Équation des géodésiques

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Dans une variété riemannienne, on obtient l'équation d'une géodésique en exprimant que sa longueur est minimale – par définition.

Un système de coordonnées étant donné, le tenseur métrique donne la longueur d'une courbe infinitésimale[1] :

.

Le signe optionnel est choisi en fonction du signe de l'intervalle et de la signature du tenseur métrique.

Si la courbe est paramétrée au moyen d'une variable , on écrit

,

où le point supérieur représente la dérivée totale par rapport à . La longueur de la trajectoire est donc égale à l'intégrale :

En utilisant la méthode de Lagrange relative au calcul des variations pour exprimer que l'intégrale est minimale, on obtient l'équation géodésique

La paramétrisation canonique des trajectoires permet d'obtenir une équation mettant en jeu les symboles de Christoffel :

Exemple[modifier | modifier le code]

Considérons le demi-plan de Poincaré, dont les points sont repérés par un couple (x,y), avec y > 0. La métrique sur ce demi-plan est donnée au point (x,y) par :

Le calcul des symboles de Christoffel à partir de ce tenseur donne :

L'équation des géodésiques donne, en notant et :

auxquelles on peut rajouter l'équation qui a servi d'hypothèse pour établir l'équation des géodésiques, ce qui donne ici :

Si on remplace par dans la première équation, on obtient dont les solutions sont de la forme pour une certaine constante . La relation donne alors .

Si est nul, on obtient respectivement x constant et (en choisissant convenablement l'origine des temps). La géodésique est une droite parallèle à Oy, parcourue de façon exponentielle. On s'approche indéfiniment du bord y=0 ou on s'éloigne indéfiniment en faisant tendre t vers l'infini.

Si est non nul, l'intégration de l'équation conduit à (en choisissant convenablement l'origine des temps). Puis l'intégration de l'équation conduit à (à translation près parallèlement à Ox). On constate que et les géodésiques sont des demi-cercles de diamètre porté par Ox. Quand t tend vers l'infini, on s'approche indéfiniment du bord Oy qui constitue une limite du demi-plan de Poincaré située à l'infini.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. On utilise la convention de sommation d'Einstein, permettant d'alléger les symboles de sommation.