Connexion (mathématiques)

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Transport parallèle sur une sphère

En géométrie différentielle, la connexion est un outil pour réaliser le transport parallèle. Il existe plusieurs présentations qui dépendent de l'utilisation faite. Cette notion a été développée au début des années 1920 par Élie Cartan et Hermann Weyl (avec comme cas particulier celle de connexion affine), puis reformulée en 1951 par Charles Ehresmann et Jean-Louis Koszul.

Connexion de Koszul[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Connexion de Koszul.

La connexion de Koszul est un opérateur sur des espaces de sections. Elle a été introduite en 1951 par Koszul pour les fibrés vectoriels, et utilisée par Katsumi Nomizu en 1954[1].

Cet opérateur fait correspondre à toute section globale s d'un fibré vectoriel E de base B, et à tout champ vectoriel sur B, une section globale notée \scriptstyle\nabla_Xs vérifiant :

  1. L'application \scriptstyle X\mapsto \nabla_Xs est \scriptstyle C^\infty(M)-linéaire ; autrement dit, pour toute fonction régulière f, on a :
    \nabla_{f\cdot X}s=f\cdot\nabla_Xs.
  2. la relation de Leibniz :
    \nabla_{X}(f\cdot s)=df(X)\cdot s+f\cdot \nabla_Xs.

La relation de Leibniz démontre que la valeur de \scriptstyle\nabla_Xs en un point b de B ne dépend que des variations de s au voisinage de b. La \scriptstyle C^\infty(M)-linéarité implique que cette valeur ne dépend que de X(p). Intuitivement, la notion de connexion a pour but de généraliser aux variétés différentielles la notion de dérivée suivant un vecteur, la quantité \nabla_Xs pouvant être interprétée comme la dérivée de s dans la direction X.

Connexion de Ehresmann[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Connexion de Ehresmann.

Les connexions de Ehresmann sont des généralisations aux fibrés des connexions de Koszul. De façon plus précise, une connexion de Ehresmann sur E est un sous-fibré régulier H de TE, le fibré tangent de E.

Connexion de Levi-Civita[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Connexion de Levi-Civita.

Une métrique riemannienne g de classe C^k sur une variété différentielle M étant donnée, il existe une unique connexion de Koszul ∇ sur T_xM, appelée connexion de Levi-Civita vérifiant les deux conditions :

  1. ∇ est sans torsion (en) : pour tous champs de vecteurs X et Y,
    \nabla_XY-\nabla_YX=[X,Y] ;
  2. g est parallèle : pour tous champs de vecteurs X, Y et Z, on a :
 Z\cdot g(X,Y)=g(\nabla_ZX,Y)+g(X,\nabla_ZY).

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Note et références[modifier | modifier le code]

Note[modifier | modifier le code]

  1. (en) Katsumi Nomizu, Invariant affine connections on homogeneous spaces, dans Amer. J. Math., vol. 76, 1954, p. 33-65

Références[modifier | modifier le code]