Fonction totient de Jordan

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En théorie des nombres, la k-ième fonction totient de Jordan Jk — nommée d'après le mathématicien Camille Jordan — est la fonction arithmétique qui à tout entier n > 0 associe le nombre de k-uplets d'entiers compris entre 1 et n qui, joints à n, forment un k + 1-uplet de nombres premiers entre eux. C'est une généralisation de la fonction totient φ d'Euler, qui est J1.

Calcul[modifier | modifier le code]

La fonction Jk est multiplicative et vaut

J_k(n)=n^k\prod_{p|n}\left(1-\frac1{p^k}\right),

où le produit est indexé par tous les diviseurs premiers p de n.

On peut définir plus généralement Jk pour tout réel k non nul et même pour « presque » tout complexe k, par la même formule[1].

Propriétés[modifier | modifier le code]

Ordres de groupes de matrices[modifier | modifier le code]

L'ordre du groupe linéaire GL(m, ℤ/n) est[5] |{\rm GL}(m,\Z/n\Z)|=n^{\frac{m(m-1)}2}\prod_{k=1}^mJ_k(n).

Celui du groupe spécial linéaire SL(m, ℤ/nℤ) est |{\rm SL}(m,\Z/n\Z)|=n^{\frac{m(m-1)}2}\prod_{k=2}^mJ_k(n).

Celui du groupe symplectique Sp(2m, ℤ/nℤ) est |{\rm Sp}(2m,\Z/n\Z)|=n^{m^2}\prod_{k=1}^mJ_{2k}(n).

Les deux premières formules ont été découvertes par Jordan.

Exemples[modifier | modifier le code]

L'OEIS donne des listes explicites pour J2 (A007434), J3 (A059376), J4 (A059377), J5 (A059378) et J6 à J10 (A069091 à A069095).

Des quotients par J1 sont J2/J1 (A001615), J3/J1 (A160889), J4/J1 (A160891), J5/J1 (A160893), J6/J1 (A160895), J7/J1 (A160897), J8/J1 (A160908), J9/J1 (A160953), J10/J1 (A160957) et J11/J1 (A160960).

Des exemples de quotients J2k/Jk sont J4/J2 (A065958), J6/J3 (A065959) et J8/J4 (A065960).

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Voir Somme de Ramanujan (en), § φ(n) (sous réserve que k ne soit ni nul, ni de la forme i2πm/logp pour un entier non nul m et un nombre premier p, qui sont alors uniques).
  2. (en) Jozsef Sándor et Borislav Crstici, Handbook of number theory II, Kluwer Academic,‎ 2004 (ISBN 978-1-4020-2546-4, lire en ligne), p. 106.
  3. Une fonction est dite totient si elle est, pour la convolution de Dirichlet, le produit d'une fonction complètement multiplicative et de l'inverse d'une fonction complètement multiplicative — (en) Anthony A. Gioia, The Theory of Numbers: An Introduction, Dover,‎ 2001 (ISBN 9780486414492, lire en ligne), p. 29 — or Idk et l'inverse 1 de μ sont complètement multiplicatives.
  4. (en) Matthew Holden, Michael Orrison et Michael Varble, « Yet another Generalization of Euler's Totient Function ».
  5. Toutes ces formules sont extraites de (en) Dorin Andrica et Mihai Piticari, « On some Extensions of Jordan's arithmetical Functions », Acta Universitatis Apulensis, vol. 7,‎ 2004 (lire en ligne).