Calcul intégral

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En mathématiques, plus précisément en analyse, le calcul intégral est l'une des deux branches du calcul infinitésimal, l'autre étant le calcul différentiel.

Le calcul intégral permet la démonstration de la formule de l'aire d'un cercle. Il permet aussi dans un ensemble plus général le calcul d'aire de forme quelconque.

Primitives[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Primitive.

Soit f une fonction définie sur un intervalle réel I. Une fonction F est une primitive de f sur I si F est dérivable sur I et si sa dérivée est f, c'est-à-dire si pour tout x de I, F'(x) = f(x).

Si f a une primitive F sur I (par exemple — d'après le théorème fondamental de l'analyse — si f est continue sur I), alors elle en a une infinité : les primitives de f sont les fonctions de la forme , où C est une constante.

En effet, pour toute fonction G (définie sur I) :

est l'application nulle sur I est constante sur I

Parmi les cinq équivalences ci-dessus, l'équivalence centrale est due au fait que les primitives sur un intervalle de la fonction nulle sont les fonctions constantes.

Exemple :

Si f est définie sur par , alors pour tout réel C, la fonction G définie sur par est une primitive de f.

Soient a un réel de I et d un réel quelconque. Si f a une primitive F sur I, alors elle en admet une et une seule, G, telle que G(a) = d.

En effet, pour F et G comme précédemment,

Exemple :

Pour trouver la primitive G de vérifiant la « condition initiale » , on calcule d'abord la forme générale des primitives : , puis on résout l'équation et l'on obtient et donc la primitive recherchée est .

En particulier, la primitive de f qui s'annule en a est l'application G définie sur I par :

Intégrale[modifier | modifier le code]

Définition de l’intégrale à partir de la notion de primitive[modifier | modifier le code]

Pour toute fonction H, le nombre H(x) – H(a), qui est la variation de H de a à x, se note aussi

Remarquons que

Cette section semble contenir un travail inédit ou des déclarations non vérifiées (avril 2016). Vous pouvez aider en ajoutant des références.

Soit f une fonction définie sur un intervalle I et admettant des primitives sur I. Soient a et b dans I. Soit F une primitive de f sur I. Nous appelons intégrale de a à b de f, le nombre :[réf. nécessaire]

qui, d'après ce qui précède, est la valeur en b de la primitive de f qui s'annule en a. Il ne dépend donc pas du choix de la primitive F.

L'intégrale de a à b d'une fonction f se note

t est une variable muette :

Exemples

Propriétés de l’intégrale[modifier | modifier le code]

Linéarité de l'intégration[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Linéarité de la dérivation.

Si et sont deux fonctions définies sur un intervalle et admettant des primitives sur , alors la fonction admet aussi des primitives sur et pour tout et tout de , on a :

De plus, si est un réel quelconque alors la fonction admet des primitives sur et :

Relation de Chasles[modifier | modifier le code]

Si f est une fonction admettant des primitives sur l'intervalle I alors, pour tous a, b et c dans I :

(relation de Chasles)

En effet, pour toute primitive F de f sur I, on a (comme pour toute fonction F définie sur I) : (F(b) – F(a)) + (F(c) – F(b)) = F(c) – F(a), ou encore :

En prenant a = c dans la relation de Chasles, on obtient :

En effet,

Parité[modifier | modifier le code]

Soit une fonction qui admet des primitives sur un intervalle centré en 0. Si est un réel, tel que et appartiennent à , alors :

  • si est paire,
  • si est impaire,

Positivité de l’intégrale[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Monotonie et signe de la dérivée.

Soit une fonction définie sur l'intervalle qui admet des primitives sur , et et deux réels dans tels que .

Si pour tout réel de , alors

En effet sous cette condition, toute primitive de sur l’intervalle est croissante.

Conséquences :

Croissance de l’intégrale

Si et admettent des primitives sur et si pour tout dans , alors

(il suffit de poser et d'utiliser la positivité et la linéarité de l’intégrale).

Inégalité de la moyenne

S’il existe et des réels tels que pour tout dans , , alors

S’il existe un réel tel que pour tout dans , , alors

S’il existe un réel tel que pour tout dans , , alors pour tout et tout dans ,

Forme simple du premier théorème de la moyenne

Si est continue sur , alors pour tout et tout dans , il existe un réel compris entre et tel que :

Valeur moyenne d'une fonction

Si admet des primitives sur un intervalle , si et sont dans tels que , nous appelons valeur moyenne de sur , le nombre :[réf. nécessaire]

Intégrale et aire[modifier | modifier le code]

Un cas particulier :

Soient et deux réels tels que . Soit une fonction constante sur et soit tel que

pour tout réel de , =

Alors l’intégrale de à de est égale à - et représente l’aire algébrique du rectangle de sommets , , et .

Théorème — Soient et deux réels tels que . Soit une fonction continue sur . Soit , , …, une suite strictement croissante de points partageant le segment en intervalles de longueur

Nous avons alors pour tout compris entre et ,

Alors la somme

tend vers lorsque tend vers .

Cette somme (appelée somme de Riemann) représente graphiquement la somme algébrique des aires des rectangles de gauche et est une valeur approchée de .

Si est une fonction positive continue sur et si est la courbe représentative de dans le plan rapporté à un repère orthogonal  ; , , est la mesure de l’aire du plan délimité par , l’axe des abscisses et les droites d’équations = et =. L’unité d’aire étant l’aire du rectangle .

Méthodes de calcul d'une intégrale[modifier | modifier le code]

Calcul direct à l'aide des primitives usuelles[modifier | modifier le code]

Intégration par parties[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Intégration par parties.

Théorème — Soit un intervalle. Soient et deux fonctions dérivables sur telles que les fonctions et soient continues sur . Soit un réel dans . Alors, pour tout réel dans

En particulier :

Théorème — Soient et deux réels tels que . Soient et deux fonctions dérivables sur et telles que les fonctions , , et soient continues sur . Alors :

On peut généraliser cette formule aux fonctions de classe

Intégration par la méthode des résidus[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Théorème des résidus.

Intégration des fonctions réciproques[modifier | modifier le code]

Calcul numérique approché d'une intégrale[modifier | modifier le code]

On considère ici le cas d'une fonction définie sur . On définit le « pas » d'approximation de la manière suivante : ; où détermine la précision de l'approximation. On définit aussi .

Méthode des rectangles[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Méthode du point médian.

La méthode des rectangles revient à une approximation de par une fonction en escalier, avec « marches » de longueur . La valeur approchée de l'intégrale vaut alors :

On peut faire varier la taille des marches. Toujours avec marches, en prenant des pour entre 0 et , avec égal à la borne inférieure et égal à la borne supérieure, et en calculant la fonction au milieu des rectangles, l'intégrale vaut :

Méthode des trapèzes[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Méthode des trapèzes.

On utilise une fonction continue affine par morceaux approchant la fonction à intégrer et égale à celle-ci sur les points de la subdivision en sous-intervalles égaux de l'intervalle d'intégration pour obtenir une approximation de la valeur de son intégrale sur .

En remplaçant par des trapèzes les rectangles utilisés précédemment, on obtient :

.

On peut déterminer la précision de cette approximation en utilisant la formule suivante :

est la borne supérieure de la valeur absolue de la dérivée d'ordre 2 de sur et la valeur exacte de l'intégrale.

Méthode de Simpson[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Méthode de Simpson.

On utilise maintenant des paraboles que l'on fait passer par trois points consécutifs du découpage en segments de l'intervalle d'intégration de .

On s'appuie sur le résultat exact suivant où est une fonction polynomiale de degré deux :

Si , et sont trois réels tels que , alors On obtient alors une valeur approchée de avec la formule suivante :

et

On peut ici aussi déterminer la précision de la méthode, avec la formule suivante :

est la borne supérieure de la valeur absolue de la dérivée d'ordre 4 de sur et la valeur exacte de l'intégrale.

Méthode de Gauss-Legendre[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Méthodes de quadrature de Gauss.

On utilise aussi en analyse numérique une méthode basée sur l'orthogonalité des polynômes de Legendre pour le produit scalaire

Elle est appelée méthode de Gauss-Legendre, et permet de calculer avec une grande précision les intégrales de fonctions suffisamment régulières sur un segment

Il suffit de réaliser une application affine de sur , et de remarquer que

sont les racines du polynôme de Legendre de degré et où sont les poids de ces racines, qui sont tels que l'égalité

est assurée pour toute fonction polynomiale de degré inférieur ou égal à

Les premiers polynômes sont

...

Une excellente précision est garantie dès que . Des tables permettent d'obtenir les valeurs des points et leurs poids.

Exemple[modifier | modifier le code]

Tableau des valeurs pour
Numéro Abscisse Poids
1
2
3

Références[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Articles connexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Jacques Dixmier, Cours de mathématiques du 1er cycle, 1re année, 2e édition augmentée, Gauthier-Villars, 1991, chap. XVI, « Intégrales », Théorème 16.5.6, 16.5.7