Fonction de von Mangoldt

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En mathématiques, la fonction de von Mangoldt est une fonction arithmétique nommée en l'honneur du mathématicien allemand Hans von Mangoldt.

Définition[modifier | modifier le code]

La fonction de von Mangoldt, traditionnellement notée , est définie sur par

Cette importante fonction arithmétique n'est ni multiplicative, ni additive.

Elle satisfait l'identité[1]

ou, ce qui est équivalent, ,

où les sommes sont prises sur tous les entiers naturels d qui divisent n et où désigne la fonction de Möbius.

La « fonction sommatoire de von Mangoldt » , aussi connue comme la deuxième fonction de Tchebychev (en), est définie par

.

Von Mangoldt a fourni une preuve rigoureuse d'une formule explicite (en) pour , impliquant une somme sur les zéros non triviaux de la fonction zêta de Riemann[2]. Ce fut une partie importante de la première démonstration du théorème des nombres premiers.

Séries de Dirichlet[modifier | modifier le code]

La fonction de von Mangoldt joue un rôle important dans la théorie des séries de Dirichlet, en particulier la fonction zêta de Riemann. Son logarithme est

pour . Sa dérivée logarithmique est donc :

Plus généralement[3], sur le demi-plan de convergence d'une série de Dirichlet , on a

et si est complètement multiplicative, on en déduit
.

La transformation de Mellin[modifier | modifier le code]

La transformation de Mellin de la fonction de Tchebychev peut être trouvée en appliquant la formule sommatoire d'Abel :

qui reste vraie pour .

Série exponentielle[modifier | modifier le code]

Une série exponentielle impliquant la fonction de von Mangoldt, sommée jusqu'aux premiers termes

Hardy et Littlewood ont examiné les séries[4]

et ont démontré que

Curieusement, ils ont aussi montré que cette fonction est oscillatoire, avec des oscillations divergentes. En particulier, il existe une valeur telle que

et

infiniment souvent. Le graphe sur la droite indique que ce comportement n'est pas évident sur les premiers nombres : les oscillations ne sont pas aperçues clairement jusqu'à ce que la série soit sommée par excès jusqu'à 100 millions de termes, et sont seulement visibles lorsque .

La moyenne de Riesz[modifier | modifier le code]

La moyenne de Riesz de la fonction de von Mangoldt est donnée par

Ici, et sont des nombres caractérisant la moyenne de Riesz. On doit prendre . La somme sur est la somme sur les zéros de la fonction zêta de Riemann, et on peut montrer que la série converge pour .

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Von Mangoldt function » (voir la liste des auteurs).

  1. (en) Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, Springer, (ISBN 978-0-38790163-3, lire en ligne), p. 32-33, th. 2.10 et 2.11.
  2. (en) Allan Gut, « Some remarks on the Riemann zeta distribution », Rev. Roumaine Math. Pures et Appl., vol. 51,‎ , p. 205-217 (lire en ligne).
  3. C'est plutôt par cette méthode qu'Apostol 1976, p. 236, calcule ζ'/ζ, après s'être assuré (p. 228-229) que sur son demi-plan de convergence, ζ ne s'annule pas.
  4. (en) G. H. Hardy et J. E. Littlewood, « Contributions to the Theory of the Riemann Zeta-Function and the Theory of the Distribution of Primes », Acta Mathematica, vol. 41, 1916, p. 119-196