Relation réflexive

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En mathématiques, une relation binaire peut avoir, entre autres propriétés, la réflexivité ou l'antiréflexivité (ou irréflexivité).

Une relation R sur un ensemble X est dite :

  • réflexive si tout élément de X est R-relié à lui-même :ou encore, si le graphe de R contient la diagonale de X (qui est le graphe de l'égalité) ;
  • antiréflexive (ou irréflexive) si aucun élément de X n'est R-relié à lui-même :ou encore, si son graphe est disjoint de la diagonale de X.

La réflexivité et l'antiréflexivité sont deux propriétés incompatibles (R n'est jamais à la fois réflexive et antiréflexive, sauf si X est l'ensemble vide) mais ne sont pas la négation l'une de l'autre (R peut n'être ni réflexive, ni antiréflexive).

Exemples[modifier | modifier le code]

Les relations d'équivalence et les préordres (en particulier les relations d'ordre) sont réflexives ; les relations d'ordre strict sont antiréflexives (suivre les liens pour des exemples de tous ces types de relations).

La relation « n'est pas égal à » (≠) est antiréflexive.

Dans un ensemble de personnes, la relation « est enfant de » est antiréflexive : personne n'est son propre enfant.

Une relation sur un ensemble d'au moins deux éléments peut n'être ni réflexive, ni irréflexive : il suffit qu'au moins un élément soit en relation avec lui-même et un autre non :

  • sur l'ensemble des entiers naturels, la relation « est premier avec » n'est ni réflexive (en général, un entier n'est pas premier avec lui-même), ni antiréflexive (l'entier 1 est l'exception) ;
  • sur l'ensemble des entiers relatifs, la relation « est l'opposé de » n'est ni réflexive (en général, un nombre n'est pas son propre opposé), ni antiréflexive (l'entier 0 est l'exception).

Clôture réflexive[modifier | modifier le code]

La clôture réflexive d'une relation R sur X est la relation sur X, notée ici Rrefl, dont le graphe est l'union de celui de R et de la diagonale de X :

C'est la plus petite (au sens de l'inclusion des graphes) relation réflexive contenant R.

Par exemple, toute relation d'ordre ≤ est la clôture réflexive de l'ordre strict < associé.

Référence[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Reflexive relation » (voir la liste des auteurs).

Article connexe[modifier | modifier le code]

Clôture transitive et clôture réflexive transitive