Formule du multinôme de Newton

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En mathématiques, la formule du multinôme de Newton est une relation donnant le développement d'une puissance entière d'une somme d'un nombre fini de termes sous forme d'une somme de produits de puissances de ces termes affectés de coefficients, lesquels sont appelés des coefficients multinomiaux. La formule du binôme s'obtient comme cas particulier de la formule du multinôme, pour  ; et dans ce cas les coefficients multinomiaux sont les coefficients binomiaux.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Soient et deux entiers naturels et des nombres réels ou complexes (ou plus généralement, des éléments d'un anneau commutatif, voire seulement d'un anneau, à condition que ces éléments commutent deux à deux). Alors,

.

La somme porte sur toutes les combinaisons d'indices entiers naturels tels que , certains d'entre eux pouvant être nuls.

Une écriture équivalente mais bien plus concise consiste à sommer sur tous les multi-indices de dimension dont le module est égal à  :

Les nombres

sont appelés les coefficients multinomiaux.

Le coefficient multinomial est également le nombre de "partitions ordonnées" d'un ensemble de éléments en ensembles de cardinaux respectifs . Plus formellement :

Démonstration[modifier | modifier le code]

Une preuve directe est d'utiliser la dernière expression ci-dessus des coefficients multinomiaux.

Une autre est de raisonner par récurrence sur m, en utilisant la formule du binôme.

(i) Pour m = 1, les deux côtés valent .

(ii) Supposons le théorème vrai au rang m. Alors

par hypothèse de récurrence. Puis en appliquant le binome de Newton au dernier facteur, il vient que,

ce qui termine la récurrence. Pour la dernière étape, on a utilisé le fait que

car

Exemple[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]

Formule du trinôme de Newton