Théorème de Riesz-Thorin

En mathématiques, le théorème de Riesz-Thorin, souvent désigné sous le nom de théorème d'interpolation de Riesz-Thorin ou encore de théorème de convexité de Riesz-Thorin, est un résultat sur l'interpolation des opérateurs. Il est nommé d'après Marcel Riesz et son élève Olof Thorin (en).

Ce théorème délimite les normes d'applications linéaires définies entre deux espaces L^p. Son utilité réside dans le fait que certains de ces espaces ont une structure plus simple que d'autres, par exemple L² qui est un espace de Hilbert, ou qu'ils offrent un cadre facilitant certains calculs, comme L¹ et L^∞. Par conséquent, on peut démontrer des théorèmes sur les cas les plus compliqués en commençant par les prouver dans deux cas simples, puis en utilisant le théorème de Riesz-Thorin pour passer des cas simples aux cas compliqués. Le théorème de Marcinkiewicz (en) est similaire, mais s'applique aux opérateurs quasi-linéaires.

Énoncés

Nous noterons ║T║_A,B la norme d'un opérateur borné T : A → B, où A et B sont deux espaces vectoriels normés :

$\|T\|_{A,B}=\sup _{a\in A \atop a\neq 0}{\frac {\|Ta\|_{B}}{\|a\|_{A}}}.$

Théorème — Soient p₀, p₁, q₀, q₁ ∈ [1, +∞]. On leur associe les espaces de Lebesgue de fonctions à valeurs complexes sur un ouvert de ℝⁿ et l'on considère une application linéaire T de L^p₀ + L^p₁ dans L^q₀ + L^q₁, continue de L^p₀ dans L^q₀ et de L^p₁ dans L^q₁, avec

$M_{0}=\|T\|_{\mathrm {L} ^{p_{0}},\mathrm {L} ^{q_{0}}}{\text{ et }}M_{1}=\|T\|_{\mathrm {L} ^{p_{1}},\mathrm {L} ^{q_{1}}}.$

Alors, pour tous p, q ∈ [1, +∞] tels que le couple (1/p, 1/q) appartienne au segment [(1/p₀, 1/q₀), (1/p₁, 1/q₁)], T est aussi continue de L^p dans L^q, avec

$\|T\|_{\mathrm {L} ^{p},\mathrm {L} ^{q}}\leq M_{0}^{1-\theta }M_{1}^{\theta }$ où θ ∈ [0, 1] est tel que${\frac {1}{p}}={\frac {1-\theta }{p_{0}}}+{\frac {\theta }{p_{1}}}{\text{ et }}{\frac {1}{q}}={\frac {1-\theta }{q_{0}}}+{\frac {\theta }{q_{1}}}.$

Représentation géométrique des exposants des espaces de départ et d'arrivée de l'opérateur interpolé par un point ayant pour coordonnées l'inverse de ces exposants.

Remarques.

• Les relations qui donnent les exposants intermédiaires p et q sont illustrées géométriquement par la figure ci-contre.
• Pour qu'un même opérateur soit défini sur deux espaces différents, il faut qu'il coïncide sur l'intersection des deux espaces. En général, on construit des opérateurs linéaires continus sur plusieurs espaces en commençant par les définir sur une partie dense de l'intersection de ces espaces ; ensuite on étend la définition aux espaces concernés, de façon unique, par prolongement linéaire continu.

La démonstration proposée ici suit à peu de choses près celle de Bergh et Löfström.

Démonstration dans le cas p < +∞ et q > 1

Pour $h\in \mathrm {L} ^{q}\left(\Omega \right)$ et $g\in \mathrm {L} ^{q'}\left(\Omega \right)$ où ${\frac {1}{q'}}=1-{\frac {1}{q}}$, on note $<h,g>=\int _{\Omega }h(x)g(x)~\mathrm {d} x.$

D'après le cas extrémal de l'inégalité de Hölder, on a $\|h\|_{\mathrm {L} ^{q}}=\max \left\{\left|<h,g>\right|;\|g\|_{\mathrm {L} ^{q'}=1}\right\}$

donc

$\|T\|_{\mathrm {L} ^{p},\mathrm {L} ^{q}}=\sup \left\{\left|<Tf,g>\right|;\|f\|_{\mathrm {L} ^{p}}=\|g\|_{\mathrm {L} ^{q'}}=1\right\}.$

Comme $p,q'<+\infty$, les fonctions continues à support compact sont denses dans L^p et L^q et le supremum M peut être pris sur cet ensemble. Dans la suite, on suppose donc $f$ et $g$ continues à support compact.

Maintenant pour $0\leqslant \Re \left(z\right)\leqslant 1$, et $x\in \Omega$ on pose :

• ${\frac {1}{p\left(z\right)}}={\frac {1-z}{p_{0}}}+{\frac {z}{p_{1}}}$
• ${\frac {1}{q\left(z\right)}}={\frac {1-z}{q_{0}}}+{\frac {z}{q_{1}}}$
• $\phi \left(z\right)=\phi \left(z,x\right)={\begin{cases}{\begin{matrix}\left|f\left(x\right)\right|^{\frac {p}{p\left(z\right)}}{\frac {f\left(x\right)}{\left|f\left(x\right)\right|}}&{\text{si }}f\left(x\right)\neq 0\\0&{\text{si }}f\left(x\right)=0\end{matrix}}\end{cases}}$
• $\psi \left(z\right)=\psi \left(z,x\right)={\begin{cases}{\begin{matrix}\left|g\left(x\right)\right|^{\frac {q'}{q'\left(z\right)}}{\frac {g\left(x\right)}{\left|g\left(x\right)\right|}}&{\text{si }}g\left(x\right)\neq 0\\0&{\text{si }}g\left(x\right)=0\end{matrix}}\end{cases}}$

Nous avons $\phi \left(z\right)\in L^{p_{j}}$, $\psi \left(z\right)\in L^{p_{j}}$ et donc aussi $T\phi \left(z\right)\in L^{q_{j}}$ pour $j=0,1$

On peut en conclure l'existence de la fonction $F\left(z\right)$ définie par : $F\left(z\right)=<Tf\left(z\right),g\left(z\right)>$ pour $0\leqslant \Re \left(z\right)\leqslant 1$.

Nous affirmons en outre que la fonction $F\left(z\right)$ ainsi définie est analytique dans la bande ouverte $0<\Re \left(z\right)<1$. Pour s'en convaincre, il suffit de vérifier que, pour $j=0,1$ et $0<\Re \left(z\right)<1$, on a :

• $\phi '\left(z\right)\in L^{p_{j}}$,
• $\psi '\left(z\right)\in L^{q_{j}}$
• $\left(T\phi \right)'\left(z\right)\in L^{q_{j}}$

Ceci se vérifie aisément puisque

$\phi '\left(z\right)={\begin{cases}{\begin{matrix}p\left({\frac {1}{p_{1}}}-{\frac {1}{p_{0}}}\right)\log \left(\left|f\left(x\right)\right|\right)\left|f\left(x\right)\right|^{\frac {p}{p\left(z\right)}}{\frac {f\left(x\right)}{\left|f\left(x\right)\right|}}&{\text{si }}f\left(x\right)\neq 0\\0&{\text{si }}f\left(x\right)=0\end{matrix}}\end{cases}}$, et puisque $f$ est continue à support compact. On procède de la manière pour établir le deuxième point et le troisième point est une conséquence du premier.

Maintenant, on remarque que : $\|\phi \left(it\right)\|_{L^{p_{0}}}=\|\left|f\right|^{\frac {p}{p_{0}}}\|_{L^{p_{0}}}=\|f\|_{L^{p}}^{\frac {p}{p_{0}}}=1$ et que : $\|\phi \left(1+it\right)\|_{L^{p_{1}}}=\|\left|f\right|^{\frac {p}{p_{1}}}\|_{L^{p_{1}}}=\|f\|_{L^{p}}^{\frac {p}{p_{1}}}=1$

De même, on a : $\|\psi \left(it\right)\|_{L^{q'_{0}}}=\|\psi \left(1+it\right)\|_{L^{q'_{1}}}=1$

On en déduit que :

$\left|F\left(it\right)\right|\leqslant \|T\phi \left(it\right)\|_{L^{q_{0}}}\|\psi \left(it\right)\|_{L^{q'_{0}}}\leqslant M_{0}$

$\left|F\left(1+it\right)\right|\leqslant \|T\phi \left(1+it\right)\|_{L^{q_{1}}}\|\psi \left(1+it\right)\|_{L^{q'_{1}}}\leqslant M_{1}$

On remarque aussi que $\phi \left(\theta \right)=f$, $\psi \left(\theta \right)=g$, et donc que $F\left(\theta \right)=<Tf,g>$.

En utilisant le théorème des trois droites, on obtient que :

$\left|<Tf,g>\right|\leqslant M_{0}^{1-\theta }M_{1}^{\theta }$

soit encore :

$\|T\|_{\mathrm {L} ^{p},\mathrm {L} ^{q}}\leq M_{0}^{1-\theta }M_{1}^{\theta }.$

Au lieu de prendre un ouvert Ω de ℝⁿ et de travailler sur les espaces L^p(Ω), on peut aussi considérer le cas plus général où $\left(U,\mu \right)$ et $\left(V,\nu \right)$ sont des espaces mesurés, $\mu$ et $\nu$ étant des mesures positives sigma-finies et travailler avec les espaces de fonctions à valeurs complexes $\mathrm {L} ^{p}\left(U,d\mu \right)$ et $\mathrm {L} ^{p}\left(V,d\nu \right)$.

Dans ce cas, sans pratiquement rien avoir à changer, la démonstration ci-dessus reste valable. On peut donc aussi donner la formulation suivante, un peu plus générale, du théorème de Riesz-Thorin.

Théorème —  Soient p₀, p₁, q₀, q₁ ∈ [1, +∞].

Soit $\left(U,\mu \right)$ et $\left(V,\nu \right)$ des espaces mesurés, $\mu$ et $\nu$ étant des mesures positives sigma-finies.

Soit T un opérateur linéaire borné de l'espace de Lebesgue $\mathrm {L} ^{p_{0}}\left(U,d\mu \right)$ de fonctions à valeurs complexes vers $\mathrm {L} ^{q_{0}}\left(V,d\nu \right)$, de norme $M_{0}$ et aussi de $\mathrm {L} ^{p_{1}}\left(U,d\mu \right)$ vers $\mathrm {L} ^{q_{1}}\left(V,d\nu \right)$, de norme $M_{1}$.

Alors pour tout θ ∈ [0, 1], T est aussi un opérateur linéaire borné de $\mathrm {L} ^{p}\left(U,d\mu \right)$ vers $\mathrm {L} ^{q}\left(V,d\nu \right)$ dont la norme M satisfait l'inégalité suivante :

$M\leq M_{0}^{1-\theta }M_{1}^{\theta }$

et où p et q sont donnés par :

${\frac {1}{p}}={\frac {1-\theta }{p_{0}}}+{\frac {\theta }{p_{1}}}{\text{ et }}{\frac {1}{q}}={\frac {1-\theta }{q_{0}}}+{\frac {\theta }{q_{1}}}.$

On peut aussi mentionner une formulation simplifiée du théorème de Riesz-Thorin dans le cas où les espaces de départ et d'arrivée de l'opérateur $T$ sont identiques :

Théorème —  Soient p₀, p₁ ∈ [1, +∞]. On leur associe les espaces de Lebesgue de fonctions à valeurs complexes sur un ouvert de ℝⁿ et l'on considère une application linéaire T de L^p₀ + L^p₁ dans lui-même, continue de L^p₀ dans lui-même et de L^p₁ dans lui-même, avec

$M_{0}=\|T\|_{\mathrm {L} ^{p_{0}},\mathrm {L} ^{p_{0}}}{\text{ et }}M_{1}=\|T\|_{\mathrm {L} ^{p_{1}},\mathrm {L} ^{p_{1}}}.$

Alors, pour tout p ∈ [p₀, p₁], T est aussi continue de L^p dans lui-même, avec

$\|T\|_{\mathrm {L} ^{p},\mathrm {L} ^{p}}\leq M_{0}^{1-\theta }M_{1}^{\theta }$ où θ ∈ [0, 1] est tel que${\frac {1}{p}}={\frac {1-\theta }{p_{0}}}+{\frac {\theta }{p_{1}}}.$

Remarque : l'inégalité satisfaite par la norme M de l'opérateur interpolé signifie, en fait, que $\log \left(M\right)$ est une fonction convexe.

Cette dernière remarque nous introduit à la formulation très générale suivante du théorème telle qu'elle est proposée dans Dunford-Schwartz.

Théorème —  Soit $\left(U,\mu \right)$ et $\left(V,\nu \right)$ des espaces mesurés, $\mu$ et $\nu$ étant des mesures positives. Soit T une application linéaire de $\mathrm {L} ^{p}\left(U,d\mu \right)$ dans $\mathrm {L} ^{q}\left(V,d\nu \right)$, et pour $1\leqslant p,q\leqslant \infty$, on dénote par $|T|_{p,q}$ la norme d'une extension continue de T de $\mathrm {L} ^{p}\left(U,d\mu \right)$ dans $\mathrm {L} ^{q}\left(V,d\nu \right)$ si une telle extension existe, et +∞ sinon. Alors le théorème affirme que la fonction

$F(a,b)=\log \left(|T|_{1/a,1/b}\right)$

est convexe dans le carré (a,b) ∈ [0,1] × [0,1].

Exemples d'applications

Inégalité de Hausdorff-Young

Considérons l'opérateur de Fourier T qui à une fonction $f$ définie sur le cercle unité associe la suite de ses coefficients de Fourier

${\widehat {f}}(n)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{-inx}f(x)~\mathrm {d} x,n=0,\pm 1,\pm 2,\dots .$

Le théorème de Parseval montre que T est borné de L² vers $\ell ^{2}$ de norme 1. D'autre part, il est clair que

$|(Tf)(n)|=|{\widehat {f}}(n)|=\left|{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{-int}f(t)~\mathrm {d} t\right|\leqslant {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }|f(t)|~\mathrm {d} t$

de sorte T est borné de L¹ dans $\ell ^{\infty }$, de norme 1. Par conséquent, nous pouvons invoquer le théorème de Riesz-Thorin et ainsi obtenir que, pour tout 1 < p < 2 , T, en tant qu'opérateur de L^p dans $\ell ^{q}$, est borné de norme 1, où

${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1$

Ceci se traduit par l'inégalité suivante :

$\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }|{\widehat {f}}(n)|^{q}\right)^{1/q}\leqslant \left({\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }|f(t)|^{p}~\mathrm {d} t\right)^{1/p}.$

Il s'agit de l'inégalité de Hausdorff-Young (en).

Opérateurs de convolution

Soit f une fonction intégrable fixe et soit T l'opérateur de convolution associé à f, c'est-à-dire, pour chaque fonction g nous avons

$\,Tg=f*g$

Il est bien connu que T est borné de L¹ dans L¹ et il est trivial qu'il est borné de L^∞ dans L^∞ (les deux bornes sont $\|f\|_{\mathrm {L} ^{1}}$). Par conséquent, le théorème de Riesz-Thorin donne

$\|f*g\|_{\mathrm {L} ^{p}}\leqslant \|f\|_{\mathrm {L} ^{1}}\|g\|_{\mathrm {L} ^{p}}$

En gardant cette inégalité, nous échangeons l'opérateur et l'opérande, ou en d'autres termes, nous pensons S comme l'opérateur de convolution avec g, et nous obtenons que S est borné de L¹ dans L^p. En outre, puisque g est dans L^p nous obtenons, compte tenu de l'inégalité de Hölder, que S est bornée de L^q dans L^∞ où, à nouveau, $1/p+1/q=1$. Ainsi, nous obtenons l'inégalité de Young par interpolation que

$\|f*g\|_{\mathrm {L} ^{s}}\leqslant \|f\|_{\mathrm {L} ^{r}}\|g\|_{\mathrm {L} ^{p}}$

où la relation entre p, r et s est

${\frac {1}{r}}+{\frac {1}{p}}=1+{\frac {1}{s}}.$

Notons que la constante optimale dans l'inégalité de Young est strictement inférieure à 1.

La contribution de Thorin

La démonstration originelle de ce théorème, publié en 1926 par Marcel Riesz, était un calcul long et difficile. Olof Thorin (en), un étudiant de Riesz, a par la suite découvert une démonstration beaucoup plus élégante et publié en 1939. À peu de chose près, c'est cette démonstration qui est exposée ci-dessus avec l'introduction de la fonction analytique bornée $F$ qui satisfait un principe du maximum sur une bande complexe et dont le maximum sur chacun des bords de la bande correspond à la norme de l'opérateur dans chacune des deux configurations que l'on cherche à interpoler. Le mathématicien anglais J. E. Littlewood a fait référence avec enthousiasme à la démonstration de Thorin comme « l'idée la plus impudente en mathématiques ».

Dans les années 1960, Alberto Calderón a adapté et généralisé les idées de Thorin pour développer la méthode d'interpolation complexe. Supposons que $A_{0}$ et $A_{1}$ soient deux espace de Banach s qui sont inclus, par une injection continue dans un espace approprié plus grand. Pour chaque $t$ avec $0<t<1$, la méthode de Calderón permet de construire une famille de nouveaux espaces de Banach $A_{t}$, qui sont « entre » $A_{0}$ et $A_{1}$ et qui satisfont la propriété « d'interpolation », à savoir que chaque opérateur linéaire $T$, borné sur $A_{0}$ et sur $A_{1}$ est aussi borné sur chacun des espaces d'interpolation complexe $A_{t}$.

Les espaces de Calderón ont de nombreuses applications. Voir par exemple : espace de Sobolev.

Théorème de Mityagin

B. Mityagin a étendu le théorème de Riesz-Thorin. Nous formulons l'extension dans le cas particulier des espaces de suites avec des bases inconditionnelles :

Supposons que $\|A\|_{\ell ^{1},\ell ^{1}}\leqslant M$ et que $\|A\|_{\ell ^{\infty },\ell ^{\infty }}\leqslant M$.

Alors $\|A\|_{X,X}\leqslant M$ pour tout espace de Banach de suites $X$ inconditionnel (c'est-à-dire tel que, que pour toute suite $(x_{i})\in X$ et toute suite $(\epsilon _{i})\in \{-1,+1\}^{\infty }$, $\|(\epsilon _{i}x_{i})\|_{X}=\|(x_{i})\|_{X}$).

La démonstration est basée sur le théorème de Krein-Milman.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Riesz–Thorin theorem » (voir la liste des auteurs).

Bibliographie

• (en) Jöran Bergh et Jörgen Löfström, Interpolation Spaces: An Introduction, Springer, 1976 (ISBN 978-3-540-07875-3)
• (en) Nelson Dunford et Jacob T. SchwartzJacob T. Schwartz, Linear Operators, Parts I and II, Wiley-Interscience, 1958
• (en) I. M. Glazman et Yu. I. Lyubich, Finite-Dimensional Linear Analysis: A Systematic Presentation in Problem Form, Cambridge, Mass., The M.I.T. Press, 1974, traduit du russe et édité par G. P. Barker et G. Kuerti
• (en) L. Hörmander, The Analysis of Linear Partial Differential Operators I, Springer, coll. « Grund. der math. Wiss.Grundlehren der mathematischen Wissenschaften » (n^o 256), 1983 (ISBN 978-3-540-12104-6), lien Math Reviews
• (en) B. S. Mitjagin [Mityagin], « An interpolation theorem for modular spaces (ru) », Mat. Sb. (N.S.), vol. 66, n^o 108,‎ 1965, p. 473-482
• (en) G. O. Thorin, « Convexity theorems generalizing those of M. Riesz and Hadamard with some applications », Comm. Sem. Math. Univ. Lund [Medd. Lunds Univ. Mat. Sem.], vol. 9,‎ 1948, p. 1-58, lien Math Reviews