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En mathématiques, étant donnée une suite de nombres complexes, on définit le produit infini de la suite comme la limite, si elle existe, des produits partiels quand N tend vers l'infini ;
notation : .
Convergence d'un produit infini
Définition
Dans le cas où tous les termes de la suite sont non nuls[1], on dit que le produit infini, noté , converge quand la suite des produits partiels converge vers une limite non nulle ; sinon, on dit que le produit infini diverge[2],[3].
En cas de convergence
Si le produit infini converge, alors la suite de ses termes converge vers 1 :
Pour étudier les produits infinis, on passe le plus souvent par le logarithme pour « transformer » le produit infini en une somme infinie, plus manipulable.
Puisque an tend vers 1, il existe un rang tel que . On peut donc appliquer le logarithme complexe, et l'on a
.
Le produit infini converge si et seulement si la série de droite converge.
On peut ainsi plus facilement étudier la convergence de produits infinis en s'appuyant sur les critères de convergence des sommes infinies.
Produit absolument convergent
Un produit est dit absolument convergent si la série l'est, autrement dit si . Un produit absolument convergent est donc convergent[4], et il est de plus commutativement convergent [3].
Théorème — Un produit est absolument convergent si et seulement si la série l'est, autrement dit si
Dans le cas où la série est convergente, le produit est convergent si et seulement si la série l'est.
On verra dans les exemples que la condition sur est importante[3].
Exemples
Exemples de produits infinis divergents
Comme , le produit infini diverge vers 0. On en déduit la divergence de la série harmonique.
pour Re(z) > 1, donnant, pour z → 1, le développement de π/4 ci-dessus.
Factorisation de fonctions holomorphes sur le plan complexe
Un résultat majeur sur les produits infinis est le fait que toute fonction entièref (toute fonction holomorphe sur le plan complexe tout entier) se factorise en un produit infini de fonctions entières, ayant chacune au plus un zéro (s'annulant chacune au plus en une valeur).
En général, si f a un zéro d'ordre m à l'origine et d'autres zéros en (comptés avec multiplicité), alors :
où les exposants sont des entiers positifs qui peuvent être choisis pour assurer la convergence de la série, et est une fonction analytique uniquement déterminée (ce qui signifie que le terme devant le produit ne s'annule pas sur le plan complexe).
Cette factorisation n'est pas unique, car elle dépend du choix des et n'est pas particulièrement élégante. Cependant, pour la plupart des fonctions, il existe un entier p minimal tel que le choix constant donne un produit qui converge, appelé la forme produit canonique et, lorsque p = 1 convient, on obtient :
↑Si l'un des termes de la suite est nul, on ne parle en général pas de convergence, bien que la suite des produits partiels soit alors une suite stationnaire.
↑Srishti D. Chatterji, Cours d'analyse, vol. 2 : Analyse complexe, PPUR, (lire en ligne), p. 345.
↑ abc et dJ. Lelong-Ferrand, J.M. Arnaudiès, Cours de mathématiques tome 2, ANALYSE, Dunod Université, , p. 291-296