Intégrales de Wallis

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En mathématiques, et plus précisément en analyse, les intégrales de Wallis constituent une suite d'intégrales introduites par John Wallis, notamment pour développer le nombre π en un produit infini de rationnels : le produit de Wallis.

Définition, premières propriétés[modifier | modifier le code]

Les intégrales de Wallis sont les termes de la suite réelle définie par :

ou de façon équivalente (par le changement de variable ) :

.

Les premiers termes de cette suite sont :

La suite est (strictement) positive et décroissante[1]. L'équivalent obtenu plus loin montrera que sa limite est nulle.

Relation de récurrence, calcul des intégrales de Wallis[modifier | modifier le code]

Une intégration par parties permet d'établir la relation de récurrence[1] :

.

De cette relation et des valeurs de et , on tire une expression des termes de la suite, selon la parité de leur rang :

.

Autre relation pour le calcul des intégrales de Wallis[modifier | modifier le code]

Les intégrales de Wallis peuvent s'exprimer grâce aux intégrales eulériennes :

  1. L'intégrale d'Euler de première espèce aussi appelée fonction bêta :
  2. L'intégrale d'Euler de seconde espèce aussi appelée fonction gamma :
    .

Sachant que et , on peut écrire les intégrales de Wallis sous la forme suivante :

.

Un équivalent de la suite des intégrales de Wallis[modifier | modifier le code]

De la formule de récurrence précédente, on déduit d'abord l'équivalence[1] :

.

Puis, en étudiant , on établit l'équivalence suivante[1] :

.

Applications[modifier | modifier le code]

Établissement de la formule de Stirling[modifier | modifier le code]

On suppose connue l'existence d'une constante telle que[2] :

.

En remplaçant les factorielles dans l'expression ci-dessus des intégrales de Wallis, on en déduit un nouvel équivalent :

.

En le confrontant à l'équivalent de obtenu précédemment, on en déduit que

.

On a ainsi établi la formule de Stirling :

.

Calcul de l'intégrale de Gauss[modifier | modifier le code]

On peut aisément utiliser les intégrales de Wallis pour calculer l'intégrale de Gauss.

On utilise pour cela l'encadrement suivant[3], issu de la construction de la fonction exponentielle par la méthode d'Euler : pour tout entier et tout réel ,

.

Posant alors , on obtient :

.

Or les intégrales d'encadrement sont liées aux intégrales de Wallis. Pour celle de gauche, il suffit de poser (t variant de 0 à π/2). Quant à celle de droite, on peut poser (t variant de 0 à π/4) puis majorer par l'intégrale de 0 à π/2. On obtient ainsi :

.

Par le théorème des gendarmes, on déduit alors de l'équivalent de ci-dessus que

.

Remarque : il existe bien d'autres méthodes de calcul de l'intégrale de Gauss, dont une méthode bien plus directe.

Calcul de π[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Produit de Wallis.

Puisque (voir supra),

.

Or d'après le calcul ci-dessus des intégrales de Wallis :

.

On en déduit pour la constante π/2 l'expression (appelée produit de Wallis) :

.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. a, b, c et d Pour le détail des calculs, voir par exemple le lien en bas de cette page vers Wikiversité.
  2. Voir par exemple cet exercice corrigé de la leçon « Série numérique » sur la Wikiversité.
  3. Voir par exemple cet exercice corrigé de la leçon « Suites et séries de fonctions » sur la Wikiversité.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Article connexe[modifier | modifier le code]

Calcul du volume de l'hypersphère

Lien externe[modifier | modifier le code]

http://www.pi314.net/fr/wallis.php