Théorème binomial d'Abel

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En mathématiques, et plus précisément en algèbre, le théorème binomial d'Abel, dû à Niels Henrik Abel, est l'identité polynomiale suivante[1],[2], valide pour tout entier naturel  :

.

Quand on l'évalue en , on retrouve la formule du binôme de Newton, et pour , on retrouve que la différence finie est nulle[1].

Variante[modifier | modifier le code]

La variante[3]

est le cas particulier du théorème.

Réciproquement, quand on l'évalue en et , on retrouve le cas général.

Exemple[modifier | modifier le code]

Vérifions la variante dans le cas .

Démonstration[modifier | modifier le code]

Considérons les polynômes (à coefficients dans )

et démontrons, par récurrence sur , que pour tout .

  • On a bien .
  • Supposons que pour un certain , . Alors, les polynômes dérivés de et sont égaux car
    .
    Par ailleurs, . Par conséquent,

Références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Abel's binomial theorem » (voir la liste des auteurs).

  1. a et b (de) N. H. Abel, « Beweis eines Ausdruckes, von welchem die Binomial-Formel ein einzelner Fall ist », J. reine angew. Math, vol. 1,‎ , p. 159-160 (lire en ligne).
  2. (en) Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming, vol. 1 : Fundamental Algorithms (lire en ligne), p. 58 (16) et p. 72-73, ex. 50 à 52.
  3. (en) Eric W. Weisstein, « Abel's binomial theorem », MathWorld, aux notations près.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]

Suite de Sheffer

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • (en) Henry W. Gould (en), Combinatorial Identities, A Standardized Set of Tables Listing 500 Binomial Coefficient Summations, (lire en ligne), p. 15, (1.117), (1.118) et (1.119)
  • (en) Henry W. Gould et J. Quaintance (ed.), Tables of Combinatorial Identities, vol. 4, (lire en ligne), p. 18
  • (en) He Tianxiao, Leetsch C. Hsu et Peter J. S. Shiue, « On Abel-Gontscharoff-Gould's polynomials », Analysis in Theory and Applications, vol. 19, no 2,‎ , p. 166-184 (DOI 10.1007/BF02835242, lire en ligne)