Vitesse de libération

Illustration du raisonnement d'Isaac Newton. Depuis le sommet d'une montagne, un canon envoie des projectiles avec chaque fois plus de puissance. Les projectiles A et B retombent sur terre. Le projectile C entre en orbite circulaire, D en orbite elliptique. Le projectile E se libère de l'attraction terrestre.

La vitesse de libération est, en physique, la vitesse que doit atteindre un objet pour échapper définitivement à l'attraction gravitationnelle d'un astre (planète, étoile, etc.) et s'en éloigner indéfiniment.

Caractéristiques

Principe

La vitesse de libération correspond à la vitesse théorique minimale, initialement impartie à un objet, nécessaire pour que celui-ci échappe à l'attraction d'un champ de gravité et atteigne un point à l'infini avec une vitesse résiduelle nulle, dans le référentiel du champ de gravité. Autrement dit, c'est la vitesse minimale qu'il convient d'impartir à un objet pour qu'il soit placé sur une trajectoire parabolique, et non sur une orbite elliptique. Au-dessus de la vitesse de libération, l'objet quitte l'orbite de l'astre et s'éloigne. En dessous, l'objet reste lié à la planète ; il suit alors une orbite elliptique, et peut éventuellement revenir s'écraser sur l'astre.

De façon générale, pour un objet placé dans un champ de gravité d'un astre (possédant une symétrie sphérique de la répartition de sa masse, une approximation généralement valable pour une planète), la vitesse de libération $v_L$ prend la valeur suivante, en m/s :

$v_L = \sqrt{\frac{2GM}{D}}$

avec :

• $G$ : la constante gravitationnelle (6,6742×10^-11 m³·kg^-1·s^-2)
• $M$ : la masse de l'astre, en kg
• $D$ : la distance de l'objet au centre de l'astre, en mètres. Si l'objet est placé à la surface de l'astre, $D$ est égal au rayon de ce dernier.

La vitesse de libération d'un astre augmente ainsi lorsque sa masse augmente ou lorsque son rayon diminue. Similairement, un objet en altitude requiert une vitesse de libération inférieure à celle d'un objet placé à la surface de l'astre.

La vitesse de libération est une quantité scalaire et non vectorielle : elle spécifie juste une amplitude, pas une direction. Un objet imparti d'une vitesse de libération peut échapper au champ de gravitation quelle que soit sa direction initiale (même si certaines de ces directions croisent la surface de l'astre et, en pratique, conduisent à l'écrasement de l'objet). Elle ne dépend pas non plus de la masse de l'objet, seulement de celle de l'astre. La formule précédente ne prend pas non plus en compte les éventuels frottements de l'atmosphère de l'astre.

La vitesse de libération correspond à la vitesse initiale d'un objet soumis à une trajectoire balistique qui ne retombe jamais sur l'astre ou n'orbite jamais autour. Il ne s'agit pas de la vitesse que doit atteindre un véhicule à moteur (comme une fusée) pour quitter l'astre : un véhicule muni d'un système de propulsion peut continuer à gagner de l'énergie et à s'éloigner d'un astre, à une vitesse moindre que la vitesse de libération, tant qu'il conserve ce moyen de propulsion. Par contre, si celui-ci s'arrête alors que la vitesse du véhicule est moindre que la vitesse de libération, le véhicule se placera en orbite ou retombera sur l'astre.

Comme, par définition, la vitesse de libération est la vitesse minimale nécessaire pour se soustraire complètement à la gravité d'un astre, celle-ci est plus élevée que la vitesse de satellisation minimale puisqu'un corps en orbite subit encore la gravité de l'astre en question. La vitesse minimale de mise en orbite (en m·s^-1) vaut:

$v_O = \sqrt{\frac{GM}{R}}$

où $R$ est le rayon de l'astre.

Calcul

Luna 1, lancé en 1959, est le premier objet fabriqué à atteindre la vitesse de libération terrestre.

Conservation de l'énergie

On part du principe selon lequel l'énergie mécanique du corps est constante au cours du temps dans le référentiel géocentrique supposé galiléen : en effet, la seule force appliquée au corps est ici la force de gravitation, et cette force est conservative.

Rappel:

$E_m = E_c + E_p$ → Énergie mécanique

$E_c = \frac{1}{2} mv^2$ → Énergie cinétique d'un corps de masse m se déplaçant à v dans un référentiel galiléen

$E_p = -\frac{GMm}{D} + C$ → Énergie potentielle d'un corps de masse m à une distance D de la planète de masse M dans son champ de gravitation, avec C une constante dépendant de la convention choisi pour le point de potentiel nul

Ici, à une distance infinie, la vitesse du corps est nulle (par définition de la vitesse de libération) et son énergie potentielle de gravitation est nulle (par convention/choix). Ainsi, comme $E_p(D=\infty)=0$, :$C = 0$ et donc :$E_p = -\frac{GMm}{D}$.

$E_{c} =0 ; E_{p}= 0$ → Point de libération à l'infini : son énergie mécanique est donc nulle.

$E_{ci} + E_{pi} = E_{cf} + E_{pf} = 0$ → Énergie mécanique initiale et finale égale

À la distance $R$ (donc à la surface de la planète, avec R le rayon en mètres de celle-ci), la vitesse du corps est la vitesse de libération.

On obtient :

$\frac{1}{2} mv_i^2 - \frac{GMm}{R_i} = 0$

Les masses se simplifient et on obtient ainsi la vitesse de libération.

$v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R_i}}$

Exemples

La Terre vue d'Apollo 17. Pour échapper à son attraction depuis sa surface, une vitesse de libération de 11,2 km/s (environ 40 320 km/h) est requise. Par contre, une vitesse de 42,1 km/s est nécessaire pour échapper à l'attraction du Soleil (et quitter le système solaire) depuis la même position.

La vitesse de libération d'un corps quittant la surface de la Terre, dite aussi deuxième vitesse cosmique, est de l'ordre de 11,2 km/s (soit environ 40 000 km/h) par rapport à un repère inertiel géocentrique. Par comparaison, celle de Jupiter est de 59,5 km/s. La sonde Luna 1 fut, en 1959, le premier objet construit à atteindre la vitesse de libération terrestre lors de son trajet en direction de la Lune.

Du fait de l'atmosphère terrestre, il est difficile (et peu utile) d'amener un objet proche de sa surface à la vitesse de 11,2 km/s, cette vitesse étant située trop avant dans le régime hypersonique pour être réalisable par la plupart des systèmes de propulsion ; en outre, elle provoquerait une destruction de la plupart des objets par friction ou compression atmosphérique. En pratique, un objet serait tout d'abord placé en orbite terrestre basse (160 à 2 000 km d'altitude) puis accéléré à partir de cette altitude, jusqu'à environ 11,0 km/s. Le changement de vitesse nécessaire, cependant, est nettement plus faible car, depuis une orbite basse, un objet possède déjà une vitesse d'environ 8 km/s.

La vitesse de libération d'un corps quittant le système solaire, dite aussi troisième vitesse cosmique, est de l'ordre de 16,6 km/s par rapport à un repère inertiel héliocentrique.

Le tableau suivant recense quelques exemples de vitesses de libération nécessaires pour échapper à l'attraction de certains objets.

Localisation	Objet à échapper	Ve (km/s)
Soleil	Soleil	‍617,5
Mercure	Mercure	‍4,3
Mercure	Soleil	‍67,7
Vénus	Vénus	‍10,3
Vénus	Soleil	‍49,5
Terre	Terre	‍11,2
Terre	Soleil	‍42,1
Lune	Lune	‍2,4
Lune	Terre	‍1,4
Mars	Mars	‍5,0
Mars	Soleil	‍34,1
Jupiter	Jupiter	‍59,5
Jupiter	Soleil	‍18,5
Saturne	Saturne	‍35,6
Saturne	Soleil	‍13,6
Uranus	Uranus	‍21,2
Uranus	Soleil	‍9,6
Neptune	Neptune	‍23,6
Neptune	Soleil	‍7,7
Système solaire	Voie lactée	~‍1 000

Voir aussi

Articles connexes

• Vitesses cosmiques
• Vitesse de satellisation minimale
• Delta v
• Vitesse orbitale
• Assistance gravitationnelle

Liens externes

• Web-based numerical escape velocity calculator