pour les observables \widehat{\textbf{\textit{x}}} et \widehat{\textbf{\textit{p}}}_x:

  • Les seuls éléments de matrices non nuls de ces opérateurs sont donc ceux pris entre les états \left|n\right\rangle et \left|n\pm 1\right\rangle.
  • Les valeurs moyennes de la position et de l'impulsion sont nulles lorsque le système est dans un état propre \left|n\right\rangle[6].

Évolution des valeurs moyennes dans le temps - limite classique[modifier | modifier le code]

Dans le cas d'un hamiltonien \widehat{\textbf{\textit{H}}} qui ne dépend pas explicitement du temps, il résulte de l'équation de Schrödinger \dot{\left|\Psi(t)\right\rangle}=\dfrac{-i}{\hbar}\widehat{\textbf{\textit{H}}}\left|\Psi(t)\right\rangle que le vecteur d'état \left|\Psi(t)\right\rangle s'obtient à partir de celui pris à un temps t_0 quelconque par:

\left|\Psi(t)\right\rangle=\exp{\left(-\dfrac{i(t-t_0)}{\hbar}\widehat{\textbf{\textit{H}}}\right)}\left|\Psi(t_0)\right\rangle.

Or comme \left|\Psi(t_0)\right\rangle=\sum_{n=0}^{+\infty} c_n(t_0)\left|n\right\rangle, les coefficients complexes c_n(t_0) étant tels que \left|\Psi(t_0)\right\rangle est normalisé à l'unité[7], dans le cas d'un oscillateur harmonique l'expression du vecteur d'état à une date t(>t0) quelconque est la suivante:

\left|\Psi(t)\right\rangle=\sum_{n=0}^{+\infty}c_n(t_0)\exp{\left(-\dfrac{i(t-t_0)}{\hbar}\widehat{\textbf{\textit{H}}}\right)}\left|n)\right\rangle=\exp{\left(\frac{-i\omega(t-t_0)}{2}\right)}\sum_{n=0}^{+\infty} c_n(t_0)\exp{\left(-in\omega(t-t_0)\right)}\left|n\right\rangle.

Par suite, la valeur moyenne de tout observable \widehat{\textbf{\textit{A}}} est donnée en fonction du temps par:

\left\langle\widehat{\textbf{\textit{A}}}\right\rangle =\left\langle\Psi(t)\right|\widehat{\textbf{\textit{A}}}\left|\Psi(t)\right\rangle= \sum_{p=0}^{+\infty} \sum_{n=0}^{+\infty} c_p^*(t_0)c_n(t_0)A_{mn}\exp{\left(i(m-n)\omega (t-t_0)\right)}, avec A_{mn}\equiv\left\langle m \right|\widehat{\textbf{\textit{A}}}\left|n\right\rangle, élément de matrice de l'observable \widehat{\textbf{\textit{A}}} entre \left|m\right\rangle et \left|n\right\rangle.

En particulier, pour les observables \widehat{\textbf{\textit{x}}} et \widehat{\textbf{\textit{p}}}_x les seuls éléments de matrices non nuls sont ceux entre \left|n\pm 1\right\rangle et \left|n\right\rangle, par suite, l'évolution de leur grandeurs moyennes fait uniquement intervenir des termes en \exp{\left(\pm i \omega(t-t_0)\right)}, c'est-à-dire des fonctions sinusoïdales: ceci correspond bien à un comportement classique pour un oscillateur harmonique.

Ce dernier résultat peut également s'obtenir à partir du théorème d'Ehrenfest, qui compte tenu du fait que \widehat{\textbf{\textit{x}}} et \widehat{\textbf{\textit{p}}}_x ne dépendent pas explicitement du temps s'écrit pour chaque valeur moyenne:

\frac{d}{dt}\left\langle\widehat{\textbf{\textit{x}}}\right\rangle = \frac{1}{i\hbar}\left\langle\left[\widehat{\textbf{\textit{x}}},\widehat{\textbf{\textit{H}}}\right]\right\rangle=\frac{1}{2m i\hbar}\left\langle\left[\widehat{\textbf{\textit{x}}},\widehat{\textbf{\textit{p}}}_{x}^2\right]\right\rangle=\frac{1}{2m i\hbar}\left\langle\left(\left[\widehat{\textbf{\textit{x}}},\widehat{\textbf{\textit{p}}}_x\right]\widehat{\textbf{\textit{p}}}_x + \widehat{\textbf{\textit{p}}}_x\left[\widehat{\textbf{\textit{x}}},\widehat{\textbf{\textit{p}}}_x\right]\right)\right\rangle,
\frac{d}{dt}\left\langle\widehat{\textbf{\textit{p}}}_x\right\rangle = \frac{1}{i\hbar}\left\langle\left[\widehat{\textbf{\textit{p}}}_x,\widehat{\textbf{\textit{H}}}\right]\right\rangle=\frac{m\omega^2}{2 i\hbar}\left\langle\left[\widehat{\textbf{\textit{p}}}_x,\widehat{\textbf{\textit{x}}}^2\right]\right\rangle=\frac{m\omega^2}{2 i\hbar}\left\langle\left(\left[\widehat{\textbf{\textit{p}}}_x,\widehat{\textbf{\textit{x}}}\right]\widehat{\textbf{\textit{x}}} + \widehat{\textbf{\textit{x}}}\left[\widehat{\textbf{\textit{p}}}_x,\widehat{\textbf{\textit{x}}}\right]\right)\right\rangle,

soit au final le système d'équations:

\begin{cases}
\frac{d}{dt}\left\langle\widehat{\textbf{\textit{x}}}\right\rangle =\frac{\left\langle\widehat{\textbf{\textit{p}}}_x\right\rangle}{m} \\
\frac{d}{dt}\left\langle\widehat{\textbf{\textit{p}}}_x\right\rangle =-m\omega^2\left\langle\widehat{\textbf{\textit{x}}}\right\rangle
\end{cases} .

Pour les valeurs moyennes, ces équations sont donc identiques à celles de l'oscillateur harmonique classique indiquées en prémière partie. Elles donnent par intégration des évolutions sinusoïdales de pulsation ω pour les valeurs moyennes de \left\langle\widehat{\textbf{\textit{x}}}\right\rangle et \left\langle\widehat{\textbf{\textit{p}}}_x\right\rangle.

Interprétation[modifier | modifier le code]

Densité de probabilité n(x)|² pour les premières valeurs de l'énergie, en commençant par le fondamental (n = 0) en bas puis en augmentant la valeur de l'énergie en montant. L'axe horizontal correspond à la coordonnée x, les couleurs plus claires indiquent une densité de probabilité plus forte.

En analysant ces fonctions d'ondes, on retrouve de nombreux résultats classiques : la particule dans le puits de potentiel a une probabilité de présence plus élargie si elle a une énergie plus haute (une bille au fond d'un puits va monter plus haut sur les bords si elle a plus d'énergie), la particule a plus de chance de se retrouver sur ces positions éloignées du centre du puits (la bille a une vitesse d'autant plus petite qu'elle est haut dans le puits : elle va donc passer beaucoup plus de temps en hauteur qu'au fond du puits).

États cohérents[modifier | modifier le code]

Les états cohérents, notés \left|\alpha\right\rangle, sont par définition les états propres de l'opérateur d'annihilation \widehat{\textbf{\textit{a}}}, de valeurs propres \alpha\in\Complex: \widehat{\textbf{\textit{a}}}\left|\alpha\right\rangle=\alpha\left|\alpha\right\rangle.

Propriétés générales des états cohérents \left|\alpha\right\rangle[modifier | modifier le code]

Expression de \left|\alpha\right\rangle sur la base des états propres \left|n\right\rangle du hamiltonien[modifier | modifier le code]

Il est possible de poser de façon générale pour tout état \left|\alpha\right\rangle:

\left|\alpha\right\rangle=\sum_{n=0}^{\infty} c_{n}(\alpha)\left|n\right\rangle, avec c_{n}(\alpha)\in\Complex, qui seront choisis de telle sorte que \left|\alpha\right\rangle soit normé à l'unité: \left\langle\alpha|\alpha\right\rangle = 1 \quad \Rightarrow \quad \sum_{n=0}^{\infty} \left|c_{n}(\alpha)\right|^2=1.

D'après la définition d'un état cohérent donnée plus haut, et le fait que pour tout état propre \left|n\right\rangle, \widehat{\textbf{\textit{a}}}\left|n\right\rangle=\sqrt{n}\left|n-1\right\rangle il vient:

\widehat{\textbf{\textit{a}}}\left|\alpha\right\rangle=\sum_{n=1}^{\infty} c_{n}(\alpha)\sqrt{n}\left|n-1\right\rangle=\alpha\left|\alpha\right\rangle=\sum_{n=0}^{\infty}\alpha c_{n}(\alpha)\left|n\right\rangle, où l'on a tenu compte de \widehat{\textbf{\textit{a}}}\left|0\right\rangle = 0.

En procédant à un changement de variable dans le premier membre, l'équation aux valeurs propres s'écrit dans la base de \left|n\right\rangle:

\sum_{n=0}^{\infty} \sqrt{n+1}c_{n+1}(\alpha)\left|n\right\rangle=\sum_{n=0}^{\infty} \alpha c_{n}(\alpha)\left|n\right\rangle,

ce qui donne par identification membre à membre la relation de récurrence suivante entre les coefficients c_{n}(\alpha):

c_{n+1}(\alpha)=\frac{\alpha}{\sqrt{n+1}}c_{n}(\alpha), qui permet alors d'obtenir l'expression de c_{n}(\alpha) en fonction de c_{0}(\alpha):
c_{n}(\alpha)=\frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}}c_{0}(\alpha).

La constante c_{0}(\alpha) peut être obtneue en utilisant la condition de normalisation précédente, qui donne alors \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\left|\alpha\right|^{2n}}{n!}\left|c_{0}(\alpha)\right|^2 = \left|c_{0}(\alpha)\right|^2\exp{\left(\left|\alpha\right|^2\right)}=1, soit en prenant pour convention de phase que tous les coefficients c_{n}(\alpha) sont réels, il vient finalement: c_{n}(\alpha)=\frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}}\exp{\left(-\tfrac{\left|\alpha\right|^2}{2}\right)}.

Le développement de \left|\alpha\right\rangle sur la base des états propres \left|n\right\rangle s'écrit en définitive sous la forme: \left|\alpha\right\rangle=e^{\left(-\tfrac{\left|\alpha\right|^2}{2}\right)} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}}\left|n\right\rangle.

En utilisant la relation (13) exprimant les états propres \left|n\right\rangle en fonction de l'état fondamental, il est aussi possible d'écrire:

\left|\alpha\right\rangle=e^{\left(-\tfrac{\left|\alpha\right|^2}{2}\right)}\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\alpha^n}{n!}\left(\widehat{\textbf{\textit{a}}}^{\dagger}\right)^n\left|0\right\rangle=e^{\left(-\tfrac{\left|\alpha\right|^2}{2}\right)} \exp{\left(\alpha\widehat{\textbf{\textit{a}}}^{\dagger}\right)}\left|0\right\rangle.

Il est facile de vérifier que si α = 0 ce développement se réduit à \left|\alpha=0\right\rangle=\left|0\right\rangle: l'état fondamental de l'oscillateur harmonique est donc un état cohérent, de valeur propre α = 0.

L'état cohérent comme paquet d'onde minimum[modifier | modifier le code]

Il est facile de démontrer que les états cohérents |\alpha\rangle sont paquets d'onde minima, c'est-à-dire qu'ils minimisent les incertitudes (écarts-types en l'espèce) sur la mesure de la position et de l'impulsion: pour tout état cohérent \Delta x\Delta p= \frac{\hbar}{2}.

Interprétation physique: les états cohérents comme états quasi-classiques de l'oscillateur harmonique quantique[modifier | modifier le code]

Applications[modifier | modifier le code]

Pour tous les calculs où des particules sont dans un puits de potentiel, l'approximation harmonique est très intéressante (en effet, on remarque que le développement limité à l'ordre 2 d'un puits nous donne une parabole). Par exemple si l'on souhaite étudier un "piège harmonique" à deux dimensions (condensation de Bose-Einstein à 2D) on pourra poser le hamiltonien suivant pour débuter l'étude:  \widehat{\textbf{\textit{H}}} = \left( \frac{\widehat{\textbf{\textit{p}}}_{x}^2+\widehat{\textbf{\textit{p}}}_{y}^2}{2m} + {1\over 2} m \omega^2 \left(\widehat{\textbf{\textit{x}}}^2+\widehat{\textbf{\textit{y}}}^2 \right) \right)

Généralisation à trois dimensions[modifier | modifier le code]

Ces calculs pour une seule dimension se généralisent très bien à 3 dimensions. L'hamiltonien est alors simplement sous la forme d'une somme de trois hamiltoniens indépendants, qui sont donc étudiables séparément exactement comme nous l'avons fait précédemment.

Les énergies accessibles par l'oscillateur sont : E_n=\hbar\omega\left(n+\frac{3}{2}\right) (n\ge 0)


avec n=n_{x}+n_{y}+n_{z} : l'énergie dépend de trois nombres quantiques indépendants. Pour une même énergie, il va donc être possible d'imaginer des configurations différentes : les niveaux d'énergie sont dégénérés.

On calcule le nombre de dégénérescences pour le n-ième niveau d'énergie :  g_{n} = \frac{(n+1)(n+2)}{2}

Oscillateur anharmonique[modifier | modifier le code]

Le modèle harmonique d'un puits de potentiel est certes une approche intéressante et finalement assez simple, mais pour étudier les écarts à l'harmonicité d'un système réel, il va falloir pousser le développement limité du potentiel à un ordre supérieur. On introduit alors un terme perturbatif W dans l'hamiltonien puis, à l'aide de la théorie des perturbations stationnaires, on va calculer les nouvelles énergies du système.

Terme en x3[modifier | modifier le code]

Si l'on pousse le développement limité du potentiel à l'ordre 3, on obtient le terme perturbatif suivant par rapport à l'oscillateur harmonique : W = \epsilon \hbar \omega X^{3}\epsilon est très petit par rapport à 1. Le mouvement de la particule dans un tel potentiel n'est plus tout à fait symétrique. Le calcul théorique des énergies donne alors : E_n = \left( n + {1 \over 2} \right) \hbar \omega - {15 \over 4} \epsilon^2 \left( n + {1 \over 2} \right)^2 \hbar \omega - {7 \over 16} \epsilon^2 \hbar \omega + ...

L'utilisation de la méthode des perturbations pour ce calcul impose un résultat approché (correction du deuxième ordre ici). On remarque alors que les niveaux d'énergie ont été abaissés par cette correction. Le calcul des nouvelles fonctions d'onde montre qu'elles sont formées par des couplages entre les anciennes : \Phi_n (x) = \Psi_n (x) + \epsilon \left( - \alpha (n) \Psi_{n+1} (x)+\alpha (n-1) \Psi_{n-1} (x) - \beta(n) \Psi_{n+3} (x) + \beta (n-3) \Psi_{n-3} (x) \right)  + ...

Application[modifier | modifier le code]

Une molécule diatomique dans le modèle harmonique peut absorber et émettre des ondes électromagnétiques à la pulsation \omega. Or dans la pratique, on observe d'autres raies absorbées ou émises : le modèle anharmonique permet de bien en rendre compte, puisque d'après la nouvelle expression des fonctions d'onde, deux états \Phi_{n_{1}} et \Phi_{n_{2}} peuvent être reliés même si n_1 et n_2 différent de plus de 1. La constante \epsilon peut ainsi être calculée dans cet exemple en analysant le spectre d'absorption.


Notes[modifier | modifier le code]

  1. Plus précisément à la "pente" de la parabole correspondant à la courbe représentative de V(x), voir ci-après.
  2. Conformément à une convention courante l'état propre de l'équation de Schrödinger dépendante du temps s'écrit avec Ψ majuscule: \left|\Psi\right\rangle=\left|\Psi(x,t)\right\rangle tandis que celui de l'équation indépendante du temps s'écrit avec ψ minuscule: \left|\psi\right\rangle=\left|\psi(x)\right\rangle. Il en est de même des fonctions d'onde associées dans les diverses représentations.
  3. Ce procédé, qui consiste à prendre une "fonction d'onde d'essai", et d'obtenir à partir de là une expression de \left\langle\widehat{\textbf{\textit{H}}}\right\rangle, dépendant de certains paramètres que l'on considère alors comme des variables, pour minimiser \left\langle\widehat{\textbf{\textit{H}}}\right\rangle, et donc estimer la valeur de l'état fondamental, est très fécond. Il est à la base de la méthode variationnelle, utilisée par exemple dans la théorie élémentaire des orbitales moléculaires (cf. estimation de l'état fondamental de l'ion moléculaire H_2^+ ou de façon numérique, par exemple dans la méthode de Monte-Carlo variationnelle).
  4. En fait, comme indiquée plus bas la valeur de l'état fondamental est bien \hbar\omega/2.
  5. Toutefois, à plusieurs dimensions p, la dégénérescence sera possible. En effet dans ce cas il est possible de montrer que l'on se ramène à p oscillateurs harmoniques indépendants (modes normaux), l'énergie totale étant la somme des énergies associées à chacun de ces oscillateurs soit E_{n_1,\ldots,n_p} = \left(n_1+\ldots+n_p+p/2\right)\hbar\omega. Il est clair qu'il y a plusieurs combinaisons de valeurs possibles des n_i, donc plusieurs états distincts, donnant une même valeur de l'énergie du système.
  6. Ce qui ne signifie pas que sur un état donné du système de vecteur d'état \left|\Psi(t)\right\rangle ces valeurs moyennes soient nulles, puisque dans le cas général \left|\Psi(t)\right\rangle résulte d'une superposition d'états propres, voir paragraphe suivant.
  7. Par suite \left|c_n(t_0)\right|^2 est la probabilité que lors d'une mesure effectuée à t=t_0 on trouve le système dans l'état \left|n\right\rangle.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • Mécanique Quantique R.Feynman
  • Cours de mécanique quantique Y. Ayant, E. Belorizky
  • Principles of quantum mechanics, R. Shankar, 2nd edition, Plenum publishing, NY, 1994 - chapitre 7.

Liens externes[modifier | modifier le code]