Polynôme de Bernoulli

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Polynômes de Bernoulli

En mathématiques, les polynômes de Bernoulli apparaissent dans l'étude de beaucoup de fonctions spéciales et en particulier, la fonction zêta de Riemann ; des polynômes analogues, correspondant à une fonction génératrice voisine, sont connus sous le nom de polynômes d'Euler.

Définition[modifier | modifier le code]

Les polynômes de Bernoulli sont l'unique suite de polynômes telle que :

Fonctions génératrices[modifier | modifier le code]

La fonction génératrice pour les polynômes de Bernoulli est

.

La fonction génératrice pour les polynômes d'Euler est

.

Les nombres d'Euler et de Bernoulli[modifier | modifier le code]

Les nombres de Bernoulli sont donnés par .

Les nombres d'Euler sont donnés par .

Expressions explicites pour les petits ordres[modifier | modifier le code]

Les premiers polynômes de Bernoulli sont :

Les quelques premiers polynômes d'Euler sont :

Propriétés des polynômes de Bernoulli[modifier | modifier le code]

Différences[modifier | modifier le code]

Les polynômes de Bernoulli et d'Euler obéissent à beaucoup de relations du calcul symbolique utilisé par Édouard Lucas, par exemple.

Dérivées[modifier | modifier le code]

Translations[modifier | modifier le code]

Symétries[modifier | modifier le code]

Autres propriétés[modifier | modifier le code]

Cette dernière égalité, déduite de la formule de Faulhaber, vient de l'égalité : ou, plus simplement, de la somme télescopique .

Valeurs particulières[modifier | modifier le code]

Les nombres sont les nombres de Bernoulli.

Les nombres de Bernoulli de rang impair différent de 1 sont nuls :

Série de Fourier[modifier | modifier le code]

La série de Fourier des polynômes de Bernoulli est aussi une série de Dirichlet, donnée par le développement[1] :

.

C'est un cas particulier de la formule de Hurwitz.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Bernoulli polynomials » (voir la liste des auteurs).

  1. (en) Tsuneo Arakawa, Tomoyoshi Ibukiyama et Masanobu Kaneko, Bernoulli Numbers and Zeta Functions, Springer, (lire en ligne), p. 61.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]