William Brouncker

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William Brouncker

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William Brouncker

Naissance 1620
Castle Lyons (Irlande)
Décès 5 avril 1684
Westminster (Angleterre)
Domicile Angleterre
Nationalité Drapeau de Grande-Bretagne Britannique
Champs Mathématiques
Linguistique
Institutions Hôpital Sainte-Catherine
Diplôme Université d'Oxford
Renommé pour Formule de Brouncker

William Brouncker, né à Castle Lyons (Irlande) en 1620 et décédé à Westminster en 1684, était un linguiste et mathématicien anglais.

Le vicomte William Brouncker, plus connu de nos jours sous le nom de Lord Brouncker, obtient un doctorat de philosophie à l'université d'Oxford en 1647. Il est l'un des fondateurs et le premier président de la Royal Society, en 1660. En 1662, il devient chancelier de la reine Catherine, puis maître de l'hôpital Sainte-Catherine. Ses travaux mathématiques portent en particulier sur la rectification (mesure des longueurs) de la parabole et de la cycloïde ainsi que sur la quadrature (mesure des aires) de l'hyperbole. Il est le premier, en Angleterre, à s'intéresser aux fractions continues généralisées.

Formule de Brouncker[modifier | modifier le code]

En 1655, Brouncker communique sans démonstration à son ami Wallis un développement de 4/π[1] dont la forme est d'une nouveauté déroutante[2]. Ce dernier l'intègre aussitôt à son ouvrage[3], avec une tentative[4] de justification. Depuis, de nombreuses représentations en fractions continues généralisées de kπ, k et k/(π2n) ont été obtenues[5].

Le développement de Brouncker est :

 {4\over \pi} = {1 + {1^{2}\over 2 + {3^{2}\over 2 +
                                    {5^{2}\over 2 +
                                    {7^{2}\over 2 +
                                    {9^{2}\over 2 + 
                                    {11^{2}\over 2 + ... }}}}}}} .


Les valeurs de ses réduites sont :

  •  1 + {1^{2}\over 2} = {3 \over 2}
  •  {1 + {1^{2}\over 2 + {3^{2}\over 2}}} = {15 \over 13}
  •  {1 + {1^{2}\over 2 + {3^{2}\over 2 + {5^{2}\over 2}}}} = {105 \over 76}
  • etc.

et sont exactement[6] les inverses des sommes partielles de la formule de Leibniz :

 {\pi\over 4} = 1 - {1 \over 3} + {1 \over 5} - {1 \over 7} + ...
  •  1 - {1 \over 3} = {2 \over 3}
  • 1 - {1 \over 3} + {1 \over 5} = {13 \over 15}
  • 1 - {1 \over 3} + {1 \over 5} - {1 \over 7} = {76 \over 105}
  • etc.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Jacques Dutka, « Wallis's product, Brouncker's continued fraction, and Leibniz's series », Arch. Hist. Exact Sci. (en), vol. 26, no 2,‎ 1982, p. 115-126.
  2. Huyghens douta de cette formule jusqu'à ce que Brouncker montre que les 10 premières décimales qu'elle fournissait pour π étaient bien celles connues : (en) John J. O’Connor et Edmund F. Robertson, « William Brouncker », dans MacTutor History of Mathematics archive, université de St Andrews (lire en ligne).
  3. (la) John Wallis, Arithmetica infinitorum, 1655, Prop. 191.
  4. « Unfortunately, Wallis' s efforts to reconstruct Brouncker's argument do not take us very far […] Wallis had explained what Brouncker had set out to do, but not why; what he had achieved but not how. » : (en) Jacqueline A. Stedall (de), A Discourse Concerning Algebra: English Algebra to 1685, OUP,‎ 2002 (ISBN 978-0-19852495-3, lire en ligne), p. 187-188.
  5. Cf. (en) « Pi: Continued fraction representations (13 formulas) », sur functions.wolfram.com.
  6. Cf. Formule de fraction continue d'Euler.