Théorème binomial d'Abel

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher
Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Théorème d'Abel.

En mathématiques, et plus précisément en algèbre, le théorème binomial d'Abel, dû à Niels Henrik Abel, est l'identité polynomiale suivante[1],[2],[3], valide pour tout entier naturel  :

.

Quand on l'évalue en , on retrouve la formule du binôme de Newton, et pour , on retrouve que la différence finie est nulle[1].

Variantes[modifier | modifier le code]

  • La variante
    est le cas particulier du théorème.
    Réciproquement, quand on l'évalue en et , on retrouve le cas général.
  • En remplaçant par , on déduit de cette première variante[4] :
    .
    Réciproquement, la première variante se déduit de la deuxième en remplaçant par .
    On peut de même remplacer par dans le théorème.
  • On peut bien sûr remplacer par dans le théorème. Ceci, précédé d'un remplacement de par , donne comme théorème équivalent[5] :
    .
  • En effectuant le changement d'indice dans le théorème et ses variantes, on en trouve de nouvelles. Par exemple, la deuxième variante ci-dessus devient[6] :
    .

Exemple[modifier | modifier le code]

Vérifions la première variante dans le cas .

Démonstration[modifier | modifier le code]

Considérons les polynômes (à coefficients dans )

et démontrons, par récurrence sur , que pour tout .

  • On a bien .
  • Supposons que pour un certain , . Alors, les polynômes dérivés de et sont égaux car
    .
    Par ailleurs, . Par conséquent,

Références[modifier | modifier le code]

  1. a et b (de) N. H. Abel, « Beweis eines Ausdruckes, von welchem die Binomial-Formel ein einzelner Fall ist », J. reine angew. Math, vol. 1,‎ , p. 159-160 (lire en ligne).
  2. (en) Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming, vol. 1 : Fundamental Algorithms (lire en ligne), chap. 1.2.6 (« Binomial coefficients ») équation (16) et exercices 50 à 52.
  3. Louis Comtet, Analyse combinatoire avancée (lire en ligne), p. 14.
  4. « Une identité d'Abel », sur les-mathematiques.net.
  5. (en) Charalambos A. Charalambides, Enumerative Combinatorics, CRC Press, (lire en ligne), p. 207.
  6. (en) Eric W. Weisstein, « Abel's binomial theorem », MathWorld, aux notations près.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]

Suite de Sheffer

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • (en) Henry W. Gould (en), Combinatorial Identities, A Standardized Set of Tables Listing 500 Binomial Coefficient Summations, (lire en ligne), p. 15, (1.117), (1.118) et (1.119)
  • (en) Henry W. Gould et J. Quaintance (ed.), Tables of Combinatorial Identities, vol. 4, (lire en ligne), p. 18
  • (en) He Tianxiao, Leetsch C. Hsu et Peter J. S. Shiue, « On Abel-Gontscharoff-Gould's polynomials », Analysis in Theory and Applications, vol. 19, no 2,‎ , p. 166-184 (DOI 10.1007/BF02835242, lire en ligne)