Intégrales de Wallis

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En mathématiques, et plus précisément en analyse, les intégrales de Wallis constituent une suite d'intégrales introduites par John Wallis, notamment pour développer le nombre en un produit infini de fractions rationnelles : le produit de Wallis.

Définition, premières propriétés[modifier | modifier le code]

On appelle habituellement intégrales de Wallis les termes de la suite réelle définie par :

, ou de façon équivalente (par le changement de variable: )

En particulier, les premiers termes de cette suite sont :

...
...

La suite est à termes strictement positifs, car c'est l'intégrale d'une fonction continue, positive, et non identiquement nulle sur l'intervalle d'intégration ;

La suite est (strictement) décroissante. En effet, pour tout  :

par linéarité de l'intégration et parce que la dernière intégrale est celle d'une fonction elle aussi continue, positive et non identiquement nulle sur l'intervalle d'intégration.

D'après le théorème de la limite monotone, la suite converge et sa limite est positive ou nulle ; en fait, sa limite est nulle, comme cela résulte de l'équivalent obtenu plus loin.

Relation de récurrence, calcul des intégrales de Wallis[modifier | modifier le code]

Une intégration par parties va permettre d'établir une relation de récurrence intéressante :

En remarquant que pour tout réel , , on a pour tout entier naturel n≥2 :

(relation )

On intègre alors par parties la seconde intégrale du second membre, en posant :

  • dont une primitive est
  • de dérivée

Ce qui donne l'égalité

En reportant dans , on obtient alors :

d'où

(relation )

Ceci se traduit par la relation bien connue :

, valable pour .

On a là une relation de récurrence donnant en fonction de , c'est-à-dire le n-ième terme de la suite en fonction du (n-2)-ième. De cette relation et des valeurs de et , on tire une expression des termes de la suite, selon la parité de leur rang. Ainsi :

  • pour ,
  • pour ,

On remarque que les termes de rang pair sont irrationnels, tandis que ceux de rang impair sont rationnels.

Autre relation pour le calcul des intégrales de Wallis[modifier | modifier le code]

Les intégrales de Wallis peuvent s'exprimer grâce aux intégrales eulériennes :

  1. L'intégrale d'Euler de première espèce aussi appelée fonction bêta :
  2. L'intégrale d'Euler de seconde espèce aussi appelée fonction gamma :

Si l’on pose le changement de variable suivant dans l’intégrale de la fonction Beta :
on obtient :

Sachant que , nous pouvons écrire les intégrales de Wallis sous la forme suivante :

Un équivalent de la suite des intégrales de Wallis[modifier | modifier le code]

  • De la formule de récurrence précédente , on déduit d'abord que :
(équivalence de deux suites).
En effet, pour tout  :
(la suite étant décroissante) donc :
(puisque ), ce qui s'écrit :
(d'après la relation ).
Par encadrement, on conclut que , soit .
  • Puis, en étudiant on établit l'équivalence suivante :
(soit encore ).

Application à la formule de Stirling[modifier | modifier le code]

On suppose connue l'équivalence suivante (établie dans l'article sur la formule de Stirling en considérant la série ) :

, où .

On se propose maintenant de déterminer la constante à l'aide d'équivalents de .

  • Du paragraphe précédent résulte l'équivalence :
(relation )
  • Par ailleurs, en utilisant l'équivalent de la factorielle donné supra :
, soit :
(relation )
Des équivalences et , on déduit par transitivité :
, d'où :
, et enfin .
On a ainsi établi la formule de Stirling:
.

Application au calcul de l'intégrale de Gauss[modifier | modifier le code]

On peut aisément utiliser les intégrales de Wallis pour calculer l'intégrale de Gauss.

Vérifions d'abord les inégalités suivantes :

En effet en posant la première inégalité (pour laquelle ) équivaut à . Quant à la seconde elle s'écrit , ce qui revient à . Ces 2 inégalités sont des conséquences immédiates de la convexité de la fonction exponentielle (ou si l'on préfère de l'étude de la fonction ).

Posant alors et utilisant les propriétés élémentaires des intégrales impropres (la convergence des intégrales est immédiate) on obtient l'encadrement :

Or les intégrales d'encadrement se ramènent facilement à des intégrales de Wallis. Pour celle de gauche il suffit de poser (t variant de 0 à ) et elle s'écrit . Quant à celle de droite, on peut poser (t variant de à ) qui donne .

Comme on a vu que , on en déduit que .

Remarque : Il existe bien d'autres méthodes de calcul de l'intégrale de Gauss, dont une méthode bien plus directe.

Application au calcul de π[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Produit de Wallis.

En appliquant le résultat de l'équivalence de deux termes successifs de la suite aux calculs des intégrales de Wallis paires et impaires, on obtient :

ce qui peut se traduire en :

On peut enfin démontrer par récurrence l'égalité suivante[1]  :

En passant à la limite (quand n tend vers l'infini), on en déduit pour la constante π/2 l'expression (appelée produit de Wallis) :

Notes et références[modifier | modifier le code]