Fonction totient de Jordan

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En théorie des nombres, la k-ième fonction totient de Jordan Jk — nommée d'après le mathématicien Camille Jordan — est la fonction arithmétique qui à tout entier n > 0 associe le nombre de k-uplets d'entiers compris entre 1 et n qui, joints à n, forment un k + 1-uplet de nombres premiers entre eux. C'est une généralisation de la fonction φ d'Euler, qui est J1.

Calcul[modifier | modifier le code]

La fonction Jk est multiplicative et vaut

où le produit est indexé par tous les diviseurs premiers p de n.

On peut définir plus généralement Jk pour tout réel k non nul et même pour « presque » tout complexe k, par la même formule[1].

Propriétés[modifier | modifier le code]

La formulese réécrit[2] en termes de la convolution de Dirichlet, de la fonction constante 1(n) = 1 et de la fonction puissance Idk(n) = nk :ou encore, par inversion de Möbius : ce qui justifie le qualificatif de « totient » pour Jk.

Une fonction est dite totient si elle est, pour la convolution de Dirichlet, le produit d'une fonction complètement multiplicative et de l'inverse d'une fonction complètement multiplicative[3] — or Idk et l'inverse 1 de μ sont complètement multiplicatives.

Cela permet par ailleurs d'étendre la définition de Jk à tout nombre complexe k : par exemple J0 = δ1[réf. souhaitée].

Fonction totient et séries de Dirichlet[modifier | modifier le code]

Comme la série de Dirichlet génératrice de la fonction de Möbius μ est 1/ζ(s) et celle de Idk est ζ(s – k), on en déduit celle de Jk :

Un ordre moyen de Jk(n) est

La fonction psi de Dedekind (en) est

Ses généralisations, les fonctions multiplicatives Jk/J1 et J2k/Jk, sont encore à valeurs dans ℕ* car elles coïncident, sur les puissances de nombres premiers, avec des produits de polynômes cyclotomiques.

Formule de Gegenbauer (en)[4] :

Ordres de groupes de matrices[modifier | modifier le code]

L'ordre du groupe linéaire GL(m, ℤ/n) est[5]

Celui du groupe spécial linéaire SL(m, ℤ/nℤ) est

Celui du groupe symplectique Sp(2m, ℤ/nℤ) est

Les deux premières formules ont été découvertes par Jordan.

Exemples[modifier | modifier le code]

L'OEIS donne des listes explicites pour J2 (A007434), J3 (A059376), J4 (A059377), J5 (A059378) et J6 à J10 (A069091 à A069095).

Des quotients par J1 sont J2/J1 (A001615), J3/J1 (A160889), J4/J1 (A160891), J5/J1 (A160893), J6/J1 (A160895), J7/J1 (A160897), J8/J1 (A160908), J9/J1 (A160953), J10/J1 (A160957) et J11/J1 (A160960).

Des exemples de quotients J2k/Jk sont J4/J2 (A065958), J6/J3 (A065959) et J8/J4 (A065960).

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Voir Somme de Ramanujan (en), § φ(n) (sous réserve que k ne soit ni nul, ni de la forme i2πm/logp pour un entier non nul m et un nombre premier p, qui sont alors uniques).
  2. (en) Jozsef Sándor et Borislav Crstici, Handbook of number theory II, Kluwer Academic, (ISBN 978-1-4020-2546-4, lire en ligne), p. 106.
  3. (en) Anthony A. Gioia, The Theory of Numbers: An Introduction, Dover, (ISBN 9780486414492, lire en ligne), p. 29
  4. (en) Matthew Holden, Michael Orrison et Michael Varble, « Yet another Generalization of Euler's Totient Function ».
  5. Toutes ces formules sont extraites de (en) Dorin Andrica et Mihai Piticari, « On some Extensions of Jordan's arithmetical Functions », Acta Universitatis Apulensis, vol. 7,‎ (lire en ligne).