Leonhard Euler

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Leonhard Euler
Description de cette image, également commentée ci-après

Portrait par Johann Georg Brucker (1756)

Naissance
Bâle (Suisse)
Décès (à 76 ans)
Saint-Pétersbourg (Empire russe)
Nationalité Drapeau de la Suisse Suisse
Domaines Mathématiques et physique
Institutions Académie des sciences de Russie
Académie de Berlin
Renommé pour Liste complète

Signature

Signature de Leonhard Euler

Leonhard Euler (Speaker Icon.svg audio), né le à Bâle (Suisse) et mort à 76 ans le à Saint-Pétersbourg (Empire russe)[1], est un mathématicien et physicien suisse, qui passa la plus grande partie de sa vie dans l'Empire russe et en Allemagne. Il était notamment membre de l'Académie royale des sciences de Prusse à Berlin.

Euler fit d'importantes découvertes dans des domaines aussi variés que le calcul infinitésimal et la théorie des graphes. Il introduisit également une grande partie de la terminologie et de la notation des mathématiques modernes, en particulier pour l'analyse mathématique, comme la notion de fonction mathématique[2]. Il est aussi connu pour ses travaux en mécanique, en dynamique des fluides, en optique et en astronomie.

Euler est considéré comme un éminent mathématicien du XVIIIe siècle et l'un des plus grands et des plus prolifiques de tous les temps. Une déclaration attribuée à Pierre-Simon de Laplace exprime l'influence d'Euler sur les mathématiques : « Lisez Euler, lisez Euler, c'est notre maître à tous[3] ». Il était un fervent chrétien, croyant en l'inerrance biblique, et s'opposa avec force aux athées éminents de son temps.

Biographie[modifier | modifier le code]

Premières années[modifier | modifier le code]

Ancien billet de 10 francs suisses, honorant Euler

Leonhard Euler naît le 15 avril 1707 à Bâle[1], il est le fils de Paul Euler (1670-1745), modeste pasteur des Églises réformées de Suisse, affecté provisoirement à la paroisse Saint-Jacques au cœur de la cité bâloise et de Margaretha Brucker (1677-1761), fille de pasteur. Il a deux jeunes sœurs du nom d'Anna Maria et de Maria Magdalena[4]. En 1708, alors que Leonhard n'a pas un an, la famille Euler déménage de Bâle pour rejoindre la campagne voisine à Riehen, où Paul Euler est nommé pasteur de la paroisse homonyme. Leonhard passe la plus grande partie de sa prime enfance entre Riehen, modeste village où se situe la maison du pasteur Euler, centre d'un foyer familial pieux et dévot, et Bâle, où réside ses grands-parents, ainsi que la plupart des amis de son père, anciens collègues à l'université de confession calviniste affirmée. Paul Euler, qui a suivi les cours de Jakob Bernoulli, est un ami du médecin, à la fois mathématicien et érudit humaniste, Johann Bernoulli, le frère de Jakob, depuis leurs jeunes années d'études universitaires. Paul donne les premières leçons de mathématiques à son fils et constate rapidement sa précocité d'assimilation et son esprit vif en calcul et géométrie. Lycéen à neuf ans dans la ville de Bâle, le jeune Leonhard réside chez sa grand-mère maternelle et il est déjà familier de la maison Bernoulli. Son père a souhaité au départ le confier au tutorat bienveillant de son ami, qui s'impose petit à petit comme un des principaux mathématiciens européens après avoir repris inopinément la charge de mathématicien de son défunt frère à l'université de Bâle en 1705. Mais le professeur Bernoulli refuse se disant accaparé par sa recherche et les fonctions de sa chaire : il ne peut que conseiller de bonnes lectures d'initiation à Leonhard, le laisser jouer avec son jeune fils Jean comme il en a pris l'habitude, et l'inviter comme un fils au sein de sa famille, pour le grand plaisir de sa femme, si sa grand-mère accepte et s'il est libre, durant les veilles de dimanches et de fêtes religieuses. Conscient des lacunes scientifiques du modeste lycée auquel il l'a inscrit, Paul Euler réserve à son fils des leçons particulières auprès du maître Johannes Burckhardt (1691-1743), à la fois théologien et mathématicien.

À l'âge de treize ans, en 1720, Leonhard est inscrit à l'université de Bâle, et en 1723 obtient sa maîtrise de philosophie ou Magister Philosophiae, grâce à une dissertation qui compare les idées maîtresses de Descartes à celles de Newton. À cette époque, tous les samedis après-midi, l'étudiant peut poser des questions sur les difficultés rencontrées durant ses lectures d'ouvrages recommandés à Johann Bernoulli, qui ne lui donne pas à vrai dire de leçons particulières, mais lui explique au gré de la conversation ouverte les principes et raisonnements à mettre en œuvre. Ce faisant, Johann découvre un intérêt et un certain talent de Leonhard pour les questions mathématiques[5].

Après ces trois années de tronc commun conclue en 1723, le jeune titulaire de la maîtrise doit en principe étudier la théologie, le grec et l'hébreu à la demande de son père, afin de devenir comme lui un bon pasteur, mais Jean Bernoulli parvient à convaincre Paul Euler que Leonhard a des remarquables dispositions pour devenir un excellent mathématicien. En 1726, il termine brillamment ses études de mathématiques. Il recherche en vain un poste universitaire d'assistant en mathématiques. Mais en septembre 1726 lui parvient une invitation de l'académie de sciences de Saint-Pétersbourg sur recommandation des fils de Johann, Daniel et Nicolaus Bernoulli, déjà expatriés en Russie depuis plus d'un an, avec une première offre d'une chaire de physiologie (sic) qui s'explique par la disparition tragique de Nicolaus. En novembre 1726, Leonhard Euler se résigne à accepter finalement l'offre après avoir longtemps hésité, car ses connaissances en physiologie ne seraient que rudimentaire, malgré un début de formation, et il espérait encore un poste de professeur de physique à l'université de Bâle[6]. Ainsi, après une formation rapide et intense à la faculté de médecine de Bâle, il part le 5 avril 1727 vers la lointaine "Venise du Nord". Il n'a pas encore vingt ans.

En 1727, Leonhard participe au concours de l'Académie des sciences de Paris qui consiste à résoudre un problème scientifique. Cette année-là, le problème concret retenu consiste à justifier la meilleure façon de placer les mâts d'un navire. Euler remporte la deuxième place, derrière Pierre Bouguer, aujourd'hui reconnu comme le « père de l'architecture navale ». Par la suite, Euler, assidu participant à ce concours, gagnera le prestigieux prix annuel douze fois dans sa carrière[7].

Saint-Pétersbourg[modifier | modifier le code]

Créée en 1724 par Pierre le Grand, l'académie des sciences de Saint-Pétersbourg était destinée à améliorer l'éducation en Russie et à combler le retard scientifique qui la séparait de l'Europe occidentale. En conséquence, elle était particulièrement intéressante pour les jeunes diplômés de l'université, aventureux, et les maîtres soucieux d'obtenir une chaire. L'académie possède dès l'origine suffisamment de ressources financières et une bibliothèque complète tirée de la bibliothèque privée de Pierre le Grand et de la noblesse russe. Très peu d'étudiants sont inscrits dans l'Académie, de façon à diminuer la charge des professeurs, à mettre l'accent sur la recherche et à offrir à son corps professoral à la fois le temps et la liberté d'effectuer des recherches scientifiques[8].

Répondant à l'appel dès sa fondation, les deux fils de Johannes Bernoulli, Daniel et Nicolaus, y travaillent dès l'année 1725 à l'Académie des sciences de Russie à Saint-Pétersbourg. En juillet 1726, Nicolas meurt de l'appendicite et la reprise par le cadet Daniel du poste de son frère en mathématiques et en physique explique la vacance du poste en physiologie qu'il avait préalablement occupé.

Timbre de 1957 de l'Union soviétique commémorant le 250e anniversaire d'Euler

Euler arrive dans la capitale russe le , le jour de la mort de Catherine Ire de Russie, veuve de Pierre le Grand. Il s'attend à sa grande hantise à être affecté au département médical de l'académie, mais entre temps, un poste d'assistant s'est libéré au département de mathématiques. Il loge et travaille alors auprès de Daniel Bernoulli, qui, nommé professeur, n'est autre que son supérieur direct. Euler maîtrise assez rapidement le russe, puis il s'installe de manière indépendante à Saint-Pétersbourg. Il prend également un emploi additionnel de médecin dans la marine russe[9].

La défunte Catherine Ire de Russie s'était efforcée de suivre la politique de son défunt mari. La noblesse russe reprend lentement le pouvoir lors de l'ascension de Pierre II de Russie, âgé de douze ans. Les membres éminents de la noblesse se méfient des chercheurs étrangers ; le gouvernement réduit le financement universitaire et semble causer diverses tracasseries et difficultés aux recrues étrangères. Leurs conditions de travail semblent toutefois s'améliorer à la mort de Pierre II[10] ; Alors que Euler peut rapidement gravir les échelons au sein de l'Académie, jusqu'à devenir professeur de physique en 1731, Daniel Bernoulli se lasse de la censure et de l'hostilité dont il fait l'objet à Saint-Pétersbourg. Deux ans plus tard, il repart pour Bâle. Euler lui succède alors à la tête du département de mathématiques[11].

Le , il épouse Katharina Gsell (1707-1773), fille du peintre émigré en Russie, Georg Gsell (de) (1673-1740)[12]. Georg Gsell est un peintre suisse originaire de Saint-Gall, recruté par Pierre le Grand en 1716 pendant son voyage en Europe, il est à la fois marchand d'art et conservateur de la Kunstkamera).

Le jeune couple achète une maison avec vue sur la Neva. De leurs treize enfants, cinq seulement atteignent l'âge adulte[13]. Leonhard Euler, après le décès de Katharina Gsell en 1773, épouse l'année suivante une demi-sœur de celle-ci, Salomé Abigail Gsell (1723-1794), fille de Dorothea Graff (1678-1743) et de Georg Gsell (1673-1740). Dorothea Graff, fille de Maria Sibylla Merian était comme elle peintre et naturaliste, et avait accompagné sa mère dans ses expéditions au Surinam[14].

Berlin[modifier | modifier le code]

Timbre de RDA commémorant le 200e anniversaire de la mort d'Euler

Préoccupé par la persistance des troubles en Russie[réf. nécessaire], Euler quitta Saint-Pétersbourg le pour occuper un poste à l'Académie de Berlin, qui lui était proposé par Frédéric II de Prusse. Il vécut pendant vingt-cinq ans à Berlin, où il écrivit plus de 380 articles. À Berlin, il publia deux célèbres ouvrages : l'Introductio in analysin infinitorum (« Introduction à l’analyse des infiniment petits »)[1], un texte sur les fonctions publié en 1748 et Institutiones calculi differentialis (« Traité du calcul différentiel »)[15],[1], publié en 1755 et traitant du calcul différentiel[16].

En outre, Euler fut invité à être le professeur de la princesse d'Anhalt-Dessau, la nièce de Frédéric II. Euler lui écrivit plus de 200 lettres, qui furent ensuite rassemblées dans un best-seller intitulé Lettres à une princesse d'Allemagne (en) sur divers sujets de physique et de philosophie. Cet ouvrage contient des publications d'Euler sur divers sujets se rapportant à la physique et aux mathématiques, mais également sur des sujets philosophiques. Ce livre est devenu le plus largement lu de tous ses travaux mathématiques, et il a été publié en Europe et aux États-Unis. La popularité des « Lettres » témoigne de la capacité d'Euler à communiquer efficacement sur les questions scientifiques au public, une capacité rare pour un chercheur scientifique[16].

Malgré l'immense contribution d'Euler au prestige de l'Académie, il fut finalement contraint de quitter Berlin, en partie à cause d'un conflit de personnalité avec Frédéric II. En effet, le monarque avait moins de considération pour Euler que pour son cercle de philosophes. Voltaire faisait partie de ceux qui étaient aux côtés de Frédéric II, et il eut une bonne place dans le cercle du roi. Euler, simple homme religieux et travailleur acharné, était très classique dans ses convictions et ses goûts. Il fut, à bien des égards, l'opposé de Voltaire. Euler avait une formation limitée en rhétorique, et avait tendance à débattre sur des questions qu'il connaissait peu, faisant de lui une cible fréquente de l'esprit de Voltaire[16]. Frédéric II exprima également sa déception vis-à-vis des capacités d'ingénierie d'Euler :

« Je voulais avoir un jet d'eau dans mon jardin : Euler a calculé la force des roues nécessaire afin d'élever l'eau jusqu'à un réservoir, d'où elle doit redescendre à travers des canaux, pour enfin sortir de la fontaine. Mon moulin a été réalisé géométriquement mais ne peut pas élever une goutte d'eau à moins de cinquante pas du réservoir. Vanité des vanités ! Vanité de la géométrie[17] ! »

Déclin de la vue[modifier | modifier le code]

Portrait de 1753 par Emanuel Handmann. Cette représentation indique des problèmes de la paupière droite et un possible strabisme. L'œil gauche semble en bonne santé, mais il a plus tard été affecté par une cataracte[18].

La vue d'Euler empira tout au long de sa carrière en mathématiques[1]. Trois ans après avoir souffert d'une fièvre quasi mortelle en 1735, il devint presque aveugle de l'œil droit. Euler attribua plutôt son état au travail minutieux qu'il avait effectué en cartographie pour l'Académie de Saint-Pétersbourg. La vue d'Euler de l'œil droit empira tout au long de son séjour en Allemagne, si bien que Frédéric II le surnommait « Cyclope »[19],[20],[21]. Euler souffrit ensuite d'une cataracte de l'œil gauche, le rendant presque totalement aveugle[22]. Il semble que ce mauvais état ait eu peu d'effet sur sa productivité, Euler ayant compensé son handicap par ses compétences en calcul mental et par sa mémoire eidétique. Par exemple, Euler pouvait répéter l'Énéide de Virgile, du début à la fin, sans hésitation, et pour chaque page de son édition, il pouvait citer la première ligne et la dernière. Avec l'aide de ses scribes, la productivité d'Euler dans de nombreux domaines d'étude augmenta en fait. Ainsi, il produisit en moyenne un document de mathématiques par semaine au cours de l'année 1775[23].

Retour en Russie[modifier | modifier le code]

La tombe de Leonhard Euler au monastère Alexandre-Nevski.

La situation en Russie s'était grandement améliorée depuis l'accession au trône de Catherine II de Russie[réf. nécessaire] ; en 1766, Euler accepta une invitation à revenir à l'Académie de Saint-Pétersbourg. C'est ainsi qu'il passa le reste de sa vie en Russie. Son second séjour dans le pays fut cependant marqué par la tragédie. Un incendie à Saint-Pétersbourg en 1771 lui coûta son domicile, et faillit lui ôter la vie. En 1773, il perdit son épouse de 40 ans. Trois ans après la mort de sa femme, Euler se remaria avec la demi-sœur de celle-ci, Salomé Abigail Gsell (1723-1794)[24]. Ce mariage allait durer jusqu'à sa mort.

Le , Euler décéda à Saint-Pétersbourg d'une hémorragie intra-cérébrale[22] et fut enterré avec son épouse au cimetière luthérien de Smolensk sur l'île Vassilievski (au XXe siècle le cimetière a été fermé, les restes d'Euler ont été transférés au cimetière Saint-Lazare du monastère Alexandre-Nevski). Son éloge funèbre fut écrit pour l'Académie française par le mathématicien et philosophe français Nicolas de Condorcet. Le récit de sa vie, avec une liste de ses œuvres, fut écrit par Nikolaus von Fuss, le beau-fils d'Euler et le secrétaire de l'Académie des sciences de Russie. Condorcet écrit dans son Éloge : « … il cessa de calculer et de vivre[25] ».

Contributions aux mathématiques[modifier | modifier le code]

Leonhard Euler a travaillé dans presque tous les domaines des mathématiques : la géométrie, le calcul infinitésimal, la trigonométrie, l'algèbre et la théorie des nombres. Il est une figure capitale de l'histoire des mathématiques : s'ils étaient imprimés, ses écrits, dont beaucoup sont d'un intérêt fondamental, pourraient occuper entre quarante et soixante ouvrages[23]. Le nom d'Euler est associé à un grand nombre de sujets.

Notation mathématique[modifier | modifier le code]

Euler a introduit et popularisé plusieurs conventions de notation par le biais de ses nombreux ouvrages largement diffusés. Plus particulièrement, il a introduit la notion de fonction[2] et a été le premier à écrire '"`UNIQ--postMath-00000001-QINU`"' pour désigner la fonction '"`UNIQ--postMath-00000002-QINU`"' appliquée à l'argument '"`UNIQ--postMath-00000003-QINU`"', en 1734[26]. Il a également introduit la notation moderne des fonctions trigonométriques, la lettre e pour la base du logarithme naturel (également connue sous le nom de nombre d'Euler) en 1727[26], la lettre grecque Σ pour désigner une somme en 1755[26] et la lettre i pour représenter l'unité imaginaire, en 1777[27]. L'utilisation de la lettre grecque π pour désigner le rapport de la circonférence d'un cercle à son diamètre a également été popularisée par Euler, mais celui-ci n'est pas à l'origine de la notation.

Analyse[modifier | modifier le code]

Le développement du calcul infinitésimal a été au premier plan des recherches mathématiques du XVIIIe siècle, et la famille Bernoulli — amis d'Euler — est à l'origine de nombreux progrès dans ce domaine. Grâce à leur influence, l'étude du calcul infinitésimal est devenu l'un des axes principaux du travail d'Euler. Bien que certaines des démonstrations d'Euler ne soient pas acceptables au regard des normes modernes de rigueur mathématique[28], ses idées ont tout de même conduit à de grandes avancées.

Euler est bien connu dans le domaine de l'analyse pour son usage fréquent des séries numériques et des séries entières. Il a notamment montré que le nombre '"`UNIQ--postMath-00000004-QINU`"' est la somme de la série de terme général '"`UNIQ--postMath-00000005-QINU`"' :

'"`UNIQ--postMath-00000006-QINU`"'

Il a trouvé le « développement en série entière » de la fonction exponentielle :

'"`UNIQ--postMath-00000007-QINU`"'

et celui de la fonction arc tangente.

Sa ténacité à utiliser les développements en séries lui a permis de résoudre le fameux problème de Bâle en 1735[28] :

'"`UNIQ--postMath-00000008-QINU`"'

Euler est pleinement conscient de la nécessité de démontrer rigoureusement les résultats de convergence dont il se sert, mais cela ne l'empêche pas d'écrire également des formules « paradoxales » telle que '"`UNIQ--postMath-00000009-QINU`"', de définir des règles d'emploi et de calcul avec de telles séries divergentes, et de les utiliser pour obtenir des résultats inattendus concernant, par exemple, la fonction zêta[29].

Une interprétation géométrique de la formule d'Euler

Euler a introduit l'utilisation de la fonction exponentielle et des logarithmes dans les démonstrations en analyse. Il a découvert des moyens d'exprimer différentes fonctions logarithmiques en utilisant les séries entières, et il a étendu la notion de logarithme aux nombres négatifs et aux nombres complexes[27]. Il a également défini la fonction exponentielle pour les nombres complexes, et a découvert la relation qui la lie aux fonctions trigonométriques :

pour tout réel '"`UNIQ--postMath-0000000A-QINU`"', '"`UNIQ--postMath-0000000B-QINU`"'

Un cas particulier de cette « formule d'Euler », obtenu en donnant à '"`UNIQ--postMath-0000000C-QINU`"' la valeur '"`UNIQ--postMath-0000000D-QINU`"' est

'"`UNIQ--postMath-0000000E-QINU`"', qu'on préfère souvent écrire : '"`UNIQ--postMath-0000000F-QINU`"'

formule connue sous le nom d'identité d'Euler, et qualifiée de « formule la plus remarquable des mathématiques » par Richard Feynman, car elle réunit en seulement 7 caractères l'addition, la multiplication, l'exponentiation, l'égalité et les constantes remarquables 0, 1, '"`UNIQ--postMath-00000010-QINU`"', '"`UNIQ--postMath-00000011-QINU`"' et '"`UNIQ--postMath-00000012-QINU`"'[30]. En 1988, les lecteurs de The Mathematical Intelligencer l'ont désignée comme « la plus belle formule mathématique de tous les temps[31],[32] ». Au total, le nom d'Euler figurait dans trois des cinq formules arrivées en tête de ce vote[31],[32].

La formule de De Moivre

'"`UNIQ--postMath-00000013-QINU`"'

est une conséquence directe de la formule d'Euler.

En outre, Euler a contribué à la théorie des fonctions transcendantes avec l'introduction de la fonction bêta et de la fonction gamma. Il a également introduit une nouvelle méthode pour résoudre les équations quartiques. Il a aussi trouvé une façon de calculer des intégrales avec des limites complexes, préfigurant le développement moderne de l'analyse complexe, et a inventé le calcul des variations, qui inclut l'un de ses résultats les plus célèbres, nommé l'équation d'Euler-Lagrange.

Euler fut le pionnier de l'utilisation de méthodes d'analyse pour résoudre des problèmes de la théorie des nombres. Ce faisant, il a réuni deux branches différentes des mathématiques et introduit un nouveau champ d'étude : la théorie analytique des nombres. Euler a aussi introduit la théorie des séries hypergéométriques, des fonctions hyperboliques et la théorie analytique des fractions continues. Par exemple, il a prouvé l'infinité des nombres premiers en utilisant la divergence de la série harmonique, et il a utilisé les méthodes analytiques pour avoir une meilleure compréhension de la répartition des nombres premiers. Les travaux d'Euler dans ce domaine ont contribué à l'élaboration du théorème des nombres premiers[33].

Théorie des nombres[modifier | modifier le code]

L'intérêt d'Euler dans la théorie des nombres peut être attribué à l'influence de Christian Goldbach, son ami[34] à l'Académie de Saint-Pétersbourg. Un grand nombre des premiers travaux d'Euler en théorie des nombres est fondé sur les travaux de Pierre de Fermat. Euler a développé quelques idées de Fermat, et a réfuté certaines de ses conjectures.

Euler a fait le lien entre la distribution des nombres premiers et l'analyse. Il a démontré que la série des inverses des nombres premiers diverge[35]. Pour ce faire, il a découvert le lien entre la fonction zêta de Riemann et les nombres premiers.

Euler a démontré les identités de Newton, le petit théorème de Fermat, le théorème des deux carrés de Fermat, et il a également travaillé sur le théorème des quatre carrés de Lagrange. Il a aussi défini la fonction '"`UNIQ--postMath-00000014-QINU`"' qui associe à tout entier '"`UNIQ--postMath-00000015-QINU`"' le nombre d'entiers positifs inférieurs à '"`UNIQ--postMath-00000016-QINU`"' et qui sont premiers avec '"`UNIQ--postMath-00000017-QINU`"' En utilisant les propriétés de cette « indicatrice », il a généralisé le petit théorème de Fermat pour aboutir à ce qui est maintenant connu sous le nom de théorème d'Euler. Il a contribué de manière significative à la recherche sur les nombres parfaits, qui ont fasciné les mathématiciens depuis Euclide. Euler a également conjecturé la loi de réciprocité quadratique. Cet énoncé est considéré comme un théorème fondamental de la théorie des nombres, et en cela Euler a ouvert la voie aux travaux de Carl Friedrich Gauss[36].

En 1772, Euler a démontré que '"`UNIQ--postMath-00000018-QINU`"' 2 147 483 647 est un nombre de Mersenne premier. Il est resté le plus grand nombre premier connu jusqu'en 1867[37].

Géométrie[modifier | modifier le code]

Comme dans les autres domaines des mathématiques, les contributions d'Euler à la géométrie sont exceptionnelles : angles d'Euler, droite d'Euler, cercle d'Euler, relation entre cercle inscrit et circonscrit, etc.

À titre d'exemple, il a montré que, pour tout triangle, les neuf points suivants :

  • les pieds des trois hauteurs (H1 H2 H3 dans le diagramme)
  • les milieux des trois côtés (I1 I2 I3 dans le diagramme)
  • les milieux de chacun des segments reliant l'orthocentre aux sommets du triangle (J1 J2 J3 dans le diagramme)

sont situés sur un même cercle[38]. Ce « cercle des neuf points » est encore appelé « cercle d'Euler » associé au triangle.

Il a démontré aussi que, dans tout triangle, l'orthocentre, le centre du cercle circonscrit, le centre de gravité et le centre du cercle des neuf points sont alignés[38]. La droite qui les porte est appelée « droite d'Euler » associée au triangle.

Cercle et droite d'Euler d'un triangle quelconque


Cercle et droite d'Euler d'un triangle quelconque

Théorie des graphes[modifier | modifier le code]

Carte de Königsberg au temps d'Euler, montrant le schéma réel de disposition des sept ponts

En 1736, Euler résolut le problème des sept ponts de Königsberg[39]. La ville de Königsberg[40], en Prusse, est traversée par la rivière Pregolia, qui entoure deux grandes îles reliées entre elles et aux deux rives par sept ponts. Le problème était de savoir s'il est possible de suivre un chemin qui emprunte chaque pont une fois et une seule et revienne au point de départ. Euler a établi que, pour que ce soit possible, il aurait fallu que chacune des quatre zones géographiques (les deux îles et les deux rives) soit atteinte par un nombre pair de ponts — en termes modernes : que chacun des quatre « sommets » du « graphe » soit adjacent à un nombre pair d'« arêtes » (un graphe ayant cette propriété est dit « eulérien »). La résolution de ce problème est considérée comme le premier théorème de la théorie des graphes[39].

Euler a également établi la formule '"`UNIQ--postMath-00000019-QINU`"' liant le nombre de sommets, d'arêtes et de faces d'un polyèdre convexe[41], et donc d'un graphe planaire. La constante de cette formule est maintenant connue comme la caractéristique d'Euler pour un graphe (ou pour un autre objet mathématique), et est liée au genre de l'objet[42]. L'étude et la généralisation de cette formule, notamment par Cauchy[43] et L'Huillier[44], est à l'origine de la topologie.

En outre, Leonhard Euler est le premier à avoir étudié le problème du cavalier, en 1759. Il publiera ses recherches sur la question dans « Solution d'une question curieuse qui ne paraît soumise à aucune analyse »[45].

Mathématiques appliquées[modifier | modifier le code]

Certains des plus grands succès d'Euler ont été dans la résolution des problèmes analytiques dans des domaines autres que les mathématiques et dans la description de nombreuses applications des nombres de Bernoulli, des séries de Fourier, des diagrammes de Venn, des nombres d'Euler, des constantes e et π, des fractions continues et des intégrales. Il a développé des outils qui rendent plus faciles à appliquer certains problèmes physiques. Il a fait progresser le domaine de l'amélioration de l'approximation numérique d'intégrales, en inventant ce qui est maintenant connu sous le nom de méthode d'Euler. Euler a également démontré, en même temps que l'Écossais Colin Maclaurin — mais indépendamment — la formule d'Euler-Maclaurin. Il a aussi facilité l'utilisation des équations différentielles, en particulier en introduisant la constante d'Euler-Mascheroni :

'"`UNIQ--postMath-0000001A-QINU`"'

Un des domaines les moins communs qui intéressaient Euler était l'application des idées mathématiques à la musique. En 1739, il écrivit Tentamen novae theoriae musicae, dans l'espoir de finalement intégrer la théorie musicale aux mathématiques. Cette partie de son travail, cependant, n'a pas reçu une grande attention et a été décrite comme trop mathématique pour les musiciens mais aussi trop musicale pour les mathématiciens[46]. On y trouve cependant le tout premier exemple de théorie des graphes avec une disposition des notes couramment utilisée de nos jours en analyse musicale, le Tonnetz, mieux développé dans De harmoniae veris principiis per speculum musicum repraesentatis en 1774.

Autres sciences[modifier | modifier le code]

Leonhard Euler a également contribué à d'autres sciences, comme certains domaines des sciences physiques, en étudiant par exemple le mouvement de la Lune.

Physique et astronomie[modifier | modifier le code]

Euler a contribué à l'élaboration de la théorie d'Euler-Bernoulli, qui est un modèle utilisé dans le domaine de la résistance des matériaux. En dehors de l'application avec succès de ses outils d'analyse aux problèmes liés à la mécanique newtonienne, Euler a également appliqué ses techniques à des problèmes d'astronomie. Ses travaux dans cette science ont été reconnus par un certain nombre de prix décernés par l'Académie de Paris au cours de sa carrière[47]. Ses réalisations comprennent la détermination avec une grande précision des orbites des comètes et des autres corps célestes, mais aussi la compréhension de la nature des comètes, et le calcul de la parallaxe du Soleil. Ses calculs ont également contribué à l'élaboration de tables précises de longitudes[48].

En dynamique des fluides, Euler fut le premier à poser les équations désormais connues sous le nom d'équations d'Euler des fluides parfaits, dans « Mémoires de l'Académie royale des sciences et des belles lettres de Berlin » (1757). Elles permettent le calcul de nombreux écoulements, comme la circulation sanguine, l'aérodynamique des automobiles et des avions, l'hydraulique, l'océanographie, la météorologie ou la grande tache rouge de Jupiter[49].

En outre, Euler a fait d'importantes contributions en optique. Il a exprimé son désaccord avec la théorie corpusculaire de la lumière de Newton dans Opticks, qui était alors la théorie dominante. Ses documents des années 1740 sur l'optique ont contribué à faire en sorte que la théorie ondulatoire de la lumière proposée par Christian Huygens devienne la théorie la plus largement répandue, au moins jusqu'au développement de la théorie quantique de la lumière[50].

Logique[modifier | modifier le code]

Il est aussi crédité pour avoir, avec l'aide des courbes fermées, illustré le raisonnement syllogistique, en 1768. Ces schémas sont désormais connus sous le nom de diagrammes d'Euler[51]. Ainsi, le diagramme de gauche illustre le syllogisme suivant :

Illustration d'un syllogisme de la deuxième figure par un diagramme d'Euler.
Aucun prêtre n'est un singe.
Or, les chimpanzés sont des singes.
Donc, les chimpanzés ne sont pas prêtres.

Philosophie personnelle et croyances religieuses[modifier | modifier le code]

Leonhard Euler et son ami Daniel Bernoulli ont été des adversaires de la Monadologie de Leibniz et de la philosophie de Christian Wolff. Euler a insisté sur le fait que la connaissance est fondée en partie sur la base de lois quantitatives précises. Les tendances religieuses d'Euler pourraient aussi avoir eu une incidence sur son aversion de la doctrine, il est allé jusqu'à qualifier les idées de Wolff de « sauvages et athées[52] ».

Beaucoup de ce qui est connu des croyances religieuses d'Euler peut être déduit de ses Lettres à une princesse d'Allemagne sur divers sujets de physique et de philosophie et d'un ouvrage antérieur, Rettung der Göttlichen Offenbahrung Gegen die Einwürfe der Freygeister. Ces écrits montrent qu'Euler était un fervent chrétien qui estimait que la Bible avait été inspirée[53].

Une anecdote rapportée par Dieudonné Thiébault[54] met en scène les croyances religieuses d'Euler. Le philosophe français Denis Diderot, en visite à Saint-Pétersbourg en 1773-1774, avait accepté, à la demande de l'impératrice Catherine II, de voir la preuve de l'existence de Dieu qu'Euler prétendait pouvoir produire. Les deux hommes se rencontrèrent donc et Euler, sur un ton d'une parfaite conviction annonça « Monsieur, (a + bn)/n = x ; donc Dieu existe, répondez[55] ! » . Le désarroi de Diderot, pour qui, (selon l'anecdote) les mathématiques étaient incompréhensibles, provoqua les rires de la cour. Gêné, il demanda à quitter la Russie. Il est plus que probable que l'anecdote soit apocryphe[55] et Thiébault ne prétend pas le contraire. De toute évidence, ce dernier n'était pas présent, ses mémoires sont tardifs, la formule soi-disant donnée par Euler n'a aucun sens et Diderot n'était pas étranger aux mathématiques – comme en atteste la réputation qu'il s'était faite avec ses Mémoires sur différents sujets de mathématiques entre autres.

Publications[modifier | modifier le code]

La couverture de Methodus inveniendi lineas curvas, écrit par Euler

Leonhard Euler a beaucoup écrit[56]. Ses ouvrages les plus connus sont :

  • Éléments d'algèbre (en) — Cet ouvrage d'algèbre élémentaire commence par une discussion sur la nature des nombres et donne une introduction à l'algèbre, incluant les formules pour les solutions d'équations polynomiales. Écrit en 1765 en allemand sous le titre Vollständige Anleitung zur Algebra, traduction en russe publiée en 1770 par l'Académie des sciences de Saint-Pétersbourg, puis :
  • Introductio in analysin infinitorum, Marcum-Michaelem Bousquet & socios, 1748, Livre I : (ISBN 0387968245), Livre II : (ISBN 0387971327)
  • Lettres à une Princesse d'Allemagne, Barthelemy Chirol, Genève, 1775
  • Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes, sive solutio problematis isoperimetrici latissimo sensu accepti, 1744 ; le titre latin se traduit par « Une méthode pour trouver des lignes courbes jouissant de propriétés de maximum ou de minimum, ou la solution de problèmes isopérimétrique dans le sens le plus large ».
  • Tractatus de numerorum doctrina capita sedecim, quae supersunt (E792, 1849) : une introduction à la théorie des nombres, qu'Euler avait commencé à rédiger vers 1750 et annotée plus tard, puis abandonnée[57].
  • Leonhard Euler, Écrits sur la musique, Tome 1 : Tentamen novae theoria musicae, et autres textes (Textes français avec introduction, présentation, commentaires historiques, mathématiques et musicaux par Renzo Caddeo, Xavier Hascher, Pierre Jehel, Athanase Papadopoulos et Hélène Papadopoulos), Hermann, Paris, 2015. (ISBN 2705690921).
  • Leonhard Euler, Écrits sur la musique, Tome 2 : Mémoires sur la musique, Lettres à une princesse d’Allemagne, Correspondance (Textes français avec introduction, présentation, commentaires historiques, mathématiques et musicaux par Renzo Caddeo, Xavier Hascher, Pierre Jehel, Athanase Papadopoulos et Hélène Papadopoulos), Hermann, Paris, 2015. (ISBN 9782705691288).

Édition des œuvres complètes[modifier | modifier le code]

Nommée Opera Omnia, la publication des écrits d'Euler par la Commission Euler (de)[58] de l'Académie suisse des sciences naturelles a débuté en 1911. Initialement prévue en trois séries, la décision d'en ajouter une quatrième comprenant sa correspondance est prise en 1967[59]. Ces quatre séries, pour un total de plus de 80 volumes, se décomposent ainsi :

  1. Opera mathematica
  2. Opera mechanica et astronomica
  3. Opera physica, Miscellanea
  4. Commercium epistolicum

Hommages et distinctions[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. a, b, c, d et e « Leonhard Euler », sur Encarta
  2. a et b (en) William Dunham, Euler: The Master of Us All, Washington, MAA, (ISBN 978-0-88385328-3, lire en ligne), p. 17
  3. Dunham 1999, p. xiii
  4. (en) N. N. Bogolyubov, G. K. Mikhailov et A. P. Yushkevich, Euler and Modern Science, MAA, (ISBN 978-0-88385564-5, lire en ligne), p. 400.
  5. (en) Ioan James, Remarkable Mathematicians: From Euler to von Neumann, Cambridge, (ISBN 0-521-52094-0), p. 2.
  6. Calinger 1996, p. 125
  7. (en) Ronald Calinger, « Leonhard Euler: The First St. Petersburg Years (1727–1741) », Historia Mathematica, vol. 23, no 2,‎ , p. 156 (DOI 10.1006/hmat.1996.0015).
  8. Calinger 1996, p. 124.
  9. Calinger 1996, p. 127
  10. L'accession de l'impératrice Anna Ivanovna s'accompagne d'une augmentation (mal vécue) de l'influence politique et culturelle allemande en Russie.
  11. Calinger 1996, p. 128-129.
  12. Bogolyubov, Mikhailov et Yushkevich 2007, p. 402.
  13. (en) Nicolas Fuss, « Eulogy of Euler by Fuss » (consulté le 30 août 2006)
  14. Bogolyubov, Mikhailov et Yushkevich 2007, p. 396.
  15. (en) « E212 -- Institutiones calculi differentialis cum eius usu in analysi finitorum ac doctrina serierum », Dartmouth.
  16. a, b et c Dunham 1999, p. xxiv–xxv.
  17. (en) Frédéric II de Prusse (trad. Richard Aldington), Letters of Voltaire and Frederick the Great, Letter H 7434, 25 January 1778, New York, Brentano's,
  18. Calinger 1996, p. 154-155
  19. Leonhard Euler, Commercium cum P.-L. M. de Maupertuis et Frédéric II, Birkhäuse, , 290 p. (ISBN 3764311843).
  20. « Leonhard Euler », sur Maths et tiques (consulté le 13 mai 2009).
  21. « Euler Leonhard, le plus grand ? », sur Maths93 (consulté le 13 mai 2009).
  22. a et b « Leonhard Euler », sur Bibm@th.net (consulté le 13 mai 2009).
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  26. a, b et c Xavier Hubaut, « Leonhard Euler », sur Mathématiques du secondaire (consulté le 14 mai 2009)
  27. a et b Carl B. Boyer, A History of Mathematics, John Wiley & Sons (ISBN 0-471-54397-7), p. 439-445.
  28. a et b Gerhard Wanner, Analysis by its history, Springer, , p. 62
  29. Texte original d'Euler sur ces séries ; concernant ces formules, il écrit lui-même (p. 2) : "cela doit paraître bien paradoxe", ajoutant : "mais j'ai déjà remarqué dans une autre occasion, qu'il faut donner au mot somme une signification plus étendue".
  30. (en) Richard P. Feynman, Robert B. Leighton (en) et Matthew Sands (en), Feynman Lectures on Physics [détail de l’édition], vol. I, juin 1970, p. 10, chap. 22: Algebra
  31. a et b (en) David Wells, « Are these the most beautiful? », Mathematical Intelligencer, vol. 12, no 3,‎ , p. 37–41.
  32. a et b (en) David Wells, « Which is the most beautiful? », Mathematical Intelligencer, vol. 10, no 4,‎ , p. 30–31.
  33. Dunham 1999, chap. 3 et 4
  34. Xavier Viennot, « De Leonhard Euler aux mathématiques combinatoires d'aujourd'hui », sur IREM de Lyon, (consulté le 10 mars 2013)
  35. Leonhard Euler, « Variae observationes circa series infinitas », (consulté le 10 mars 2013)
  36. Dunham 1999, chap. 1 et 4
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  54. Dieudonné Thiébault, Souvenirs de vingt ans de séjour à Berlin, T. III, Paris, F. Buisson, (lire en ligne), p. 142. L'anecdote est commentée dans (en) B. H. Brown, « The Euler-Diderot Anecdote », Amer. Math. Month., vol. 49, no 5,‎ , p. 302–303 (DOI 10.2307/2303096, lire en ligne) et dans (en) R. J. Gillings, « The So-Called Euler-Diderot Incident », Amer. Math. Month., vol. 61, no 2,‎ , p. 77–80 (DOI 10.2307/2307789, lire en ligne).
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  56. Au début du XXe siècle, Gustaf Eneström (en) en a fait l'inventaire. Il en répertorie 866. Cette classification est utilisée par les historiens pour identifier les écrits d'Euler.
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Voir aussi[modifier | modifier le code]

Sur les autres projets Wikimedia :

Bibliographie[modifier | modifier le code]

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  • Philippe Henry (sous la direction de), Leonhard Euler, « incomparable géomètre », Médecine & Hygiène, Genève, 2007 (ISBN 978-2-88049-241-0).
  • André Warusfel, Euler : les mathématiques et la vie, Vuibert, (ISBN 271172218X).

Articles connexes[modifier | modifier le code]

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