Connexion de Levi-Civita

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En géométrie riemannienne, la connexion de Levi-Civita est une connexion de Koszul naturellement définie sur toute variété riemannienne ou par extension sur toute variété pseudo-riemannienne. Ses propriétés caractérisent la variété riemannienne. Notamment, les géodésiques, courbes minimisant localement la distance riemannienne, sont exactement les courbes pour lesquelles le vecteur vitesse est parallèle. De plus, la courbure de la variété se définit à partir de cette connexion ; des conditions sur la courbure imposent des contraintes topologiques sur la variété.

La connexion de Levi-Civita est appelée en référence au mathématicien italien Tullio Levi-Civita (1873 - 1941) qui a introduit les concepts de transport parallèle pour les besoins de la relativité générale.

L'exemple des surfaces paramétrées[modifier | modifier le code]

La considération des surfaces paramétrées permet de comprendre le cheminement qui conduit à la définition de la connexion de Levi-Civita. Soit une surface paramétrée plongée dans l'espace de dimension 3, et soit X et Y deux champs de vecteurs tangents à cette surface. Le plan tangent admet pour base locale les vecteurs et . Notons et les composantes de X dans cette base, et de même pour Y.

On souhaite décrire l'évolution du champ Y lorsqu'on suit une ligne de champ de X, et en particulier définir une dérivation de Y dans la direction X. Plaçons-nous pour cela en un point M de la surface, et considérons un déplacement . Ce point n'appartient pas nécessairement à la surface, aussi projetons-le orthogonalement en un point N de la surface. On peut penser à définir la dérivée de Y dans la direction X au point M comme étant égal à . Mais l'expression de cette limite comporte deux parties. La première, égale à est effectivement combinaison linéaire des deux vecteurs de la base locale du plan tangent à la surface au point M. L'autre est une forme bilinéaire symétrique de X et de Y qui fait intervenir les dérivées secondes de la fonction M. Notons-la . Pour obtenir une limite qui soit élément du plan tangent, on projette orthogonalement[1] cette deuxième partie sur le plan tangent. On obtient alors une expression , somme de la première partie, et d'une forme bilinéaire symétrique de X et de Y s'exprimant à partir des coefficients de la première forme fondamentale g et de leurs dérivées. Si pour tout i et j valant u ou v, on pose , alors :

.

Les coefficients s'appellent symboles de Christoffel. Par ailleurs, on peut vérifier que l'opérateur vérifie les propriétés suivantes :

pour toute fonction f
où [ , ] désigne le crochet de Lie
pour tout champ X, Y, Z

Ce sont ces propriétés qui vont servir d'axiomes afin de définir une connexion de Levi-Civita dans le cas général d'une variété riemannienne.

Définition axiomatique[modifier | modifier le code]

Une métrique pseudo-riemannienne g de classe sur une variété différentielle M est la donnée d'une famille gx de formes bilinéaires symétriques non dégénérées sur les espaces tangents , de sorte que pour tous champs de vecteurs X et Y de classe , la fonction g(X,Y) soit de classe . La signature de g est localement constante sur U. La métrique g est dite riemannienne si en tout point x la forme gx est (définie) positive.

Il existe une unique connexion de Koszul ∇ sur , appelée connexion de Levi-Civita vérifiant les deux conditions :

  1. ∇ est sans torsion (en) : pour tous champs de vecteurs et ,
     ;
  2. est parallèle : pour tous champs de vecteurs , et , on a :
.

La démonstration donnée dans la boite déroulante donne une expression implicite de la connexion de Levi-Civita. Toutefois, cette expression est souvent peu utile. Seules les propriétés énoncées dans sa définition suffisent.

Coordonnées locales[modifier | modifier le code]

Considérons une carte locale de coordonnées en un point de la variété riemannienne, et soit la base locale correspondant aux dérivations par rapport aux . Soient les composantes du tenseur métrique g dans la base locale. Les propriétés axiomatiques de la connexion permettent de déterminer les symboles de Christoffel tels que (en notation d'Einstein) :

On prouve en effet que (en notation d'Einstein) :

où le tenseur est l'inverse du tenseur .

Réciproquement, soient X et Y deux champs de vecteurs de composantes respectives et dans la base locale. On peut reconstituer à partir des coefficients de Christoffel. On a en effet (en notation d'Einstein) :

qu'on peut également écrire :

Cette expression est analogue à une composition des vitesses telle qu'on en rencontre dans les changements de référentiels en physique. Supposons que X désigne la vitesse avec laquelle on parcourt un arc paramétré de la variété différentielle. On peut alors interpréter comme la vitesse absolue avec laquelle Y varie lorsqu'on se déplace le long de l'arc. La quantité représente la vitesse relative avec laquelle Y varie dans la base . La quantité est la vitesse d'entraînement, vitesse à laquelle Y varierait si ses composantes dans la base étaient constantes. Cette dernière vitesse est due uniquement à la façon dont les vecteurs de base varient au cours du déplacement. Lorsque les sont nuls, on dit que la base est transportée parallèlement à l'arc parcouru. Les variations de Y sont alors dues uniquement aux variations de ces composantes dans la dite base.

Courbure[modifier | modifier le code]

Exemples[modifier | modifier le code]

Métriques induites[modifier | modifier le code]

Soit M une variété, et N une sous-variété munie de la métrique induite par celle de M. Alors la connexion de Levi-Civita s'obtient à partir de celle de M en la projetant orthogonalement sur l'espace tangent à N. Autrement dit, pour tout vecteur V et W tangents à N, est le projeté orthogonal sur l'espace tangent à N de .

Métriques conformes[modifier | modifier le code]

Deux métriques g et g' sont dites conformes si, en chaque point de la variété, elles sont proportionnelles l'une à l'autre. Le coefficient de proportionnalité étant strictement positif et dépendant du point considéré, il existe une fonction f telle que g' = e2f.g. La connexion de Levi-Civita de g' est alors donnée par[2] :

où le gradient de f est pris relativement à la métrique g.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  1. Jacques Fontaine, Introduction aux variétés différentielles, EDP Sciences (2010), p.133
  2. Pierre Pansu, connexion de Levi-Civita, p.10