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En analyse , l'intégrale définie[a , b ] , d'une fonction intégrable f primitive F f
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
[
F
(
x
)
]
a
b
:=
F
(
b
)
−
F
(
a
)
.
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=\left[F(x)\right]_{a}^{b}{:=}F(b)-F(a).}
Les primitives de la plupart des fonctions qui sont intégrables ne peuvent être exprimées sous une « forme close » (voir le théorème de Liouville ). Toutefois une valeur de certaines intégrales définies de ces fonctions peut parfois être calculée. Quelques valeurs d'intégrales particulières de certaines fonctions sont données ici.
Liste
∫
0
+
∞
x
s
−
1
e
−
x
α
β
d
x
=
β
s
/
α
α
Γ
(
s
/
α
)
{\displaystyle \int _{0}^{+\infty }{x^{s-1}\mathrm {e} ^{-{\tfrac {x^{\alpha }}{\beta }}}\,\mathrm {d} x}={\frac {\beta ^{s/\alpha }}{\alpha }}\Gamma (s/\alpha )}
s > 0α, β > 0 , où Γ est la fonction gamma Euler , dont on connait quelques valeurs particulières , comme :
∫
0
+
∞
x
s
−
1
e
x
−
1
d
x
=
Γ
(
s
)
ζ
(
s
)
{\displaystyle \int _{0}^{+\infty }{{\frac {x^{s-1}}{\mathrm {e} ^{x}-1}}\,\mathrm {d} x}=\Gamma (s)\zeta (s)}
s > 1ζ est la fonction zêta Riemann , dont on connaît aussi quelques valeurs particulières , comme :
∫
0
+
∞
sin
x
x
d
x
=
π
2
{\displaystyle \int _{0}^{+\infty }{{\frac {\sin x}{x}}\,\mathrm {d} x}={\frac {\pi }{2}}}
intégrale de Dirichlet
∫
0
1
1
1
−
x
3
d
x
=
1
3
B
(
1
3
,
1
2
)
{\displaystyle \int _{0}^{1}{{\frac {1}{\sqrt {1-x^{3}}}}\,\mathrm {d} x}={\frac {1}{3}}\mathrm {B} \left({\frac {1}{3}},{\frac {1}{2}}\right)}
intégrale elliptique Β est la fonction bêta d'Euler
∫
0
π
/
2
ln
(
cos
x
)
d
x
=
∫
0
π
/
2
ln
(
sin
x
)
d
x
=
−
π
2
ln
(
2
)
{\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}{\ln(\cos x)\,\mathrm {d} x}=\int _{0}^{\pi /2}{\ln(\sin x)\,\mathrm {d} x}=-{\frac {\pi }{2}}\ln(2)}
intégrales d'Euler )
∫
−
∞
+
∞
cos
(
x
2
)
d
x
=
∫
−
∞
+
∞
sin
(
x
2
)
d
x
=
π
2
{\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }{\cos(x^{2})\,\mathrm {d} x}=\int _{-\infty }^{+\infty }{\sin(x^{2})\,\mathrm {d} x}={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}}
intégrales de Fresnel
∫
0
π
ln
(
1
−
2
α
cos
x
+
α
2
)
d
x
=
{
2
π
ln
|
α
|
si
|
α
|
>
1
0
si
|
α
|
≤
1
{\displaystyle \int _{0}^{\pi }{\ln(1-2\alpha \cos \,x+\alpha ^{2})\,\mathrm {d} x}={\begin{cases}2\pi \ln |\alpha |&{\text{si }}|\alpha |>1\\0&{\text{si }}|\alpha |\leq 1\end{cases}}}
intégrale de Poisson
∫
0
π
/
2
sin
n
x
d
x
=
W
n
{\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}{\sin ^{n}x\,\mathrm {d} x}=W_{n}}
intégrales de Wallis
{
∫
0
1
x
−
x
d
x
=
∑
n
=
1
∞
n
−
n
≈
1
,
29
∫
0
1
x
x
d
x
=
−
∑
n
=
1
∞
(
−
n
)
−
n
≈
0
,
78
{\displaystyle {\begin{cases}\int _{0}^{1}x^{-x}\,\mathrm {d} x&=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-n}&\approx 1{,}29\\\int _{0}^{1}x^{x}\,\mathrm {d} x&=-\sum _{n=1}^{\infty }(-n)^{-n}&\approx 0{,}78\end{cases}}}
rêve du sophomore Jean Bernoulli ).Voir aussi Articles connexes Bibliographie Liens externes 
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=\left[F(x)\right]_{a}^{b}{:=}F(b)-F(a).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c08c80d6272d7d5f4482e105fa25cb6e01b3b55)
