Vitesse de libération

Vitesse de libération

Illustration du raisonnement d'Isaac Newton. Depuis le sommet d'une montagne, un canon envoie des projectiles avec chaque fois plus de puissance. Les projectiles A et B retombent sur terre. Le projectile C entre en orbite circulaire, D en orbite elliptique. Le projectile E se libère de l'attraction terrestre.

Données clés

Unités SI	mètre par seconde
Dimension	$[v_{l}]=[\mathrm {V} ]=\mathrm {LT^{-1}}$
Nature
Symbole usuel	$v_{l}$ ou $v_{e}$
Lien à d'autres grandeurs	$v_{l}={\sqrt {\frac {2GM}{R+d}}}$

La vitesse de libération ou vitesse d'évasion est, en physique, la vitesse minimale que doit atteindre un objet pour échapper définitivement à l'attraction gravitationnelle d'un astre (planète, étoile, etc.) et s'en éloigner indéfiniment.

Elle intervient dans la description qualitative du trou noir qui peut être défini comme un objet céleste dont la vitesse de libération à la surface de son horizon est égale ou supérieure à la vitesse de la lumière dans le vide. Néanmoins, cette définition du trou noir est controversée car pour arriver à cette conclusion, on fait l'hypothèse que l’énergie cinétique ne peut pas atteindre l'énergie potentielle (voir chapitre calcul). Or une particule qui voit sa vitesse tendre vers celle de la lumière voit également son énergie cinétique tendre vers l’infini (cas relativiste). Donc, si on suppose une vitesse de libération égale à la vitesse de la lumière, cela supposerait également une énergie potentielle infinie, ce qui est contradictoire.

Caractéristiques

Principe

La vitesse de libération correspond à la vitesse théorique minimale, initialement impartie à un objet, nécessaire pour que celui-ci échappe à l'attraction d'un champ de gravité et atteigne sans autre propulsion un point à l'infini avec une vitesse résiduelle nulle, dans le référentiel du champ de gravité. Autrement dit, c'est la vitesse minimale qu'il convient d'impartir à un objet pour qu'il soit placé sur une trajectoire parabolique, et non sur une orbite elliptique. Au-dessus de la vitesse de libération, l'objet quitte l'orbite de l'astre et s'éloigne. En dessous, l'objet reste lié à la planète ; il suit alors une orbite elliptique, et peut éventuellement revenir s'écraser sur l'astre.

Un objet autopropulsé, par exemple avec une voile solaire ne serait en revanche pas assujetti à la même contrainte.

Les fusées destinées à envoyer des sondes spatiales sont cependant assimilables à des objets balistiques, car elles consomment la totalité de leur carburant pendant les premières dizaines de secondes de leur lancement, pour s'alléger au plus vite de leur carburant et de leur comburant, et ont ensuite des trajectoires essentiellement balistiques.

De façon générale, pour un objet placé dans un champ de gravité d'un astre (possédant une symétrie sphérique de la répartition de sa masse, une approximation généralement valable pour une planète), la vitesse de libération $v_{l}$ prend la valeur suivante, en mètres par seconde :

$v_{l}={\sqrt {\frac {2GM}{R+d}}}={\sqrt {\frac {2\mu }{R+d}}}$

où :

• $G$ est la constante gravitationnelle : $G=6,673\ 84(80)\times 10^{-11}\ {\mbox{m}}^{3}\ {\mbox{kg}}^{-1}\ {\mbox{s}}^{-2}$ ;
• $M$ est la masse de l'astre, en kilogrammes ;
• $R$ est le rayon de l'astre, en mètres ;
• $d$ est la distance de l'objet à la surface de l'astre, en mètres ;
• $\mu$ est le paramètre gravitationnel standard associé à la masse de l'astre : $\mu =GM$.

La vitesse de libération à la surface de l'astre est obtenue par :

$\lim _{d\to 0}v_{l}={\sqrt {\frac {2GM}{R}}}={\sqrt {\frac {2\mu }{R}}}$

La vitesse de libération d'un astre augmente ainsi lorsque sa masse augmente ou lorsque son rayon diminue. Similairement, un objet en altitude requiert une vitesse de libération inférieure à celle d'un objet placé à la surface de l'astre.

La vitesse de libération est une quantité scalaire et non vectorielle : elle spécifie juste une amplitude, pas une direction. Un objet imparti d'une vitesse de libération peut échapper au champ de gravitation quelle que soit sa direction initiale (même si certaines de ces directions croisent la surface de l'astre et, en pratique, conduisent à l'écrasement de l'objet). Elle ne dépend pas non plus de la masse de l'objet, seulement de celle de l'astre. La formule précédente ne prend pas non plus en compte les éventuels frottements de l'atmosphère de l'astre.

La vitesse de libération correspond à la vitesse initiale minimale d'un objet soumis à une trajectoire balistique qui ne retombe jamais sur l'astre ou n'orbite jamais autour. Il ne s'agit pas de la vitesse que devrait atteindre un véhicule à propulsion continue (comme la fusée de Tintin dans Objectif Lune) pour quitter l'astre : un véhicule muni d'un système de propulsion peut continuer à gagner de l'énergie et à s'éloigner d'un astre, à une vitesse moindre que la vitesse de libération, tant qu'il conserve ce moyen de propulsion. Par contre, si celui-ci s'arrête alors que la vitesse du véhicule est moindre que la vitesse de libération, le véhicule se placera en orbite ou retombera sur l'astre.

La vitesse de libération est, par ailleurs, la vitesse à laquelle un objet situé à l'infini et animé d'une vitesse initiale nulle atteindra la surface de l'astre. En vertu de ce résultat, les objets impactant la Terre l'impactent avec une vitesse au moins égale à sa vitesse de libération.

Comme, par définition, la vitesse de libération est la vitesse minimale nécessaire pour se soustraire complètement à la gravité d'un astre, celle-ci est plus élevée que la vitesse de satellisation minimale puisqu'un corps en orbite subit encore la gravité de l'astre en question. La vitesse minimale de mise en orbite (en m·s^-1) vaut:

$v_{O}={\sqrt {\frac {GM}{D}}}$ avec D = R + H

où R le rayon de l'astre, D est le rayon de l'orbite du satellite et H son altitude par rapport au sol.

Le premier vol circumlunaire habité Apollo 8 n'a pas eu besoin d'atteindre tout à fait la vitesse de libération, puisqu'il cherchait juste à se placer sur l'équipotentielle de gravité Terre-Lune (qui a une forme de 8). Apollo 11 utilisait la même technique en y ajoutant le LEM.

Calcul

Luna 1, lancé en 1959, est le premier objet fabriqué à atteindre la vitesse de libération terrestre.

Conservation de l'énergie

On part du principe selon lequel l'énergie mécanique du corps est constante au cours du temps dans le référentiel géocentrique supposé galiléen : en effet, la seule force appliquée au corps est ici la force de gravitation, et cette force est conservative.

Rappel:

$E_{m}=E_{c}+E_{p}$ → Énergie mécanique

$E_{c}={\frac {1}{2}}mv^{2}$ → Énergie cinétique d'un corps de masse m se déplaçant à la vitesse v dans un référentiel galiléen

$E_{p}=-{\frac {GMm}{D}}+C$ → Énergie potentielle d'un corps de masse m à une distance D de la planète de masse M dans son champ de gravitation, avec C une constante dépendant de la convention choisie pour le point de potentiel nul

Ici, à une distance infinie, la vitesse du corps est nulle (par définition de la vitesse de libération) et son énergie potentielle de gravitation est nulle (par convention/choix). Ainsi, comme $E_{p}(D=\infty )=0$, :$C=0$ et donc :$E_{p}=-{\frac {GMm}{D}}$.

$E_{c}=0;E_{p}=0$ → Point de libération à l'infini : son énergie mécanique est donc nulle.

$E_{ci}+E_{pi}=E_{cf}+E_{pf}=0$ → Énergie mécanique initiale et finale égale

À la distance $R$ (donc à la surface de la planète, avec R le rayon de celle-ci), la vitesse du corps est la vitesse de libération.

On obtient :

${\frac {1}{2}}mv_{i}^{2}-{\frac {GMm}{R_{i}}}=0$

Les masses se simplifient et on obtient ainsi la vitesse de libération.

$v_{e}={\sqrt {\frac {2GM}{R_{i}}}}$

Note: Ce calcul n'est valable que pour les vitesses de libération très inférieures à la vitesse de la lumière puisque l'on utilise une approximation de l’énergie cinétique valable uniquement pour les faibles vitesses.

Exemples

La Terre vue d'Apollo 17. Pour échapper à son attraction depuis sa surface, une vitesse de libération de 11,2 km/s (environ 40 320 km/h) est requise. Par contre, une vitesse de 42,1 km/s est nécessaire pour échapper à l'attraction du Soleil (et quitter le système solaire) depuis la même position.

La vitesse de libération d'un corps quittant la surface de la Terre, dite aussi deuxième vitesse cosmique, est de l'ordre de 11,2 km/s (soit environ 40 000 km/h) par rapport à un repère inertiel géocentrique. Par comparaison, celle de Jupiter est de 59,5 km/s. La sonde Luna 1 fut, en 1959, le premier objet construit à atteindre la vitesse de libération terrestre lors de son trajet en direction de la Lune.

Du fait de l'atmosphère terrestre, il est difficile (et peu utile) d'amener un objet proche de la surface de la terre à la vitesse de 11,2 km/s, cette vitesse étant située trop avant dans le régime hypersonique pour être réalisable par un système de propulsion ; en outre, elle provoquerait une destruction de la plupart des objets par friction ou compression atmosphérique. En pratique, un objet serait tout d'abord placé en orbite terrestre basse (160 à 2 000 km d'altitude) puis accéléré à partir de cette altitude, jusqu'à environ 11,0 km/s. Le changement de vitesse nécessaire, cependant, est nettement plus faible car, depuis une orbite basse, un objet possède déjà une vitesse d'environ 8 km/s.

La vitesse de libération d'un corps quittant le système solaire, dite aussi troisième vitesse cosmique, est de l'ordre de 42,1 km/s par rapport à un repère inertiel héliocentrique et sans tenir compte de la gravité terrestre, et 16,6 km/s par rapport à un référentiel géocentrique, en tenant compte de la gravité terrestre.

Le tableau suivant recense quelques exemples de vitesses de libération nécessaires pour échapper à l'attraction de certains objets.

Localisation	Objet à échapper	Ve (km/s)
Soleil	Soleil	+0617,5
Mercure	Mercure	+0004,3
Mercure	Soleil	+0067,7
Vénus	Vénus	+0010,3
Vénus	Soleil	+0049,5
Terre	Terre	+0011,2
Terre	Soleil	+0042,1
Lune	Lune	+0002,4
Lune	Terre	+0001,4
Mars	Mars	+0005,
Mars	Soleil	+0034,1
Jupiter	Jupiter	+0059,5
Jupiter	Soleil	+0018,5
Saturne	Saturne	+0035,6
Saturne	Soleil	+0013,6
Uranus	Uranus	+0021,2
Uranus	Soleil	+0009,6
Neptune	Neptune	+0023,6
Neptune	Soleil	+0007,7
Système solaire	Voie lactée	~+1 000,

Voir aussi

Articles connexes

• Vitesses cosmiques
• Vitesse de satellisation minimale
• Delta v
• Vitesse orbitale
• Assistance gravitationnelle

Liens externes

• Web-based numerical escape velocity calculator
• Vitesse de libération : de la Terre au trou noir