Énergie mécanique

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L'énergie mécanique est une quantité utilisée en mécanique classique pour désigner l'énergie d'un système emmagasinée sous forme d'énergie cinétique et d'énergie potentielle mécanique. C'est une quantité conservée lorsqu'aucune force extérieure ou force non conservative (le frottement ou encore un choc) n'intervient dans le système et s'avère, pour cela, pratique à utiliser.

L'énergie mécanique n'est pas un invariant galiléen et dépend donc du référentiel choisi.

Expression[modifier | modifier le code]

L'énergie mécanique s'exprime généralement :

E_m = E_c + E_p

où :

  • E_m est l'énergie mécanique ;
  • E_c est l'énergie cinétique (formule pour un solide en translation : 1/2mv² avec m la masse du solide (en kg) et v sa vitesse (en mètres par seconde)). Exemple : 1/2 × 50 (kg) × 102 = 2500 J ;
  • E_p est l'énergie potentielle ou l'énergie de position (formule de l'énergie potentielle de pesanteur : m × g × h avec m la masse du solide (en kg), g l'accélération de la pesanteur (9,81 m⋅s-2 sur Terre) et h la différence d'altitude en mètre (altitude de départ - altitude d'arrivée)). Exemple : 50 (kg) × 9,81 (m/s²) × 10 (mètres) = 4905 J.

Solide ponctuel[modifier | modifier le code]

Pour un solide ponctuel M l'énergie potentielle mécanique est donnée par sa position et l'énergie cinétique par sa vitesse. On a donc

E_m = \frac{1}{2} mv^2 + mV(M)

où :

Solide étendu non déformable[modifier | modifier le code]

Pour un solide indéformable non ponctuel, il convient d'ajouter l'énergie cinétique de rotation. L'énergie potentielle est donnée, dans le cas d'un potentiel gravitationnel, par la position du centre de gravité G.

E_m = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{2} J \Omega^2 + mV(G)

où, toutes notations égales par ailleurs

  • J est le moment d'inertie du solide par rapport à son axe de rotation ;
  • \Omega est sa vitesse angulaire de rotation.
  • V est le potentiel gravitationnel dans lequel se déplace la masse.

Solide déformable[modifier | modifier le code]

Pour un solide déformable, interviennent des termes de déformation (tension, torsion, contraction) tant dans l'énergie cinétique que l'énergie potentielle mécanique.

Théorème de l'énergie mécanique[modifier | modifier le code]

En dérivant l'expression de l'énergie mécanique on obtient :

dE_m = dE_c + dE_p

Or d'après le Théorème de l'énergie cinétique, on a :

dE_c= \delta W(F_c)+ \delta W(F_{nc})

avec \delta W(F_c) le travail des forces conservatives et \delta W(F_{nc}) le travail des forces non conservatives. On a aussi

dE_p=-\delta W(F_c).

D'où le résultat :

dE_m = \delta W(F_{nc})

On a ainsi le théorème de la puissance mécanique, la dérivée par rapport au temps de l'énergie mécanique est égale à la puissance des forces non conservatives :

\frac {dE_m}{dt} = P_{nc}

Ainsi, l’énergie mécanique d'un système soumis à des forces conservatives, c'est-à-dire dérivant d'un potentiel, est conservée.

Dans le cas d’un corps en chute libre soumis exclusivement à un champ de pesanteur uniforme et éventuellement à une vitesse initiale et des forces ne travaillant pas, si l’on pose m la masse du corps en kilogrammes, v_1 sa vitesse à la date t_1 en mètres par seconde, h_1 sa hauteur par rapport à la référence des énergies potentielles de pesanteur et g la valeur du champ de pesanteur en mètres par seconde carrée, son énergie potentielle de pesanteur E_{pp_1} exprimée en joules vaut :

E_{pp_1} = m\cdot g\cdot h_1

Et son énergie cinétique E_{c_1} en joules :

E_{c_1} = \dfrac12\cdot m\cdot v_1^2

Si l’on suppose que l’objet se retrouve en chute libre pour une durée de t secondes, en n’étant soumis à aucune force extérieure travaillant (frottements…), sa vitesse à la date t_2 vaudra en mètres par seconde v_2 = v_1 + g\cdot t. L’objet aura alors parcouru une distance d de v_1\cdot t + \dfrac12\cdot g\cdot t^2 mètres. Sa hauteur par rapport à la référence sera donc (en mètres) h_2 = h_1 - d = h_1 - v_1\cdot t - \dfrac12\cdot g\cdot t^2. On en déduit donc que son énergie potentielle de pesanteur vaut en joules :

E_{pp_2} = m\cdot g\cdot h_2 = m\cdot g\cdot \left(h_1 - v_1\cdot t - \dfrac12\cdot g\cdot t^2\right)

Et son énergie cinétique en joules :

E_{c_2} = \dfrac12\cdot m\cdot v_2^2 = \dfrac12\cdot m\cdot \left(v_1+g\cdot t\right)^2

Soient E_{m_1} et E_{m_2} l’énergie mécanique du corps respectivement à l’instant t_1 et à l’instant t_2 en joules ; et \Delta E_m le gain d’énergie mécanique entre t_1 et t_2. On a :

\Delta E_m = E_{m_2} - E_{m_1} = E_{c_2} + E_{pp_2} - E_{c_1} - E_{pp_1}

En remplaçant, on trouve :

\Delta E_m = \dfrac12\cdot m\cdot \left(v_1+ g\cdot t\right)^2 + m\cdot g\cdot \left(h_1-v_1\cdot t - \dfrac12\cdot g\cdot t^2\right)-\dfrac12\cdot m\cdot v_1^2-m\cdot g\cdot h_1

On développe :

\Delta E_m = \dfrac12\cdot m\cdot \left(v_1^2 + 2\cdot v_1\cdot g\cdot t+ g^2\cdot t^2\right) + m\cdot g\cdot \left(h_1-v_1\cdot t - \dfrac12\cdot g\cdot t^2\right) -\dfrac12\cdot m\cdot v^2-m\cdot g\cdot h_1
\Delta E_m = \dfrac12\cdot m\cdot v_1^2 + m\cdot v_1\cdot g\cdot t + \dfrac12\cdot m\cdot g^2\cdot t^2 + m\cdot g \cdot h_1 - m\cdot g\cdot v_1\cdot t - \dfrac12\cdot m\cdot g^2\cdot t^2-\dfrac12\cdot m\cdot v_1^2-m\cdot g\cdot h_1

Et si l’on remet les termes dans l’ordre :

\Delta E_m = \dfrac12\cdot m\cdot v_1^2 -\dfrac12\cdot m\cdot v_1^2 + m\cdot v_1\cdot g\cdot t - m\cdot v_1\cdot g\cdot t + \dfrac12\cdot m\cdot g^2\cdot t^2 - \dfrac12\cdot m\cdot g^2\cdot t^2 + m\cdot g \cdot h_1 -m\cdot g\cdot h_1

Soit \Delta E_m = 0. Il n’y a pas de variation de l’énergie mécanique ; l’énergie mécanique reste donc la même à tout moment de la chute.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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